Penggunaan Turunan Fungsi (Lanjutan Materi Turunan Fungsi Aljabar)

 Penggunaan Turunan Fungsi Aljabar ini nantinya terdapat di antaranya pada:

• Persamaan garis singgung
• Fungsi naik dan fungsi turun
• Menggambar grafik fungsi aljabar
• Maksimum dan minimum fungsi
• Teorema L'Hopital (dibaca : Lopital)
• Titik Stasioner/Titik kritis/Titik Ekstrim (titik maksmum, titik minimum, dan titik belok)
• Kecepatan dan percepatan

Perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{No}& \text{Turunan Pertama}& \text{Turunan Pertama}\\ 1.& \text{Gradien garis singgung}& \begin{array}{rl}m& =f{}^{\prime }(x)\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}={\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\end{array}\\ 2.& \text{Fungsi naik dan turun}& y=f(x)\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)>0,& \\ \text{ fungsi naik }& \\ \\ f^{\prime }(x)<0,& \\ \text{ fungsi turun }& \end{array}\\ 3.& \text{Jarak, kec, percepatan}& y=s(t)\{\begin{array}{ll}s(t)& \text{ jarak}\\ s{}^{\prime }(t)& \text{ kecepatan }\\ s{}^{″}(t)& \text{ percepatan}\end{array}\\ 4.\text{a}& \text{Stasioner}& \begin{array}{rl}\text{Maksimum}:& \\ \to f& {}^{″}(k)<0\\ \text{titik mak}& (k,f(k))\end{array}\\ 4.\text{b}& \text{Stasioner}& \begin{array}{rl}\text{Minimum}:& \\ \to f& {}^{″}(k)>0\\ \text{titik min}& (k,f(k))\end{array}\\ 4.\text{c}& \begin{array}{rl}& \text{Syarat stasioner}\\ & f^{\prime }(x)=0,\to x\\ & \text{dengan}x=k\end{array}& \begin{array}{rl}\text{Belok}:& \\ \to f& {}^{″}(k)=0\\ \text{titik belok}& (k,f(k))\end{array}\\ 5.& \begin{array}{rl}& \text{Limit fungsi}\\ & \text{bentuk tak tentu}\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Aturan L'Hopital}\\ & \\ & \underset{x\to h}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to h}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f{}^{\prime }(x)}{g{}^{\prime }(x)}}}\\ & \\ & \text{untuk hasil limit}\\ & \text{bentuk}\frac{0}{0}\text{atau}\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}\\ \text{No}& \text{Turunan Kedua}& \text{Turunan Kedua}\\ 6.& f^{″}={\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}& \begin{array}{rl}\bullet & \text{Belok}\\ \bullet & \text{Percepatan}\\ \bullet & \text{Maksimum}\\ \bullet & \text{Minimum}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah persamaan garis singgung }\\ & \text{pada kurva}y=x^2+2x-8\text{di titik yang}\\ & \text{berabsis}1\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui},\text{persamaan sebuah kurva adalah:}\\ & y=x^2+2x-8\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{|cc|}\hline \text{Titik singgung}& \text{Gradien},x=1\\ \begin{array}{rl}\text{absis}x& =1,\\ \text{maka}y& =(1{)}^2+2(1)-8\\ & =1+2-8\\ & =-5\\ & \\ \text{di titik}& (a,b)=(1,-5)\end{array}& \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{dy}{dx}=m}& =2x+2\\ & =2(1)+2\\ & =4\\ & \\ & \end{array}\\ \text{Persamaan garis singgung}& \text{Kesimpulan}\\ \begin{array}{rl}y& =m(x-a)+b\\ & =4(x-1)+(-5)\\ & =4x-4-5\\ & =4x-9\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Sehingga},\text{PGS adalah:}\\ & y=4x-9\mathbf{\text{atau}}\\ & y-4x+9=0\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Jadi},\text{persamaan garis singgungnya adalah:}\\ & y=4x-9\mathbf{\text{atau}}y-4x+9=0\\ \\ & \text{Dan berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah interval di mana kurva }\\ & \text{fungsi}f(x)=x^3+3x^2-9x+5\\ & \text{a}.\text{naik}\\ & \text{b}.\text{turun}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diket}& \text{ahui fungsi}\\ f(x)& =x^3+3x^2-9x+5\\ f{}^{\prime }(x)& =3x^2+6x-9\\ & =3(x+3)(x-1)\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \text{naik};f{}^{\prime }(x)>0& \text{turun};f{}^{\prime }(x)<0\\ \begin{array}{rl}& \\ & 3(x+3)(x-1)>0\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \\ & 3(x+3)(x-1)<0\\ & \end{array}\\ \begin{array}{rl}& \\ \text{naik},& x<-3\text{atau}x>1\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \\ \text{turun},& -3<x<1\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$ .

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah nilai stasioner fungsi}\\ & f(x)=x^3+3x^2-9x+5\text{dan }\\ & \text{tentukan pula jenisnya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahu fungsi}\\ & f(x)=x^3+3x^2-9x+5\\ & \text{Syarat stasioner}{f}^{\prime }(x)=0,\text{maka}\\ & f{}^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=0\\ & 0=3(x+3)(x-1)\\ & x=-3\text{atau}x=1\\ & \text{Dan untuk nilai dan titik stasionernya}:\\ & f(-3)=(-3{)}^3+3(-3{)}^2-9(-3)+5=32\\ & \to (-3,32)\text{adalah titik balik maksimum}\\ \\ & f(1)=(1{)}^3+3(1{)}^2-9(1)+5=0\\ & \to (1,0)\text{adalah titik balik minimum}\\ \\ & \text{Dan berikut ilustrasi gambarnya}\\ & \text{untuk soal no.2 dan 3}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Masih sama dengan soal seperti pada }\\ & \text{No. sebelumnya yaitu fungsi}\\ & f(x)=x^3+3x^2-9x+5.\\ & \text{Tentukanlah koordinat titik beloknya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =x^3+3x^2-9x+5\\ f{}^{\prime }(x)& =3x^2+6x-9\\ f{}^{″}(x)& =6x+6\\ \text{Proses}& \text{mencari titik beloknya}\\ f{}^{″}(x)& =0\\ 6x+6& =0\\ 6x& =-6\\ x& =-1\\ & \end{array}\\ & \begin{array}{|ccccl|}\hline \text{Interval}& f(x)& f{}^{\prime }(x)& f{}^{″}(x)& \text{Keterangan}\\ x<-1& & & -& \text{grafik cekung ke bawah}\\ x=-1& 16& -12& 0& \text{grafik memiliki titik belok}\\ x>-1& & & +& \text{grafik cekung ke atas}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Koordinat titik beloknya}:(-1,16)\\ \\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}$.