Bilangan e pada Logaritma (Bagian 1)

Materi pendukung pada aplikasi logaritma yang melibatkan penggunaan konstanta e di sini

A. Pendahuluan

Bilangan e (epsilon) yang dimaksud adalah bilangan basis pada logaritma alami yang besarnya  dalam bentuk semimal e = 2,71828...

Dalam logaritma basis 10, log e = 0,4343. Sedangkankan dalam logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural (kadang dinamai dengan nama penemunya, yaitu Napier, matematikawan dari Skotlandia) dengan dilambangkan ${}^e\log x=\ln x$.

${}^e\log x={}^{2,7183}\log x=\ln x$.

Bilangan e (epsilon) didapatkan dari bentuk  ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$  dengan $n$. bilangan asli.

Sebagai ilustrasi prosesnya mendapatkannya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|ll|}\hline n=1& \begin{array}{rl}& ={(1+{\displaystyle \frac{1}{1}})}^1\\ & =2\end{array}\\ n=2& \begin{array}{rl}& ={(1+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\\ & =2,25\end{array}\\ n=3& \begin{array}{rl}& ={(1+{\displaystyle \frac{1}{3}})}^3\\ & =2,37...\end{array}\\ n=30& \begin{array}{rl}& ={(1+{\displaystyle \frac{1}{30}})}^{30}\\ & =2,67...\end{array}\\ n=105& \begin{array}{rl}& ={(1+{\displaystyle \frac{1}{105}})}^{105}\\ & =2,705...\end{array}\\ n=1000& \begin{array}{rl}& ={(1+{\displaystyle \frac{1}{1000}})}^{1000}\\ & =2,7169...\end{array}\\ n=100000& \begin{array}{rl}& ={(1+{\displaystyle \frac{1}{100000}})}^{100000}\\ & =2,7182...\end{array}\\ \hline\end{array}$.

B. Sifat-Sifat

$\begin{array}{rl}1.& \ln a.b=\ln a+\ln b\\ 2.& \ln \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)=\ln a-\ln b\\ 3.& \ln a^{\text{p}}=\text{p}\times \ln a\\ 4.& \ln a={\displaystyle \frac{\log a}{\log e}}\\ 5.& \ln e=1,\text{karena}{}^e\log e=1\\ 6.& \ln \sqrt[\text{p}]{n}={\displaystyle \frac{1}{\text{p}}\times \ln a}\end{array}$.

C. Hubungan Antara Logaritma Biasa dengan Logaritma Alami

Perhatikan tabel berikut:

$\begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}{}^e\log x& =\ln x,\\ {\displaystyle \frac{\log x}{\log e}}& =\ln x\\ \log x& =\log e.\ln x\\ & =0,4343.\ln x\\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}\ln x& ={}^e\log x\\ & ={\displaystyle \frac{\log x}{\log e}}\\ & ={\displaystyle \frac{\log x}{\log 2,71828}}\\ & ={\displaystyle \frac{\log x}{0,4343}}\\ & =2,303\log x\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Sehingga dapat disimpulkan

$\begin{array}{rl}\bullet & \log x=0,4343\ln x\\ \bullet & \ln x=2,303\log x\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika}\log 2=0,301,\text{tentukan nilai}\\ & \text{dari}\ln 2\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\ln 2& =2,303\log 2\\ & =2,303(0,301)\\ & =0,6932\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}\log 3=0,4771\text{dan}\log 5=0,6990\\ & \text{tentukan nilai dari}\ln 45\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\ln 45& =2,303\log 45\\ & =2,303\log 9.5\\ & =2,303(\log 9+\log 5)\\ & =2,303(\log 3^2+\log 5)\\ & =2,303(2\log 3+\log 5)\\ & =2,303(2.0,4771+0,6990)\\ & =2,303(1,6532)\\ & =3,8073\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan nilai dari}\ln 345,{67}^{1.25}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\ln 345,{67}^{1.25}& =1,25\times \ln 345,67\\ & =1,25\times 2,303\log 345,67\\ & =1,25\times 2,303\times 2,5387\\ & =7,3084\end{array}\end{array}$.

$\text{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika}\log 3=0,4771\text{dan}\log 5=0,699\\ & \text{Tentukanlah nilai}\ln 75\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}\log 2=0,3010\text{dan}\log 3=0,4771\\ & \text{Tentukanlah nilai}\ln 4-\ln 9\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}\log 2=0,3010\text{dan}\log 7=0,8451\\ & \text{Tentukanlah nilai}\ln (8\times 49)\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Jika}\log 2=0,3010\text{dan}\log 7=0,8451\\ & \text{Tentukanlah nilai}\ln 140-\ln 5\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tentukan nilai dari}\ln 89,75\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tentukan nilai dari}\ln 3,{456}^{0,75}+\ln 5,{678}^{0,75}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tim MGMP Matematika SMK PROV JATENG. 2007. Modul Matematika SMK Kelompok Teknik, Pertanian dan Kesehatan Semester 1 Kelas X.