PAS MATEMATIKA BLOG: natural logarithm

D. Lanjutan penentuan nilai e

Perhatikanlah bentuk

$\begin{array}{r} {\begin{cases} 1. & = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \\ 2. & = {(1 - \frac{1}{n})}^{- n} \end{cases} \end{array}$ .

Menurut Binomial Newton,

$\begin{aligned} (a + b)^{n} = & C_{0}^{n} a^{n} b^{0} + C_{1}^{n} a^{n - 1} b^{1} + C_{2}^{n} a^{n - 2} b^{2} \\ + C_{3}^{n} a^{n - 3} b^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} a^{3} b^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} a^{2} b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \\ = \sum_{r = 0}^{n} C_{r}^{n} a^{n - r} b^{r} \end{aligned}$ .

Bentuk perluasannya, ketika a=1 dan b=x

$\begin{aligned} (1 + x) & ^{n} \\ = & C_{0}^{n} 1^{n} x^{0} + C_{1}^{n} 1^{n - 1} x^{1} + C_{2}^{n} 1^{n - 2} x^{2} \\ + C_{3}^{n} 1^{n - 3} x^{3} + \dots + C_{n - 3}^{n} 1^{3} x^{n - 3} \\ + C_{n - 2}^{n} 1^{2} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} 1^{1} x^{n - 1} + C_{n}^{n} 1^{0} x^{n} \\ = & C_{0}^{n} + C_{1}^{n} x + C_{2}^{n} x^{2} + C_{3}^{n} x^{3} + \dots \\ + C_{n - 3}^{n} x^{n - 3} + C_{n - 2}^{n} x^{n - 2} + C_{n - 1}^{n} x^{n - 1} \\ + C_{n}^{n} x^{n} \end{aligned}$

Sehingga

$\begin{aligned} (1 + x)^{n} & = 1 + n x + \frac{n (n - 1)}{2!} x^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} x^{3} \\ + . . . + \frac{n (n - 1) (n - 2) . . . (n - r + 1)}{(r - 1)!} x^{r - 1} + . . . \end{aligned}$ .

Saat $x = \frac{1}{n}$ ,

$\begin{aligned} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} & = 1 + \frac{n}{1} . {(\frac{1}{n})}^{1} + \frac{n (n - 1)}{1.2} {(\frac{1}{n})}^{2} \\ + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2 .3} {(\frac{1}{n})}^{2} \\ + . . . + \frac{n (n - 1) (n - 2) . . .1}{1.2 .3 . . . n} {(\frac{1}{n})}^{n} \end{aligned}$ .

Jika $U_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ , maka didapatkan

$\begin{aligned} U_{n} & = 1 + 1 + \frac{1}{2!} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \\ + \frac{1}{4!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) (1 - \frac{3}{n}) \\ + . . . + \frac{1}{n!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) (1 - \frac{3}{n}) . . . (1 - \frac{n - 1}{n}) \end{aligned}$ .

Karena bentuk di atas $(1 - \frac{p}{n}) < 1$ , dengan $p, n \in N$ , maka akan diperoleh

$U_{1} < U_{n} < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + . . . + \frac{1}{n!}$

Serta diketahui bentuk

$\begin{aligned} \frac{1}{2.3} < \frac{1}{2.2} \\ \frac{1}{2.3 .4} < \frac{1}{2.2 .2} \\ \frac{1}{2.3 .4 .5} < \frac{1}{2.2 .2 .2} \\ . . . \\ \frac{1}{2.3 .3 .4 . . . n} < \frac{1}{2^{n - 1}} \end{aligned}$ .

Dan diketahui pula dari uraian di atas $U_{1} = 2$ , maka

$\begin{aligned} U_{1} < U_{n} < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + . . . + \frac{1}{n!} \\ \Leftrightarrow 2 < U_{n} < 1 + 1 + \underset{deret konvergen}{\underset{⏟}{(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . . + \frac{1}{2^{n}})}} \\ \Leftrightarrow 2 < U_{n} < 1 + 1 + (\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}) \\ \Leftrightarrow 2 < U_{n} < 1 + 1 + 1 \\ \Leftrightarrow 2 < U_{n} < 3 \\ \Leftrightarrow 2 < \underset{n \to \infty}{Lim} U_{n} < 3 \end{aligned}$ .

Selanjutnya bentuk $\underset{h \to 0}{Lim} U_{n} = e$ , dengan e adalah bilangan irasional dengan bentuk desimal e = 2,71828....

DAFTAR PUSTAKA

Koesmantoro, Rawuh (Ed.). 2001. Matematika Pendahuluan (Seri Matematika). Cet. VII. Bandung: ITB.

Materi pendukung pada aplikasi logaritma yang melibatkan penggunaan konstanta e di sini

A. Pendahuluan

Bilangan e (epsilon) yang dimaksud adalah bilangan basis pada logaritma alami yang besarnya dalam bentuk semimal e = 2,71828...

Dalam logaritma basis 10, log e = 0,4343. Sedangkankan dalam logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural (kadang dinamai dengan nama penemunya, yaitu Napier, matematikawan dari Skotlandia) dengan dilambangkan $^{e} \log x = \ln x$ .

$^{e} \log x =^{2, 7183} \log x = \ln x$ .

Bilangan e (epsilon) didapatkan dari bentuk ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ dengan $n$ . bilangan asli.

Sebagai ilustrasi prosesnya mendapatkannya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{ll} n = 1 & \begin{aligned} = {(1 + \frac{1}{1})}^{1} \\ = 2 \end{aligned} \\ n = 2 & \begin{aligned} = {(1 + \frac{1}{2})}^{2} \\ = 2, 25 \end{aligned} \\ n = 3 & \begin{aligned} = {(1 + \frac{1}{3})}^{3} \\ = 2, 37. . . \end{aligned} \\ n = 30 & \begin{aligned} = {(1 + \frac{1}{30})}^{30} \\ = 2, 67. . . \end{aligned} \\ n = 105 & \begin{aligned} = {(1 + \frac{1}{105})}^{105} \\ = 2, 705. . . \end{aligned} \\ n = 1000 & \begin{aligned} = {(1 + \frac{1}{1000})}^{1000} \\ = 2, 7169. . . \end{aligned} \\ n = 100000 & \begin{aligned} = {(1 + \frac{1}{100000})}^{100000} \\ = 2, 7182. . . \end{aligned} \end{array}$ .

B. Sifat-Sifat

$\begin{aligned} 1. & \ln a . b = \ln a + \ln b \\ 2. & \ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b \\ 3. & \ln a^{p} = p \times \ln a \\ 4. & \ln a = \frac{\log a}{\log e} \\ 5. & \ln e = 1, karena^{e} \log e = 1 \\ 6. & \ln \sqrt[p]{n} = \frac{1}{p} \times \ln a \end{aligned}$ .

C. Hubungan Antara Logaritma Biasa dengan Logaritma Alami

Perhatikan tabel berikut:

$\begin{array}{ll} \begin{aligned} ^{e} \log x & = \ln x, \\ \frac{\log x}{\log e} & = \ln x \\ \log x & = \log e . \ln x \\ = 0, 4343. \ln x \end{aligned} & \begin{aligned} \ln x & =^{e} \log x \\ = \frac{\log x}{\log e} \\ = \frac{\log x}{\log 2, 71828} \\ = \frac{\log x}{0, 4343} \\ = 2, 303 \log x \end{aligned} \end{array}$ .

Sehingga dapat disimpulkan

$\begin{aligned} ∙ & \log x = 0, 4343 \ln x \\ ∙ & \ln x = 2, 303 \log x \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Jika \log 2 = 0, 301, tentukan nilai \\ dari \ln 2 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \ln 2 & = 2, 303 \log 2 \\ = 2, 303 (0, 301) \\ = 0, 6932 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Jika \log 3 = 0, 4771 dan \log 5 = 0, 6990 \\ tentukan nilai dari \ln 45 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \ln 45 & = 2, 303 \log 45 \\ = 2, 303 \log 9.5 \\ = 2, 303 (\log 9 + \log 5) \\ = 2, 303 (\log 3^{2} + \log 5) \\ = 2, 303 (2 \log 3 + \log 5) \\ = 2, 303 (2.0, 4771 + 0, 6990) \\ = 2, 303 (1, 6532) \\ = 3, 8073 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Tentukan nilai dari \ln 345, 67^{1.25} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \ln 345, 67^{1.25} & = 1, 25 \times \ln 345, 67 \\ = 1, 25 \times 2, 303 \log 345, 67 \\ = 1, 25 \times 2, 303 \times 2, 5387 \\ = 7, 3084 \end{aligned} \end{array}$ .

$LATIHAN SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Jika \log 3 = 0, 4771 dan \log 5 = 0, 699 \\ Tentukanlah nilai \ln 75 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Jika \log 2 = 0, 3010 dan \log 3 = 0, 4771 \\ Tentukanlah nilai \ln 4 - \ln 9 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Jika \log 2 = 0, 3010 dan \log 7 = 0, 8451 \\ Tentukanlah nilai \ln (8 \times 49) \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Jika \log 2 = 0, 3010 dan \log 7 = 0, 8451 \\ Tentukanlah nilai \ln 140 - \ln 5 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 5. & Tentukan nilai dari \ln 89, 75 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 6. & Tentukan nilai dari \ln 3, 456^{0, 75} + \ln 5, 678^{0, 75} \end{array}$ .

DAFTAR PUSTAKA

Tim MGMP Matematika SMK PROV JATENG. 2007. Modul Matematika SMK Kelompok Teknik, Pertanian dan Kesehatan Semester 1 Kelas X.

PAS MATEMATIKA BLOG

Bilangan e pada Logaritma (Bagian 2)

Bilangan e pada Logaritma (Bagian 1)