Lanjutan Materi Penggunaan Turunan Fungsi (Silahkan Lihat materi sebelumnya di sini)
$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui jumlahdua bilangan adalah 30}\\ &\textrm{Jika perkalian salah satu bilangan dengan}\\ &\textrm{kuadrat bilangan lainnya mencapai nilai}\\ &\textrm{maksimum, tentukanlah}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{kedua bilangan tersebut}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{nilai maksimumnya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan salah satu bilangan adalah}\: \: x,\\ &\textrm{maka bilangan yang lainnya adalah}:\: \: 30-x\\ &\textrm{Dan misalkan pula perkalian ini dirumuskan}\\ &\textrm{dengan}\: \: p(x),\: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad p(x)\: &=(30-x)x^{2}=30x^{2}-x^{3}\\ \textrm{syara}&\textrm{t ekstrim maksimum}\: \: p'(x)=0\\ 60x-&3x^{2}=0\Leftrightarrow 3x(20-x)=0\\ x_{1}=\: &0\: \: \textrm{atau}\: \: x_{2}=20\\ \textrm{Jadi},&\: \textrm{nilai agar maksimum}\: \: x=20\: \: \textrm{dan}\\ \textrm{nilai}&\: \: x\: \: \textrm{yang lain adalah}:30-20=10\\ \textrm{b}.\quad \textrm{Dan}\: &\textrm{nilai maksimumnya adalah}:\\ p(\color{red}20\color{black})&=(30-20).20^{2}=10.400=\color{red}4000\: \: (\textbf{mak})\\ \end{aligned} \end{array}$ .
$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Dan}\\ &\textrm{tinggi yang dapat dicapai peluru adalah}\\ &h\: \: \textrm{meter dalam waktu}\: \: t\: \: \textrm{detik yang dapat}\\ &\textrm{rumuskan dengan}\: \: h(t)=120t-5t^{2}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad t\: \: \textrm{agar}\: \: h\: \: \textrm{maksimum}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{tinggi}\: \: h\: \: \textrm{maksimum}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \textrm{syara}&\textrm{at ekstrim maksimum}\: \: h'(x)=0\\ 120-&10t=0\Leftrightarrow t=\color{red}12\\ \textrm{Jadi},&\: \textrm{tinggi maksimum dicapai saat}\: \: \color{red}t=12\\ \textrm{b}.\quad \textrm{Dan}\: &\textrm{tinggi maksimumnya adalah}:\\h(\color{red}12\color{black})&=120(12)-5(12)^{2}=\color{blue}720\\ \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 7.&(\textbf{OSK 2018})\\ &\textrm{Diketahui bilangan real}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\\ &\textrm{yang memenuhi}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}< \frac{x}{y}< 2\\ &\textrm{Nilai minimum}\: \: \displaystyle \frac{x}{2y-x}+\frac{2y}{2x-y}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Misal}\: \: t=\displaystyle \frac{x}{y}\\ &\textrm{Misalkan juga}\: \: f(t)=\displaystyle \frac{x}{2y-x}+\displaystyle \frac{2y}{2x-y}\\ &\textrm{maka}\: \: f(t)=\displaystyle \frac{2t^{2}-3t+4}{-2t^{2}+5t-2}\\ &\bullet \:\textrm{Agar minimum, maka}\: \: f'(t)=0\\ &\: \: \: \: \: \textrm{Sehingga}\\ &\: \: \: \: \: f'(t)=4t^{2}+8t-14=0\\ &\: \: \: \: \Leftrightarrow t_{1,2}=-1\pm \displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2}\\ &\: \: \: \: \textrm{Pilih yang positif, yaitu}\: \: t=-1+ \displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2}\\ &\bullet \: \textrm{Dengan proses substistusi harga}\: \: t\\ &\: \: \: \: \textrm{di atas, maka akan didapatkan }\\ &\: \: \: \: \textrm{nilai}\: \: f(t)=1+\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{2} \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Menurut bentuk}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}< \frac{x}{y}< 2\\ &\textrm{jelas bahwa baik}\: \: 2y-x\: \: \textrm{dan}\: \: 2x-y \\ &\textrm{keduanya}\: \textbf{positif}\\ &\color{purple}\textrm{Lihat tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Bentuk}&\textrm{Pengecekan 1}&\textrm{Pengecekan 2}\\\hline \begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{2}< \frac{x}{y}< 2\\ &\textrm{Jelas bahwa}\\ &x,y\neq 0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Saat}\: \: (\times y)\\ &\textrm{Yaitu}:\\ &\displaystyle \frac{1}{2}(y)< \frac{x}{y}(y)< 2(y)\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}y< x< 2y\\ &\textrm{Jelas bahwa}\\ &2y-x>0\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Saat dibali posisinya}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}< \frac{y}{x}< 2\\ &\textrm{Saat}\: \: (\times x)\\ &\textrm{Yaitu}:\\ &\displaystyle \frac{1}{2}(x)< \frac{y}{x}(x)< 2(x)\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}x< y< 2x\\ &\textrm{Jelas bahwa}\\ &2x-y>0 \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Saat masing-masing}\\ &\bullet \: \displaystyle \frac{x}{2y-x}=\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left ( \displaystyle \frac{2x-y}{2y-x} \right )\: \: \: \textrm{dan}\\ &\bullet \: \displaystyle \frac{2y}{2x-y}=\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{3}\left ( \displaystyle \frac{2y-x}{2x-y} \right )\\ &\color{blue}\textrm{Dengan ketaksamaan AM-GM diperoleh}\\ &\begin{aligned} \displaystyle \frac{x}{2y-x}+\displaystyle \frac{2y}{2x-y}&=1+\frac{2}{3}\left ( \displaystyle \frac{2x-y}{2y-x} \right )+\frac{4}{3}\left ( \displaystyle \frac{2y-x}{2x-y} \right )\\ &\geq 1+2\sqrt{\frac{2}{3}\left ( \displaystyle \frac{2x-y}{2y-x} \right )\frac{4}{3}\left ( \displaystyle \frac{2y-x}{2x-y} \right )}\\ &= 1+2\sqrt{\displaystyle \frac{8}{9}}\\ &=1+2\left ( \displaystyle \frac{2}{3} \right )\sqrt{2}\\ &=1+\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{2} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Jika}\: \: x,y,z\: \: \textrm{adalah sisi sebuah segitiga}\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa nilai minimum}\\ & \displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\: \: \textrm{adalah 3}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{red}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: \displaystyle \frac{y}{x}=p,\: \frac{z}{y}=q,\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{z}{x}=pq,\\ &\textrm{maka soal dapat kita ubah menjadi}\\ &\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq\\ &\textrm{Kita tahu bahwa}\: \: \left ( \sqrt{\displaystyle \frac{1}{p}}-\sqrt{\displaystyle \frac{1}{q}} \right )^{2}\geq 0\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq 2\sqrt{\displaystyle \frac{1}{pq}}\\ &\textrm{Kita sesuaikan soal, yaitu}\\ &\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq\geq pq+2\sqrt{\displaystyle \frac{1}{pq}}\\ &\textrm{Misalkan}\: \: \sqrt{\displaystyle \frac{1}{pq}}=a,\: \displaystyle \frac{1}{pq}=a^{2},\: pq=\displaystyle \frac{1}{a^{2}}\\ &\textrm{dengan}\: \: a\geq 0,\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq=\color{blue}\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+2a\color{black}=\color{blue}f(a)\\ &\textrm{Syarat ekstrim minimum}\: :\: f'(a)=0\\ &-2a^{-3}+2=0\Leftrightarrow 2=2a^{-3}\Leftrightarrow 1=a^{-3}\\ &\Leftrightarrow 1=\displaystyle \frac{1}{a^{3}}\Leftrightarrow a^{3}=1\Leftrightarrow a=1\\ &\textrm{Sehingga nilai minimumnya saat}\: \: a=1\\ &\textrm{dengan nilai}\: \: f(1)=\displaystyle \frac{1}{1^{2}}+2.1=\color{red}3\\ &\textrm{Jadi, nilai nilai minimum}\: \: \displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq=3\\ &\textrm{atau}\: \: \displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\: \: \textrm{adalah 3 atau juga}\\ &\textrm{dapat dituliskan dengan}\: \: \displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\geq 3 \end{aligned}\\ &\color{red}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{ketaksamaan AM-GM}\\ &\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\geq 3\sqrt[3]{\displaystyle \frac{x}{y}.\frac{y}{x}.\frac{x}{z}}=3.\sqrt[3]{1}=3 \end{array}$
DAFTAR PUSTAKA
- Kartrini, Suprapto, Subandi, dan Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
- Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
- Widodo, T. 2018. Booklet OSN SMA 2018: Soal dan Solusi OSK, OSP, OSN SMA Bidang Matematika.
SUMBER WEBSITE
- Pythagoras pada: https://pyth.eu/uploads/user/ArchiefPDF/Pyth35-56.pdf
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi