PAS MATEMATIKA BLOG: Contoh 4 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran dan Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 16. & Salah satu garis singgung yang bersudut 120^{\circ} \\ terhadap sumbu x positif terhadap lingkaran \\ dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, - 2) \\ adalah . . . . \\ a . y = - x \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 12 \\ b . y = - x \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 8 \\ c . y = - x \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 4 \\ d . y = - x \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} - 8 \\ e . y = - x \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 22 \\ Jawab : \\ \begin{array}{cc} Pusat Lingkaran & Gradien Garis Singgung \\ \begin{aligned} (a, b) \\ = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) \\ = (\frac{7 + 1}{2}, \frac{6 + (- 2)}{2}) \\ = (4, 2) \end{aligned} & \begin{aligned} m & = \tan 120^{\circ} \\ = - \tan (180^{\circ} - 60^{\circ}) \\ = - \tan 60^{\circ} \\ = - \sqrt{3} \end{aligned} \\ Jari-jari & Garis Singgung \\ \begin{aligned} r & = jarak titik \\ singgung ke pusat \\ = \sqrt{(7 - 4)^{2} + (6 - 2)^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \end{aligned} & \begin{aligned} (y - b) = m (x - a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ \Leftrightarrow (y - 2) = - \sqrt{3} (x - 4) \pm 5 \sqrt{1 + (- \sqrt{3})^{2}} \\ \Leftrightarrow y - 2 = - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \pm 5 \sqrt{1 + 4} \\ \Leftrightarrow y = - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 2 \pm 10 \\ \Leftrightarrow y = {\begin{cases} - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 2 + 10 \\ - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 2 - 10 \end{cases} \\ \Leftrightarrow y = {\begin{cases} - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 12 \\ - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} - 8 \end{cases} \end{aligned} \end{array} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

Dengan ilustrasi tambahan

\begin{array}{ll} 17. & Salah satu garis singgung lingkaran \\ x^{2} + y^{2} = 10 yang ditarik dari \\ titik (4, 2) adalah . . . . \\ a . x + 3 y = 10 \\ b . x - 3 y = 10 \\ c . - x - 3 y = 10 \\ d . 2 x + y = 10 \\ e . x + 2 y = 10 \\ Jawab : \\ \begin{array}{cc} \begin{aligned} Garis Singgung \\ di titik \\ (x_{1}, y_{1}) = (4, 2) \end{aligned} & \begin{aligned} Tahapan menentukan \\ harga m \end{aligned} \\ \begin{aligned} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 2 = m (x - 4) \\ y = m x - 4 m + 2 \end{aligned} & \begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 10 \\ x^{2} + {(m x - 4 m + 2)}^{2} = 10 \\ x^{2} + m^{2} x^{2} + 16 m^{2} + 4 - 8 m^{2} x + 4 m x - 16 m = 10 \\ x^{2} + m^{2} x^{2} + 16 m^{2} - 8 m^{2} x + 4 m x - 16 m - 6 = 0 \\ (1 + m^{2}) x^{2} + (4 m - 8 m^{2}) x + 16 m^{2} - 16 m - 6 = 0 \\ {\begin{cases} a & = 1 + m^{2} \\ b & = 4 m - 8 m^{2} \\ c & = 16 m^{2} - 16 m - 6 \end{cases} \end{aligned} \end{array} \\ \begin{aligned} Syarat menyinggung D = 0 \\ b^{2} - 4 a c = 0 \\ {(4 m - 8 m^{2})}^{2} - 4 (1 + m^{2}) (16 m^{2} - 16 m - 6) = 0 \\ 16 m^{2} - 64 m^{3} + 64 m^{4} - 64 m^{2} + 64 m + 24 - 64 m^{4} + 64 m^{3} + 24 m^{2} = 0 \\ - 24 m^{2} + 64 m + 24 = 0 \\ - 3 m^{2} + 8 m + 3 = 0 \\ (m - 3) (3 m + 1) = 0 \\ m = 3 atau m = - \frac{1}{3} \\ m = {\begin{cases} 3 & \Rightarrow y = 3 x - 10 \\ \Rightarrow 3 x - y = 10 \\ - \frac{1}{3} & \Rightarrow y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} + 2 \\ \Rightarrow x + 3 y = 10 \end{cases} \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned}

\begin{array}{ll} 18. & Diketahui persamaan lingkaran x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ dan sebuah titik di luar lingkaran M (a, b) \\ Posisi garis a x + b y = r^{2} adalah . . . . \\ a . menyinggung lingkaran \\ b . memotong lingkaran di dua titik \\ c . melalui titik pusat lingkaran \\ d . tidak memotong lingkaran \\ e . tidak ada yang benar \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ ∙ L \equiv x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ ∙ M (a, b) di luar lingkaran L \\ Selanjutnya perhatikan penjelasan berikut \\ \begin{aligned} Karena M (a, b) di luar lingkaran L, maka \\ maka salah satu dari a atau b atau keduanya \\ akan lebih besar nilanya dari pada r . \\ Misalkan kita pilih a > r \\ Ambil posisi saat memotong sumbu - X, y = 0 \\ \begin{aligned} Untuk lingkaran x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ ∙ y = 0 \Rightarrow x^{2} + 0^{2} = r^{2} \Rightarrow x = | r | \\ Untuk garis a x + b y = r^{2} \\ ∙ y = 0 \Rightarrow a x = r^{2} \Rightarrow x = \frac{r^{2}}{a} \\ Dari sini tampak posisi x = | r | > \frac{r^{2}}{a} \geq 0 \end{aligned} \\ Sehingga kesimpulannya adalah : \\ garis tersebut akan selalu memotong lingkaran \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 19. & Dua lingkaran dengan persamaan \\ lingkaran-lingkaran x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 21 = 0 \\ dan x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 25 = 0 adalah . . . . \\ a . berpotongan di luar titik \\ b . tidak berpotongan atau bersinggungan \\ c . bersinggungan luar \\ d . bersinggungan dalam \\ e . sepusat \\ Jawab : \\ Perhatikan bahwa \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 21 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 3, 4) \\ r_{1} & = 2 \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 25 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (- 5, 4) \\ r_{2} & = 4 \end{cases} \end{array} \\ dan \\ \begin{array}{cc} Jarak kedua pusat & Jumlah/selisih jari-jari \\ \begin{aligned} (P_{1} P_{2}) \\ = \sqrt{(- 3 + 5)^{2} + (4 - 4)^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{4} = 2 \end{aligned} & \begin{array}{r} {\begin{cases} r_{1} + r_{2} & = 2 + 4 = 6 \\ | r_{1} - r_{2} | & = | 2 - 4 | = 2 \end{cases} \end{array} \end{array} \\ Karena nilai P_{1} P_{2} = | r_{1} - r_{2} | = 2 \\ hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan \\ di dalam \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 20. & Dua lingkaran dengan persamaan \\ lingkaran-lingkaran x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 \\ dan x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 adalah . . . . \\ a . berpotongan \\ b . bersinggungan di dalam \\ c . bersinggungan luar \\ d . tidak berpotongan \\ e . sepusat \\ Jawab : \\ Perhatikan bahwa \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 1, 3) \\ r_{1} & = 1 \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (- 4, 3) \\ r_{2} & = 4 \end{cases} \end{array} \\ dan \\ \begin{array}{cc} Jarak kedua pusat & Jumlah/selisih jari-jari \\ \begin{aligned} (P_{1} P_{2}) \\ = \sqrt{(- 1 + 4)^{2} + (3 - 3)^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned} & \begin{array}{r} {\begin{cases} r_{1} + r_{2} & = 1 + 4 = 5 \\ | r_{1} - r_{2} | & = | 1 - 4 | = 3 \end{cases} \end{array} \end{array} \\ Karena nilai P_{1} P_{2} = | r_{1} - r_{2} | = 3 \\ hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan \\ di dalam \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

PAS MATEMATIKA BLOG

Contoh 4 Soal dan Pembahasan Materi Lingkaran dan Hubungan Dua Lingkaran

Tidak ada komentar:

Posting Komentar