Contoh 5 Soal dan Pembahasan Materi Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran}\\ &\textrm{berikut}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+x+y-14=0\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}=13\\ &L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}+3x-2y-26=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}(3,-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2,-3)\\ &\textrm{c}.\quad (-3,2)\\ &\textrm{d}.\quad (-2,3)\\ &\textrm{e}.\quad (3,2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{lrlll} (L_{1})&x^{2}+y^{2}+x+y&=&14\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &x+y&=&1&....(1) \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{3})&x^{2}+y^{2}+3x-2y&=&26\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &3x-2y&=&13&....(2) \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya kita eliminasi}\: (1)\& (2)\\ &\textrm{dan hasilnya adalah}:\\ &\begin{array}{rrlrl} \color{blue}(2)&3x-2y&=&13\\ \color{blue}(1)&3x+3y&=&3&-\qquad (\times 3)\\\hline &-5y&=&10&\\ &y&=&\color{red}-2&\Rightarrow x=\color{red}3 \end{array}\\ &\textrm{Jadi, titik kuasa ketiganya}: (3,-2) \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Titik-titik potong dari persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-2)^{2}+y^{2}=10\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-2)^{2}=10\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad (3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}(3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\ &\textrm{c}.\quad (3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{d}.\quad (-3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{e}.\quad (-3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Dengan substitusi opsi pilihan jawaban}\\ &\textrm{maka akan ketemu jawabannya langsung}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-2)^{2}+y^{2}&=&10\\ (L_{2})&x^{2}+(y-2)^{2}&=&10&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-4x&=&6\\ (L_{2})&x^2+y^2-4y&=&6&-\\\hline &-4x+4y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array} \\ &\textrm{Jelas opsi jawaban c, d salah}\\ &\textrm{karena}\: \: y=x,\\ &\textbf{Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban}\\ &\textbf{akan tampak dengan jelas}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Persamaan tali busur persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-3)^{2}+y^{2}=16\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-3)^{2}=16\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad y=-2x\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}y=x\\ &\textrm{d}.\quad y=2x\\ &\textrm{e}.\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-3)^{2}+y^{2}&=&16\\ (L_{2})&x^{2}+(y-3)^{2}&=&16&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-6x&=&9\\ (L_{2})&x^2+y^2-6y&=&9&-\\\hline &-6x+6y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Banyaknya garis singgung persekutuan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}1\\ &\textrm{c}.\quad 2\\ &\textrm{d}.\quad 3\\ &\textrm{e}.\quad 4\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\  r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Perhatikan pula bahwa}\: \: r_{2}-r_{1}=4-1=3\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: \: P_{1}P_{2}=r_{2}-r_{1},\: \textrm{hal ini berarti lingkaran}\\ &L_{1}\: \: \textrm{bersinggungan di dalam dengan lingkaran}\: L_{2}\\ &\textrm{Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan }\\ &\textrm{memiliki}\: \: \color{red}\textrm{satu}\: \: \color{black}\textrm{garis singgung persekutuan} \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Persamaan lingkaran dengan jari-jari}\: \: 5\\ &\textrm{dan menyinggung lingkaran lain}\\ & x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0\: \: \: \textrm{di titik}\\ &(5,5)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahi bahwa}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{rrlll} (L_{1})&(x-a)^2+(y-b)^{2}&=&5^{2}\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}-2x-4y&=&20& \end{array} \\ &\textrm{Titik singgung dua lingkaran}\\ &\textrm{di titik}\: \: (5,5),\: \textrm{artinya}\\ &\begin{pmatrix} 5\\  5 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\  2 \end{pmatrix}}{2}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 10\\  10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\  2 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10-1\\  10-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\  8 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{maka persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\Leftrightarrow (x-9)^{2}+(y-8)^{2}=5^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-18x-16y+120=0 \end{aligned}\\  &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya}  \end{array}$.