PAS MATEMATIKA BLOG: Relationship of Two Circles

\begin{array}{ll} 21. & Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran \\ berikut \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + x + y - 14 = 0 \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} = 13 \\ L_{3} \equiv x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y - 26 = 0 adalah . . . . \\ a . (3, - 2) \\ b . (2, - 3) \\ c . (- 3, 2) \\ d . (- 2, 3) \\ e . (3, 2) \\ Jawab : \\ Dengan eliminasi, kita mendapatkan \\ \begin{aligned} \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & x^{2} + y^{2} + x + y & = & 14 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} & = & 13 & - \\ x + y & = & 1 & . . . . (1) \end{array} \\ dan \\ \begin{array}{lrlll} (L_{3}) & x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y & = & 26 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} & = & 13 & - \\ 3 x - 2 y & = & 13 & . . . . (2) \end{array} \\ Selanjutnya kita eliminasi (1) & (2) \\ dan hasilnya adalah : \\ \begin{array}{rrlrl} (2) & 3 x - 2 y & = & 13 \\ (1) & 3 x + 3 y & = & 3 & - (\times 3) \\ - 5 y & = & 10 \\ y & = & - 2 & \Rightarrow x = 3 \end{array} \\ Jadi, titik kuasa ketiganya : (3, - 2) \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 22. & Titik-titik potong dari persekutuan dua \\ lingkaran L_{1} \equiv (x - 2)^{2} + y^{2} = 10 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + (y - 2)^{2} = 10 adalah . . . . \\ a . (3, 3) dan (1, 1) \\ b . (3, 3) dan (- 1, - 1) \\ c . (3, - 3) dan (1, 1) \\ d . (- 3, 3) dan (1, 1) \\ e . (- 3, - 3) dan (- 1, - 1) \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ Dengan substitusi opsi pilihan jawaban \\ maka akan ketemu jawabannya langsung \\ Alternatif 2 \\ Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar \\ \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & (x - 2)^{2} + y^{2} & = & 10 \\ (L_{2}) & x^{2} + (y - 2)^{2} & = & 10 \\ menjadi \\ (L_{1}) & x^{2} + y^{2} - 4 x & = & 6 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 4 y & = & 6 & - \\ - 4 x + 4 y & = & 0 \\ maka hasilnya \\ y & = & x \end{array} \\ Jelas opsi jawaban c, d salah \\ karena y = x, \\ Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban \\ akan tampak dengan jelas \end{array}

\begin{array}{ll} 23. & Persamaan tali busur persekutuan dua \\ lingkaran L_{1} \equiv (x - 3)^{2} + y^{2} = 16 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + (y - 3)^{2} = 16 adalah . . . . \\ a . y = - 2 x \\ b . y = - x \\ c . y = x \\ d . y = 2 x \\ e . y = \frac{1}{2} x \\ Jawab : \\ Dengan eliminasi, kita mendapatkan \\ \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & (x - 3)^{2} + y^{2} & = & 16 \\ (L_{2}) & x^{2} + (y - 3)^{2} & = & 16 \\ menjadi \\ (L_{1}) & x^{2} + y^{2} - 6 x & = & 9 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 6 y & = & 9 & - \\ - 6 x + 6 y & = & 0 \\ maka hasilnya \\ y & = & x \end{array} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 24. & Banyaknya garis singgung persekutuan \\ lingkaran-lingkaran x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 \\ dan x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 adalah . . . . \\ a . 0 \\ b . 1 \\ c . 2 \\ d . 3 \\ e . 4 \\ Jawab : \\ Perhatikan bahwa \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 1, 3) \\ r_{1} & = 1 \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (- 4, 3) \\ r_{2} & = 4 \end{cases} \end{array} \\ Perhatikan pula bahwa r_{2} - r_{1} = 4 - 1 = 3 \\ \begin{aligned} Karena P_{1} P_{2} = r_{2} - r_{1}, hal ini berarti lingkaran \\ L_{1} bersinggungan di dalam dengan lingkaran L_{2} \\ Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan \\ memiliki satu garis singgung persekutuan \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

$\begin{array}{ll} 25. & Persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 \\ dan menyinggung lingkaran lain \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0 di titik \\ (5, 5) adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ Jawab : \\ Diketahi bahwa \\ \begin{aligned} \begin{array}{rrlll} (L_{1}) & (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = & 5^{2} \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y & = & 20 \end{array} \\ Titik singgung dua lingkaran \\ di titik (5, 5), artinya \\ (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array}) = \frac{(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})}{2} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 - 1 \\ 10 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 8 \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} maka persamaan lingkarannya adalah : \\ \Leftrightarrow (x - 9)^{2} + (y - 8)^{2} = 5^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 18 x - 16 y + 120 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

Hubungan Dua Buah Lingkaran

Coba perhatikan ilustrasi beberapa lingkaran berikut

Sebagai penjelasan dari kondisi di atas adalah:

\begin{array}{ccl} Kedudukan & Ilustrasi & Keterangan \\ | L_{1} L_{2} | > r_{1} + r_{2} & Gambar 1 & \begin{aligned} kedua lingkaran tidak berpotongan \\ dan tidak pula bersinggungan \\ dan saling lepas \end{aligned} \\ | L_{1} L_{2} | = 0 & Gambar 5 & Dikarenakan sepusat \\ | L_{1} L_{2} | \leq r_{1} + r_{2} & Gambar 6 & Terletak di dalam lingkaran L_{1} \\ | L_{1} L_{2} | = r_{1} + r_{2} & Gambar 2 & \begin{aligned} kedua lingkaran tidak berpotongan \\ tetapi bersinggungan di luar \end{aligned} \\ | L_{1} L_{2} | = r_{1} - r_{2} & Gambar 3 & \begin{aligned} kedua lingkaran tidak berpotongan \\ tetapi bersinggungan di dalam \end{aligned} \\ {\begin{cases} | L_{1} L_{2} | > r_{1} - r_{2} \\ | L_{1} L_{2} | < r_{1} + r_{2} \end{cases} & Gambar 4 & \begin{aligned} kedua lingkaran berpotongan \end{aligned} \end{array}

\begin{aligned} Kuasa \\ \begin{array}{ll} Lingkaran & Posisi sebuah titik terhadap lingkaran \\ \begin{aligned} Titik dua \\ lingkaran \end{aligned} & \begin{aligned} Tempat kedudukan titik-titik yang memiliki \\ kuasa yang sama terhadap dua lingkaran \end{aligned} \\ \begin{aligned} Garis tiga \\ lingkaran \end{aligned} & \begin{aligned} Tempat kedudukan titik yang memiliki \\ kuasa yang sama terhadap tiga buah lingkaran \end{aligned} \end{array} \end{aligned}

\begin{aligned} Berkas Lingkaran \\ \begin{array}{lll} Istilah & Posisi & Keterangan \\ \begin{aligned} Berkas \\ Lingkaran \end{aligned} & \begin{aligned} Pada garis \\ busur \end{aligned} & \begin{aligned} Sejumlah lingkaran yang dapat \\ dibuat melalui titik-titik potong \\ kedua lingakaran itu \end{aligned} \end{array} \end{aligned}

\begin{aligned} Tali Busur Sekutu \\ \begin{array}{lll} Istilah & Posisi & Keterangan \\ \begin{aligned} Tali Busur \\ Sekutu \end{aligned} & \begin{aligned} Kedua \\ lingkaran \\ yang \\ berpotongan \end{aligned} & \begin{aligned} Ruas garis yang menghubungkan \\ titik-titik potong irisan irisan \\ kedua lingkaran tersebut \end{aligned} \end{array} \\ ∙ Persamaan Tali Busur Sekutunya adalah : L_{1} - L_{2} = 0 \\ ∙ Persamaan yang melalui titik potong dan lingkaran (berkas) \\ itu adalah : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}), atau L_{3} = L_{1} + p L_{2} \\ dengan p adalah suatu parameter (suatu patokan nilai) \\ ∙ Luas daerah irisan : (θ_{1} r_{1}^{2} + θ_{2} r_{2}^{2}) - \frac{1}{2} (r_{1}^{2} \sin θ_{1} + r_{2}^{2} \sin θ_{2}) \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tentukanlah kedudukan untuk dua buah lingkaran \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0 \\ dan L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 1 = 0. \\ Jika kedua lingkaran tersebut bersinggungan \\ atau berpotongan, tentukanlah titik singgung atau potongnya \\ Jawab : \\ \begin{array}{cc} L_{1} & L_{2} \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0 & x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 1 = 0 \\ {\begin{cases} P_{1} & : (- \frac{1}{2} (- 2), - \frac{1}{2} (- 4)) = (1, 2) \\ r & = \sqrt{\frac{1}{4} ((- 2)^{2} + (- 4^{2})) - 1} \\ = 2 \end{cases} & {\begin{cases} P_{2} & : (- \frac{1}{2} (- 4), - \frac{1}{2} (- 2)) = (2, 1) \\ r & = \sqrt{\frac{1}{4} ((- 4)^{2} + (- 2^{2})) - (- 1)} \\ = \sqrt{6} \end{cases} \end{array} \\ \begin{aligned} Jarak ke & dua pusat lingkarannya adalah P_{1} P_{2} yaitu : \\ P_{1} P_{2} & = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2}} \\ = \sqrt{2} \\ Karena n & ilai P_{1} P_{2} = \sqrt{2} dan nilai P_{1} + P_{2} = 2 + \sqrt{6}, \\ sehingga & P_{1} P_{2} < P_{1} + P_{2} maka kedua lingkaran \\ itu berpo & tongan \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 & = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) \\ x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 1 & = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) \\ - - - - - - - - - - & - - -^{-} \\ 2 x - 2 y + 2 & = 0 \\ y & = x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) \\ persamaan (3) \to (1) \\ x^{2} + (x + 1)^{2} - 2 x - & 4 (x + 1) + 1 = 0 \\ x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 - 2 x & - 4 x - 4 + 1 = 0 \\ 2 x^{2} - 4 x - 2 & = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 1 = 0 \\ x_{1, 2} & = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4.1 (- 1)}}{2} \\ = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} {\begin{cases} x_{1} & = 1 + \sqrt{2} . . . . . . . . . (4) atau \\ x_{2} & = 1 - \sqrt{2} . . . . . . . . . (5) \end{cases} \\ persamaan (4) \to (3) & , y_{1} = 1 + \sqrt{2} + 1 = 2 + \sqrt{2} \\ persamaan (5) \to (3) & , y_{1} = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2} \\ Sehingga titik poton & gnya ada 2 yaitu : \\ {\begin{cases} (1 + \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) dan \\ (1 - \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}) \end{cases} \\ Berikut ilustrasinya \end{aligned}

\begin{array}{ll} 2 & Dari contoh soal no.1, tentukanlah persamaan lingkaran \\ yang melalui titik potong kedua lingkaran itu serta \\ melalui titik pusat koordinat O (0, 0) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Pada jawaban soal no.1 didapatkan persamaan \\ tali busur : L_{1} - L_{2} \equiv x - y + 1 = 0 \\ Sehingga persamaan \\ berkas lingkaran nya adalah : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow L_{3} = (x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1) + p (x - y + 1) = 0 \\ Karena melalui titik asal O (0, 0), maka \\ \Leftrightarrow (0 + 0 - 0 - 0 + 1) + p (0 - 0 + 1) = 0 \Leftrightarrow p = - 1 \\ Selanjutnya persamaan berkas lingkarannya akan menjadi \\ L_{3} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 - (x - y + 1) = 0 \\ Jadi, L_{3} \equiv x^{2} + y^{2} - 3 x - 3 y = 0 \\ Dan gambar berikut sebagai ilustrasinya \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3 & Diketahuin dua buah lingkaran \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 15 y + 32 = 0 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 18 x + 2 y + 32 = 0 \\ Tunjukkan bahwa kedua lingkaran \\ bersinggungan di luar dan tentukan \\ titik singgungnya \\ Jawab : \\ Akan ditunjukkan kedua lingkaran saling \\ bersinggungan di luar, yaitu: \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 15 y + 32 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (0, 8) \\ r_{1} & = 4 \sqrt{2} \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 18 x + 2 y + 32 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (9, - 1) \\ r_{2} & = 5 \sqrt{2} \end{cases} \end{array} \\ Selanjutnya \\ \begin{array}{ll} Hitungan jarak kedua pusat & Sebagai bandingan \\ \begin{aligned} Pusat 1 lingkaran P_{1} = (0, 8) \\ Pusat 2 lingkaran P_{2} = (9, - 1) \\ maka jarak P_{1} P_{2} adalah \\ = \sqrt{(9 - 0)^{2} + (- 1 - 8)^{2}} \\ = \sqrt{9^{2} + 9^{2}} = \sqrt{2 \times 9^{2}} = 9 \sqrt{2} \end{aligned} & \begin{aligned} P_{1} P_{2} & = r_{1} + r_{2} \\ = 4 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \\ = 9 \sqrt{2} \end{aligned} \end{array} \\ Adapun koordinat titik singgungnya : \\ \begin{aligned} (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) & = \frac{5 (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \end{array}) + 4 (\begin{array}{c} 9 \\ - 1 \end{array})}{5 + 4} = \frac{(\begin{array}{c} 5 \times 0 + 4 \times 9 \\ 5 \times 8 + 4 \times (- 1) \end{array})}{9} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 36 \\ 36 \end{array})}{9} = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \end{aligned} \\ Sehingga koordinat titik potongnya adalah : (4, 4) \\ Sebagai gambaran perhatikan ilustrasi berikut \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

PAS MATEMATIKA BLOG

Contoh 5 Soal dan Pembahasan Materi Hubungan Dua Lingkaran

Hubungan Dua Lingkaran