PAS MATEMATIKA BLOG: Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran

$\begin{array}{ll} 11. & Lingkaran x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0 \\ menyinggung sumbu Y jika c = . . . . \\ A . a b \\ B . a b^{2} \\ C . a^{2} b \\ D . a^{2} \\ E . b^{2} \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0 \\ x = 0 \Rightarrow 0^{2} + y^{2} + 2 a .0 + 2 b y + c = 0 \\ y^{2} + 2 b y + c = 0 {\begin{cases} a & = 1 \\ b & = 2 b \\ c & = c \end{cases} \\ Syarat menyinggung adalah : \\ D = b^{2} - 4 a c = 0 \\ \Leftrightarrow (2 b)^{2} - 4.1 . c = 0 \\ \Leftrightarrow 4 c = 4 b^{2} \\ \Leftrightarrow c = b^{2} \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 a x + a^{2} + y^{2} + 2 b y + b^{2} + c - a^{2} - b^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (x + a)^{2} + (y + b)^{2} = a^{2} + b^{2} - c \\ Karena menyinggung sumbu-Y, maka R = a \\ Sehingga R^{2} = a^{2} + b^{2} - c = a^{2} \\ \Leftrightarrow b^{2} - c = 0 \\ \Leftrightarrow b^{2} = c \\ \Leftrightarrow c = b^{2} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadran \\ I dan berada di sepanjang garis y = 2 x . Jika \\ lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik \\ (0, 6), maka persamaan lingkaran L adalah . . . . \\ A . x^{2} + y^{2} - 3 x - 6 y = 0 \\ B . x^{2} + y^{2} + 6 x + 12 y - 108 = 0 \\ C . x^{2} + y^{2} + 12 x + 6 y - 72 = 0 \\ D . x^{2} + y^{2} - 12 x - 6 y = 0 \\ E . x^{2} + y^{2} - 6 x - 12 y + 36 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}, \\ menyinggung titik (0, 6) \\ berarti pusat lingkaran L juga terletak \\ pada garis y = 6. Hal ini menunjukkan bahwa \\ pusat lingkaran L berpusat di (x, 2 x) = (\frac{y}{2}, y), \\ dengan y = 6. Dari informasi di atas, \\ didapatlah pusat lingkaran berada di titik (3, 6) . \\ Sehingga persamaan lingkarannya adalah : \\ (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} = 3^{2} ingat r = absis x = 3 \\ \Leftrightarrow (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} = x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 12 x + 36 = 9 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 12 y + 36 = 0 \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}$ .

\begin{array}{ll} 13. & Persamaan garis singgung lingkaran \\ x^{2} + y^{2} + 8 x - 3 y - 24 = 0, di titik \\ (2, 4) adalah . . . . \\ A . 12 x - 5 y - 44 = 0 \\ B . 12 x + 5 y - 44 = 0 \\ C . 12 x - y - 50 = 0 \\ D . 12 x + y - 50 = 0 \\ E . 12 x + y + 50 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 8 x - 3 y - 24 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} - 3 y + \frac{9}{4} - 24 = 16 + \frac{9}{4} \\ \Leftrightarrow (x + 4)^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} = 16 + \frac{9}{4} + 24 = 42 \frac{1}{4} \\ Persamaan garis singgung lingkar an lingkaran \\ di titik (x_{1}, y_{1}) adalah : \\ (x_{1} + 4) (x + 4) + (y_{1} - \frac{3}{2}) (y - \frac{3}{2}) = 42 \frac{1}{4}, \\ untuk (x_{1}, y_{1}) = (2, 4), maka \\ (2 + 4) (x + 4) + (4 - \frac{3}{2}) (y - \frac{3}{2}) = \frac{169}{4} \\ \Leftrightarrow 6 (x + 4) + \frac{5}{2} (y - \frac{3}{2}) = \frac{169}{4} \\ \Leftrightarrow 24 (x + 4) + 5 (2 y - 3) = 169 \\ \Leftrightarrow 24 x + 96 + 10 y - 15 = 169 \\ \Leftrightarrow 24 x + 10 y = 169 - 96 + 15 = 88 \\ \Leftrightarrow 12 x + 5 y - 44 = 0 \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}

.

\begin{array}{ll} 14. & Sebuah garis singgung g menyinggung \\ lingkaran yang berpusat di (- 2, 5) dan \\ berjari-jari 2 \sqrt{10} di titk (4, 3), maka \\ persamaan garis singgung g adalah . . . . \\ A . y = 3 x + 9 \\ B . y = 3 x - 9 \\ C . y = - 3 x + 9 \\ D . y = - 3 x - 9 \\ E . y = 3 x + 21 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \\ {\begin{cases} Pusat & = (- 2, 5) \\ r & = 2 \sqrt{10} \end{cases} \\ maka persamaan lingkarannya : \\ (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = (2 \sqrt{10})^{2} \\ \Leftrightarrow (x_{1} + 2) (x + 2) + (y_{1} - 5) (y - 5) = 40, \\ menyingung garis g di (4, 3) \\ (4 + 2) (x + 2) + (3 - 5) (y - 5) = 40 \\ \Leftrightarrow 6 x + 12 - 2 y + 10 = 40 \\ \Leftrightarrow 6 x - 2 y = 40 - 12 - 10 \\ \Leftrightarrow 3 x - y = 9 \\ \Leftrightarrow - y = - 3 x + 9 \\ \Leftrightarrow y = 3 x - 9 \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}

.

\begin{array}{ll} 15. & Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak \\ pada kurva y = \sqrt{x} dan melalui titik asal O (0, 0) . \\ Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut \\ adalah a, maka persamaan garis singgung \\ lingkaran yang melalui titik O tersebut adalah . . . . \\ A . y = - x \\ B . y = - x \sqrt{a} \\ C . y = - a x \\ D . y = - 2 x \sqrt{2} \\ E . y = - 2 a x \\ Jawab : \\ \begin{array}{lcl} \begin{aligned} Pusat \\ lingkaran \end{aligned} & \begin{aligned} Gradien garis singgung \\ yang tegak lurus dengan \\ garis yang melalui titik \\ pusat lingkaran yang \\ bergradien m_{L} \end{aligned} & \begin{aligned} Persamaan garis \\ singgung yang \\ melalui titik asal \\ O (0, 0) \end{aligned} \\ \begin{aligned} (a, b) \\ = (a, \sqrt{a}) \end{aligned} & \begin{aligned} m . m_{1} = - 1 \\ m . \frac{y}{x} = - 1 \\ m = - \frac{x}{y} = - \frac{a}{\sqrt{a}} \\ = - \sqrt{a} \end{aligned} & \begin{aligned} y & = m x, \\ karena melalui \\ titik asal \\ y & = - \sqrt{a} x, \\ y & = - x \sqrt{a} \end{aligned} \end{array} \end{array}

.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Informasi

Langganan: Posting Komentar (Atom)