Penggunaan Integral Tentu Fungsi Aljabar

 A. Luas

Menghitung luas yang dibatasi oleh sebuah kurva dan sumbu X kita dapat menggunakan bantuan integral tentuk sebagaimana uraian sebelumnya

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Di Atas Sumbu X}& \text{Di Bawah Sumbu X}\\ & -{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}\\ {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}& atau\\ & {\displaystyle {\int }_b^{a}f(x)dx}\\ \hline\end{array}$.

B. Volume Benda Putar

Adapun untuk volume diformulasikan dengan integral tentu berikut

$\boxed{{\displaystyle V=\pi {\displaystyle {\int }_a^b{(f(x))}^{2}dx=\pi {\displaystyle {\int }_a^b{y}^{2}dx}}}}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah luas daerah bidang berikut dan }\\ & \text{tentukan pula volumenya seandainya bidang }\\ & \text{yang diarsir tersebut diputar terhadap sumbu X}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}{L}_{\text{Arsiran}}& ={\displaystyle {\int }_1^{3}2xdx}\\ & ={\displaystyle {\left[x^2\right]}_1^3}\\ & ={\left(3\right)}^2-{\left(1\right)}^2\\ & =9-1\\ & =8\mathbf{\text{satuan luas}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{V}_{\text{Benda putar}}& =\pi {\displaystyle {\int }_1^3{\left(y\right)}^{2}dx}\\ & =\pi {\displaystyle {\int }_1^3{\left(2x\right)}^{2}dx}\\ & =\pi {\displaystyle {\int }_1^{3}4x^{2}dx}\\ & =\pi {\left[{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}\right]}_1^3\\ & =\pi \left({\displaystyle \frac{4\times 3^3}{3}}\right)-\pi \left({\displaystyle \frac{4\times 1^3}{3}}\right)\\ & =36\pi -{\displaystyle \frac{4}{3}\pi }\\ & =34{\displaystyle \frac{2}{3}\pi \mathbf{\text{satuan volum}}}\end{array}\end{array}$.

$$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui parabola}{f}_1(x)=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1\\ & \text{dan}{f}_2(x)=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2.\\ & \text{Titik potong kedua parabola tersebut }\\ & \text{dapat cari dengan}\\ & \\ & f_1(x)=f_2(x)\\ & \iff a_1{x}^2+b_{1}x+c_1=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2\\ & \iff a{x}^2+bx+c=0.\\ & \\ & \text{Jika kedua parabola berpotongan di dua}\\ & \text{titik, tunjukkan bahwa luas daerah antara}\\ & \text{kedua parabola tersebut dapat }\\ & \text{dinyatakan dengan}{\displaystyle \mathbf{\text{L}}=\frac{\mathbf{\text{D}}\sqrt{\mathbf{\text{D}}}}{{\mathbf{\text{6a}}}^{\mathbf{\text{2}}}}}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}:\\ & a{x}^2+bx+c=0\{\begin{array}{ll}& x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ & \\ & x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}L& ={\displaystyle {\int }_{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}(a{x}^2+bx+c)dx={\left[{\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx}\right]}_{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\\ & =\left[{\displaystyle \frac{a}{3}{\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}^3+{\displaystyle \frac{b}{2}{\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}^2+c\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}}\right]\\ & -\left[{\displaystyle \frac{a}{3}{\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}^3+{\displaystyle \frac{b}{2}{\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}^2+c\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}}\right]\\ & ={\displaystyle \frac{a}{24a^3}[({\sqrt{D}}^3-3{\sqrt{D}}^{2}b+3\sqrt{D}{b}^2-b^3)+({\sqrt{D}}^3+3{\sqrt{D}}^{2}b+3\sqrt{D}{b}^2+b^3)]}\\ & +{\displaystyle \frac{b}{8a^2}[(b^2-2b\sqrt{D}+{\sqrt{D}}^2)-(b^2+2b\sqrt{D}+{\sqrt{D}}^2)]+{\displaystyle \frac{c}{2a}[(-b+\sqrt{D})-(-b-\sqrt{D})]}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{24a^2}[2{\sqrt{D}}^3+6\sqrt{D}{b}^2]+{\displaystyle \frac{b}{8a^2}[-4b\sqrt{D}]+{\displaystyle \frac{c}{2a}\left[2\sqrt{D}\right]}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\sqrt{D}}^3}{12a^2}+\frac{b^2\sqrt{D}}{4a^2}-\frac{b^2\sqrt{D}}{2a^2}+\frac{c\sqrt{D}}{a}={\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{12a^2}+\frac{b^2\sqrt{D}}{4a^2}-\frac{b^2\sqrt{D}}{2a^2}+\frac{c\sqrt{D}}{a}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^2}(D+3b^2-6b^2+12ac)}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^2}[(b^2-4ac)-3b^2+12ac]}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^2}[-2b^2+8ac]}\\ & =-{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{6a^2}[b^2-4ac]=-\frac{\sqrt{D}}{6a^2}\left[D\right]}\\ & =-\frac{D\sqrt{D}}{6a^2},\mathbf{\text{luas tidak mungkin negatif}}\\ & ={\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}◼}\end{array}\end{array}$$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, }\\ & \text{jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva}\\ & y^2=x\text{dan}y=x\text{diputar mengelilingi sumbu X}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Menentukan batas}}\\ & \begin{array}{|rl|}\hline \begin{array}{rl}y& =y\\ x^2& =x\\ x^2-x& =0\\ x(x-1)& =0\\ x=0\text{atau}x& =1\\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}V& =\pi {\displaystyle {\int }_a^b(y_1^2-y_2^2)dx}\\ & =\pi {\displaystyle {\int }_0^1(x-x^2)dx}\\ & =\pi {\left[{\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3}\right]}_0^1\\ & =\pi \left[{\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\right]\\ V& ={\displaystyle \frac{1}{6}\pi }\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{Keterangan lanjutan}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa;}\\ & y^2=x\Rightarrow y=\sqrt{x},\text{dianggap sebagai}{y}_1\\ & \text{Sehingga}{y}_1-\text{nya adalah}\sqrt{x}\\ & \text{dan}y=x\text{dianggap sebagai}{y}_2\\ & (y_1^2-y_2^2)=({\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(x\right)}^2)=x-x^2\end{array}\\ & \text{Jadi, volume dari benda putar tersebut}\\ & \text{dalam satuan volum adalah}{\displaystyle \frac{1}{6}\pi }\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan volume benda putar yang terbentuk,}\\ & \text{jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva}\\ & y=2x,y=x,x=1,\text{dan}x=3\\ & \text{diputar mengelilingi sumbu X}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi gambar berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Langkah-Langkah penyelesaiannya adalah:}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Batas}& \text{Menentukan Volumenya}\\ x=1\text{dan}x=3& \begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \pi {\int }_a^b(f^2(x)-g^2(x))dx}\\ & ={\displaystyle \pi {\int }_1^3({\left(2x\right)}^2-{\left(x\right)}^2)dx}\\ & ={\displaystyle \pi {\int }_1^{3}3x^{2}dx}\\ & ={\displaystyle \pi {\left[x^3\right]}_1^3}\\ & ={\displaystyle \pi \left(3^3\right)-\pi \left(1^3\right)}\\ & =27\pi -1\pi \\ V& =26\pi \mathbf{\text{Satuan Volum}}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tentukan volume daerah yang dibatasi}\\ & \text{oleh lingkaran}{x}^2+y^2=4,\text{selang}\\ & -2\le x\le 2\text{dan}\text{diputar mengelilingi}\\ & \text{sumbu X}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Langkah-Langkah penyelesaiannya adalah:}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Batas}& \text{Menentukan Volumenya}\\ x=-2\text{sampai}x=2& \begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \pi {\int }_a^b{y}^{2}dx}\\ & ={\displaystyle \pi {\int }_{-2}^2(4-x^2)dx}\\ & ={\displaystyle \pi {[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-2}^2}\\ & ={\displaystyle \pi (8-{\displaystyle \frac{8}{3}})-\pi (-8+{\displaystyle \frac{8}{3}})}\\ & ={\displaystyle \pi (8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3})}\\ V& ={\displaystyle \frac{32}{3}\pi \mathbf{\text{Satuan Volum}}}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\text{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah luas daerah yang diarsir berikut}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tunjukkan bahwa luas ellips}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\ & \text{adalah}\pi ab\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah volume benda putar yang terjadi}\\ & \text{jika daerah dari hasil putar tersebut mengelilingi }\\ & \text{sumbu X serta dibatasi oleh}\\ & \begin{array}{l}\text{a}.y=x+3,\text{sumbu x, garis x = 2, dan x = 4}\\ \text{b}.{\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2,\text{sumbu x, garis x = 0, dan x = 4}}\\ \text{c}.{\displaystyle y=\sqrt{x+2},\text{sumbu x, garis x = 2, dan x = 4}}\\ \text{d}.y=4-2x,\text{sumbu x, garis x = 0, dan x = 4}\\ \text{e}.{\displaystyle x^2+y^2=16,\text{dan sumbu X}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukanlah volume benda putar yang}\\ & \text{terjadi jika daerah dari hasil putar tersebut }\\ & \text{mengelilingi sumbu X serta dibatasi oleh}\\ & \begin{array}{l}\text{a}.y=2x-x^2,\text{dan}y=0\\ \text{b}.{\displaystyle y^2=x,\text{dan}y=2}\\ \text{c}.{\displaystyle y=x^2,\text{dan}y=-x^2+4}\\ \text{d}.y=7-2x^2,\text{dan}y=x^2+4\\ \text{e}.{\displaystyle y=x^2,\text{dan}{y}^2=x}\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007.  Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA Standar ISI 2006. Jakarta: ESIS.