Lanjutan Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 19}$.

Sebuah kolam berbentuk seperti gambar dengan panjang sampai ujung 10. Dua orang yang pada sebuah jalur lurus yang masing-masing berada pada posisi A dan B dan berjarak 8 kaki serta diketahui besar sudut sebagaimana ilustrasi pada gambar sebesar ${60}^0$. Tentukanlah jarak terpendek titik C ke jalur lurus tersebut

$\text{SOLUSI SOAL 19}$.

Jika kita sederhanakan gambar ilustrasi di atas adalah sebagai berikut

Kita akan menentukan panjang ruas garis yang berwarna merah di atas. Selanjutnya perhatikanlah

$\begin{array}{rl}& \text{Pada soal di atas, kita diminta untuk}\\ & \text{menentukan garis merah yang selanjutnya}\\ & \text{di sebut tinggi di sini}\\ & \text{Dengan bantuan luas segitiga ABC}\\ & \text{kita mendapatkan}\\ & \begin{array}{rl}\left[ABC\right]& =\left[ABC\right]\\ {\displaystyle \frac{\text{alas}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin \mathrm{\angle }B}\\ {\displaystyle \frac{\text{AB}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin {60}^0}\\ \text{tinggi}& =BC\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)\end{array}\\ & \text{Dengan aturan cosinus kita juga akan}\\ & \text{dapatkan}\\ & \begin{array}{rl}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \mathrm{\angle }B\\ {10}^2& =8^2+B{C}^2-2.8.BC.\cos {60}^0\\ {10}^2& -8^2=B{C}^2-2.8.BC.\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ B{C}^2& -8BC-36=0\\ B{C}_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4.(-36)}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+144}}{2}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{208}}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm 4\sqrt{13}}{2}=4\pm 2\sqrt{13}}\\ & \text{pilih nilai BC yang positif, yaitu}\\ BC& =4+2\sqrt{13}\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{Tinggi}={\displaystyle \frac{1}{2}BC\sqrt{3}={\displaystyle \frac{1}{2}(4+2\sqrt{13})\sqrt{3}\text{ m}}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 20}$.

Sebuah kolam renang akan dibangun di area tanah yang berbentuk segitiga. Selain kolam renang juga akan dibangun ruang ganti kecil (lihat gambar berikut)

Tentukan jari-jari maksimu kolam renang jika tepi kolam renang bersinggungan dengan ruang ganti

$\text{SOLUSI SOAL 20}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}\left[\text{ruang ganti}\right]& =\text{luas ruang ganti, dengan}\\ s& ={\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)\iff s=\frac{4+5+6}{2}={\displaystyle \frac{15}{2}}}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}(\frac{15}{2}-4)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-6)}}\\ & =\sqrt{\frac{15}{2}.\frac{7}{2}.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\sqrt{\frac{7}{2}.\frac{2}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{14}\\ \text{Selain rumus}& \text{di atas, rumus luas juga berupa}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =r_a(s-a)\\ {\displaystyle \frac{15}{4}\sqrt{14}}& =r_a.{\displaystyle \frac{7}{2}\iff {\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}=r_a}}\end{array}\\ & \text{Jadi, jari-jarinya adalah}{\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}\text{m}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: ERLANGGA.