Penggunaan Integral Tak Tentu

Penggunaan Integral Tak Tentu

Penggunaan integral tak tentu ini dapat digunakan dalam menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsi tersebut diberikan. Selain itu untuk menentukan posisi, kecepatan, percepatan suatu benda pada waktu tertentu.

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\\ &\bullet \quad s\: \: \textrm{adalah menunjukkan posisi}\\ &\bullet \quad v\: \: \textrm{adalah menunjukkan kecepatan}\\ &\bullet \quad a\: \: \textrm{adalah menunjukkan percepatan}\\ &\bullet \quad t\: \: \textrm{adalah menunjukkan waktu}\\\\ &\textbf{Perhatikan hubungan berikut}\\ &v=\displaystyle \frac{ds}{dt}\Leftrightarrow  ds=v\: dt\\ &\Leftrightarrow  \displaystyle \int ds =\int v\: dt\\ &\Leftrightarrow \: \: \quad s=\displaystyle \int v\: dt\\\\ &\textbf{Demikian juga hubungan berikut}\\ &a=\displaystyle \frac{dv}{dt}\Leftrightarrow  dv=a\: dt\\ &\Leftrightarrow  \displaystyle \int dv =\int a\: dt\\ &\Leftrightarrow \: \: \quad v=\displaystyle \int a\: dt \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan}\: \: y,\: \textrm{Jika}\: \: \displaystyle \frac{dy}{dx}=2022x\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &\displaystyle \frac{dy}{dx}=2022x\Leftrightarrow  dy=2022x\: dx\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int dy=\int 2022x\: dx\\ &\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{2022}{2}x^{2}+C\\ &\Leftrightarrow y=1011x^{2}+C \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui fungsi turunan pertama kurva}\\ &\textrm{adalah}\: \:  \displaystyle \frac{dy}{dx}=2x-2\: .\:  \textrm{Jika kurva melalui}\\ &\textrm{titik}\: \: (3,2)\: ,\: \textrm{tentukan persamaan dari kurva}\\ &\textrm{tersebut}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x-2\\ &\Leftrightarrow  dy=(2x-2)\: dx\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \int dy=\int (2x-2)\: dx\\ &\Leftrightarrow \quad  y=x^{2}-2x+C\\ &\textrm{Karena kurva melalui}\: \: (3,2),\: \textrm{maka}\\ &(2)=(3)^{2}-2(3)+C\Leftrightarrow 2=3+C\\ &\Leftrightarrow C=-1\\ &\textrm{Jadi},\: y=x^{2}-2x-1\: \: \textrm{atau}\\ &\qquad f(x)=x^{2}-2x-1  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: f''(x)=x^{2}.\: \textrm{Jika}\: \: f'(0)=6\\ &\textrm{dan}\: \:  f(0)=3\: ,\:  \textrm{tentukanlah}\: \: f(x)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\displaystyle f''(x)=x^{2}\\ &\Leftrightarrow  \displaystyle \int f''(x)\: dx=\displaystyle \int x^{2}\: dx\\ &\Leftrightarrow \displaystyle f'(x)=\displaystyle \frac{1}{3}x^{3}+C\\  &\textrm{Karena}\: \: f'(x)=6,\: \textrm{maka}\\ &f'(x)=\displaystyle \frac{1}{3}x^{3}+C\Leftrightarrow 6=\displaystyle \frac{1}{3}(0)^{3}+C\\ &\Leftrightarrow C=6\\ &\textrm{Sehingga}\: \: f'(x)=\displaystyle \frac{1}{3}x^{3}+6\\ &\textrm{Selanjutnya}\: \: \displaystyle \int f'(x)\: dx=\displaystyle \int \displaystyle \frac{1}{3}x^{3}+6\: dx\\ &f(x)=\displaystyle \frac{1}{12}x^{4}+6x+C\\ &\textrm{Dan juga karena}\: \: f(0)=3,\: \textrm{maka}\\ &f(0)=\displaystyle \frac{1}{12}(0)^{4}+6(0)+C=3\\ &C=3, \: \textrm{sehingga diperoleh}\\ &f(x)=\displaystyle \frac{1}{12}x^{4}+6x+3\\ &\textrm{Jadi},\: f(x)=\color{red}\displaystyle \frac{1}{12}x^{4}+6x+3  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui}\: f'\left ( x \right )=6x^{2}-2x+6\: \textrm{dan}\\ & \textrm{nilai}\: \textrm{fungsi}\: f\left ( 2 \right )=-7.\: \textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{rumus}\: \textrm{fungsi}\: \textrm{tersebut}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f\left ( x \right )&=\int f'\left ( x \right )\: dx\\ &=\int \left ( 6x^{2}-2x+6 \right )\: dx\\ &=2x^{3}-x^{2}+6x+C \end{aligned}\\\\ &\textrm{Karena}\: f\left ( 2 \right )=-7,\: \textrm{maka}\\\\ &\begin{aligned}f\left ( 2 \right )&=2.2^{3}-2^{2}+6.2+C\\ \Leftrightarrow -7&=16-4+12+C\\ \Leftrightarrow C&=-31 \end{aligned}\\\\ &\textrm{Jadi},\: f\left ( x \right )=2x^{3}-x^{2}+6x-31 \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan}\: \: f(x),\: \textrm{Jika diketahui}\\ &\textrm{a}.\quad f'(x)=12x^{3}\: \: \textrm{dan}\: \: f(1)=8\\ &\textrm{b}.\quad f'(x)=x^{2}-2x+3\: \: \textrm{dan}\: \: f(3)=9\\ &\textrm{c}.\quad f''(x)=2,\: \: f'(2)=2\: \: \textrm{dan}\: \: f(2)=10\\ &\textrm{d}.\quad f''(x)=x^{2},\: \: f'(0)=6\: \: \textrm{dan}\: \: f(0)=3 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan persamaan kurva}\: \: f(x)\\ &\textrm{disetiap titik}\: \: (x,y)\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{syarat berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{dy}{dx}=4x+1\: \: \textrm{dan kurva melalui}\: \: (0,2)\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}+3\: \: \textrm{dan kurva melalui}\: \: (1,4) \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: 2x-y=3\: \: \textrm{merupakan garis}\\ &\textrm{kurva di titik}\: \: (1,-1)\: .\: \textrm{Jika di tiap titik}\\ &\textrm{pada kurva berlaku}\: \: \displaystyle y''=2x^{2}-3x+1\\ &\textrm{tentukan persamaan kurva tersebut} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui kecepatan sebuah sepeda}\\ &\textrm{diformulasian dengan}\: \: \displaystyle \frac{ds}{dt}=3t^{2}+4t-1\\ &\textrm{Jika}\: \: s\: \: \textrm{menyatakan jarak yang ditempuh}\\ &\textrm{dalam satuan meter}\: ,\: t\: \textrm{menyatakan waktu}\\ &\textrm{dengan}\: \: s=5\: \: \textrm{untuk}\: \: t=2,\: \textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{jarak yang ditempuh pengendara dalam}\\ &\textrm{waktu 5 menit} \end{array}$.