Problem Solving Bentuk Bilangan Imajiner (Bilangan Tidak Nyata)

Seri Pemecahan Masalah

Suatu ketika saya sharing-sharing mengenai soal bentuk perpangkatan dari salah seorang teman yang kebetulan memang soalnya membuat penasayaran untuk ditemukan jawabannya.

Berikut soalnya

Saat saya melihat soalnya dengan pangkat berupa angka yang seolah berpola tapi agak susah dicari hungan antara keduanya. Yang satu bilangan utuh yang satu lagi bentuk pecahan (bilangan pada soal, bukan pada yang diketahui). Tapi ada sedikit petunjuk yang mensiratkan soal di atas akan segera dapat dipecahkankan, yaitu posisi yang diketahui  $x+\displaystyle \frac{1}{x}=-1$ adalah salah satu bentuk persamaan kuadrat dengan akar kemungkinan rasional atau imajiner/khayal/tidak nyata dan pangkat pada soal yang semuanya menunjukkan kelipatan 3, yaitu 1234567891011 dan yang satunya posisi penyebut dengan pangkat 1110987654321 dengan basis/bilangan pokok perpangkatannya sama dengan yang diketahui dari soal yaitu  $a$.

Sebelumnya saya pernah menyinggung mengenai istilah definit positif dan definit negatif (silahkan klik di sini) yang kurang lebih istilah tersebut sangat berkaitan dengan akar persamaan kuadrat yang berbentuk imajiner.

Ok, kita kembali ke arah penyelesaian soal di atas, yaitu:

$\begin{aligned}&a+\displaystyle \frac{1}{a}=-1\: \Leftrightarrow\: a^{2}+1=-a\\ &\Leftrightarrow a^{2}+a+1=0\\ &\Leftrightarrow a_{1,2}=\color{red}\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3.(-1)}}{2}\\ &\: \quad\qquad =\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}\\ &\: \quad\qquad \: \textrm{dengan}\: \: i=\sqrt{-1}  \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan kita pilih}\: \: a=\color{red}\displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}\\ &\textrm{maka nilai dari}\\ &\displaystyle \frac{1}{a}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}}=\displaystyle \frac{2}{-1+ \sqrt{3}i}=\displaystyle \frac{2}{ \sqrt{3}i-1}\\ &\: \quad =\displaystyle \frac{2}{ \sqrt{3}i-1}\times \displaystyle \frac{\sqrt{3}i+1}{\sqrt{3}i+1}=\displaystyle \frac{2(\sqrt{3}i+1)}{-3-1}\\ &\: \quad= -\displaystyle \frac{2(\sqrt{3}i+1)}{-4}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}i+1}{-2}\quad \textrm{atau}\\ &\displaystyle \frac{1}{a}=\color{blue}\displaystyle \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{aligned}$.

Penjabaran bentuk pangkat dari salah satu akar ternyata membentuk pola yang unik sebagaimana bentuk berikut:

$\begin{aligned}&\begin{cases} a &=\displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2} \\ \displaystyle \frac{1}{a} & =\displaystyle \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{cases},\quad \begin{cases} a^{2} &=\displaystyle \frac{-1- \sqrt{3}i}{2} \\ \displaystyle \frac{1}{a^{2}} & =\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{cases}\\ &\qquad\qquad\begin{cases} a^{3} &=1 \\ \displaystyle \frac{1}{a^{3}} & =1 \end{cases}\\ &\begin{cases} a^{4} &=\displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2} \\ \displaystyle \frac{1}{a^{4}} & =\displaystyle \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{cases}\quad \begin{cases} a^{5} &=\displaystyle \frac{-1- \sqrt{3}i}{2} \\ \displaystyle \frac{1}{a^{5}} & =\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{cases}\\ &\qquad\qquad\begin{cases} a^{6} &=1 \\ \displaystyle \frac{1}{a^{6}} & =1 \end{cases}\\ &\: \quad\vdots \\ &\cdots \quad \cdots \quad \begin{cases} a^{9} &=1 \\ \displaystyle \frac{1}{a^{9}} & =1 \end{cases}\\ &\cdots \quad \cdots \quad \begin{cases} a^{12} &=1 \\ \displaystyle \frac{1}{a^{12}} & =1 \end{cases}\\ &\cdots \quad \cdots \quad \begin{cases} a^{15} &=1 \\ \displaystyle \frac{1}{a^{15}} & =1 \end{cases}\\ &\textrm{dan seterusnya}\\ & \end{aligned}$.

Jadi, setiap pangkat kelipatan 3 ternyata sama dengan 1, sehingga ini mengakibatkan soal di atas dapat dituliskan lagi dengan

$\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Perhatikan lagi bentuk soal}\\ &a^{1234567891011}+\displaystyle \frac{1}{a^{11100987654321}}\\ &=a^{3m}+\displaystyle \frac{1}{a^{3n}}=1+\displaystyle \frac{1}{1}=1+1=\color{red}2 \end{aligned}$.