Lanjutan Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 19}$.

Sebuah kolam berbentuk seperti gambar dengan panjang sampai ujung 10. Dua orang yang pada sebuah jalur lurus yang masing-masing berada pada posisi A dan B dan berjarak 8 kaki serta diketahui besar sudut sebagaimana ilustrasi pada gambar sebesar $60^{0}$. Tentukanlah jarak terpendek titik C ke jalur lurus tersebut

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 19}$.

Jika kita sederhanakan gambar ilustrasi di atas adalah sebagai berikut

Kita akan menentukan panjang ruas garis yang berwarna merah di atas. Selanjutnya perhatikanlah

$\begin{aligned}&\textrm{Pada soal di atas, kita diminta untuk}\\ &\textrm{menentukan garis merah yang selanjutnya}\\ &\textrm{di sebut tinggi di sini}\\ &\color{red}\textrm{Dengan bantuan luas segitiga ABC}\\ &\textrm{kita mendapatkan}\\ &\begin{aligned}\left [ ABC \right ]&=\left [ ABC \right ]\\ \displaystyle \frac{\textrm{alas}\times \textrm{tinggi}}{2}&=\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin \angle B\\ \displaystyle \frac{\textrm{AB}\times \textrm{tinggi}}{2}&=\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin 60^{0}\\ \textrm{tinggi}&=BC\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right ) \end{aligned}\\ &\textrm{Dengan aturan cosinus kita juga akan}\\ &\textrm{dapatkan}\\ &\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}-2.AB.BC.\cos \angle B\\ 10^{2}&=8^{2}+BC^{2}-2.8.BC.\cos 60^{0}\\ 10^{2}&-8^{2}=BC^{2}-2.8.BC.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ BC^{2}&-8BC-36=0\\ BC_{1,2}&=\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4.(-36)}}{2}\\ &=\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+144}}{2}=\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{208}}{2}\\ &=\displaystyle \frac{8\pm 4\sqrt{13}}{2}=4\pm 2\sqrt{13}\\ &\color{purple}\textrm{pilih nilai BC yang positif, yaitu}\\ BC&=4+2\sqrt{13} \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{Tinggi}=\displaystyle \frac{1}{2}BC\sqrt{3}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 4+2\sqrt{13} \right )\sqrt{3}\:\textrm{ m} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 20}$.

Sebuah kolam renang akan dibangun di area tanah yang berbentuk segitiga. Selain kolam renang juga akan dibangun ruang ganti kecil (lihat gambar berikut)

Tentukan jari-jari maksimu kolam renang jika tepi kolam renang bersinggungan dengan ruang ganti

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 20}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{aligned}\left [ \textrm{ruang ganti} \right ]&=\textrm{luas ruang ganti, dengan}\\ s&=\displaystyle \frac{1}{2}(\color{red}a\color{black}+b+c)\Leftrightarrow s=\frac{4+5+6}{2}=\displaystyle \frac{15}{2}\\ \left [ \textrm{ruang ganti} \right ]&=\sqrt{s(s-\color{red}a\color{black})(s-b)(s-c)}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{15}{2}\left (\frac{15}{2}-4  \right )\left ( \frac{15}{2}-5 \right )\left (\frac{15}{2}-6  \right )}\\ &=\sqrt{\frac{15}{2}.\frac{7}{2}.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\sqrt{\frac{7}{2}.\frac{2}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{14}\\ \textrm{Selain rumus}&\: \textrm{di atas, rumus luas juga berupa}\\ \left [ \textrm{ruang ganti} \right ]&=r_{\color{red}a\color{black}}(s-\color{red}a\color{black})\\ \displaystyle \frac{15}{4}\sqrt{14}&=r_{\color{red}a\color{black}}.\displaystyle \frac{7}{2}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}=r_{\color{red}a\color{black}} \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, jari-jarinya adalah}\: \: \color{red}\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}\: \: \color{black}\textrm{m} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: ERLANGGA.