Bilangan e pada Logaritma (Bagian 1)

Materi pendukung pada aplikasi logaritma yang melibatkan penggunaan konstanta e di sini

A. Pendahuluan

Bilangan e (epsilon) yang dimaksud adalah bilangan basis pada logaritma alami yang besarnya  dalam bentuk semimal e = 2,71828...

Dalam logaritma basis 10, log e = 0,4343. Sedangkankan dalam logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural (kadang dinamai dengan nama penemunya, yaitu Napier, matematikawan dari Skotlandia) dengan dilambangkan $^{e}\log x=\ln x$.

$\color{blue}^{e}\log x=\, ^{2,7183}\log x=\ln x$.

Bilangan e (epsilon) didapatkan dari bentuk  $\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{n} \right )^{n}$  dengan $n$. bilangan asli.

Sebagai ilustrasi prosesnya mendapatkannya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline n=1&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{1} \right )^{1}\\ &=2 \end{aligned}\\\hline n=2&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\\ &=2,25 \end{aligned}\\\hline n=3&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{3} \right )^{3}\\ &=2,37... \end{aligned}\\\hline n=30&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{30} \right )^{30}\\ &=2,67... \end{aligned}\\\hline n=105&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{105} \right )^{105}\\ &=2,705... \end{aligned}\\\hline n=1000&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{1000} \right )^{1000}\\ &=2,7169... \end{aligned}\\\hline n=100000&\begin{aligned}&=\left ( 1+\displaystyle \frac{1}{100000} \right )^{100000}\\ &=2,7182... \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

B. Sifat-Sifat

$\begin{aligned}1.\quad&\ln a.b=\ln a+\ln b\\ 2.\quad&\ln \left ( \displaystyle \frac{a}{b} \right )=\ln a-\ln b\\ 3.\quad&\ln a^{\textrm{p}}=\textrm{p}\times \ln a\\ 4.\quad&\ln a=\displaystyle \frac{\log a}{\log e}\\ 5.\quad&\ln e=1,\: \: \textrm{karena}\: \: ^{e}\log e=1\\ 6.\quad&\ln \sqrt[\textrm{p}]{n}=\displaystyle \frac{1}{\textrm{p}}\times \ln a\\ \end{aligned}$.

C. Hubungan Antara Logaritma Biasa dengan Logaritma Alami

Perhatikan tabel berikut:

$\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}^{e}\log x&=\ln x,\\ \displaystyle \frac{\log x}{\log e}&=\ln x\\ \log x&=\log e.\ln x\\ &=0,4343.\ln x\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}\ln x&=\, ^{e}\log x\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{\log e}\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{\log 2,71828}\\ &=\displaystyle \frac{\log x}{0,4343}\\ &=2,303\log x \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Sehingga dapat disimpulkan

$\begin{aligned}\bullet\quad &\log x=0,4343\ln x\\ \bullet \quad&\ln x=2,303\log x \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,301,\: \: \textrm{tentukan nilai}\\ &\textrm{dari}\: \: \ln 2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 2&=2,303\log 2\\ &=2,303(0,301)\\ &=0,6932 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \log 3=0,4771\: \: \textrm{dan}\: \: \log 5=0,6990\\ & \textrm{tentukan nilai dari}\: \: \ln 45\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 45&=2,303\log 45\\ &=2,303\log 9.5\\ &=2,303\left ( \log 9+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( \log 3^{2}+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( 2\log 3+\log 5 \right )\\ &=2,303\left ( 2.0,4771+0,6990 \right )\\ &=2,303\left ( 1,6532 \right )\\ &=3,8073 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 345,67^{1.25}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\ln 345,67^{1.25}&=1,25\times \ln 345,67\\ &=1,25\times 2,303\log 345,67\\ &=1,25\times 2,303\times 2,5387\\ &=7,3084 \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: \log 3=0,4771\: \: \textrm{dan}\: \: \log 5=0,699\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 75 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 3=0,4771\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 4-\ln 9\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 7=0,8451\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln (8\times 49)\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika}\: \: \log 2=0,3010\: \: \textrm{dan}\: \: \log 7=0,8451\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \ln 140-\ln 5\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 89,75\end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukan nilai dari}\: \: \ln 3,456^{0,75}+\ln 5,678^{0,75}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tim MGMP Matematika SMK PROV JATENG. 2007. Modul Matematika SMK Kelompok Teknik, Pertanian dan Kesehatan Semester 1 Kelas X.