Menyelesaikan Masalah Berkaitan Keekstriman Fungsi dan Penggunaan Turunan Kedua Fungsi Aljabar.

Lanjutan Materi Penggunaan Turunan Fungsi (Silahkan Lihat materi sebelumnya di sini)

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui jumlahdua bilangan adalah 30}\\ & \text{Jika perkalian salah satu bilangan dengan}\\ & \text{kuadrat bilangan lainnya mencapai nilai}\\ & \text{maksimum, tentukanlah}:\\ & \text{a}.\text{kedua bilangan tersebut}\\ & \text{b}.\text{nilai maksimumnya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Misalkan salah satu bilangan adalah}x,\\ & \text{maka bilangan yang lainnya adalah}:30-x\\ & \text{Dan misalkan pula perkalian ini dirumuskan}\\ & \text{dengan}p(x),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.p(x)& =(30-x)x^2=30x^2-x^3\\ \text{syara}& \text{t ekstrim maksimum}{p}^{\prime }(x)=0\\ 60x-& 3x^2=0\iff 3x(20-x)=0\\ x_1=& 0\text{atau}{x}_2=20\\ \text{Jadi},& \text{nilai agar maksimum}x=20\text{dan}\\ \text{nilai}& x\text{yang lain adalah}:30-20=10\\ \text{b}.\text{Dan}& \text{nilai maksimumnya adalah}:\\ p(20)& =(30-20){.20}^2=10.400=4000(\mathbf{\text{mak}})\end{array}\end{array}$ .

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Dan}\\ & \text{tinggi yang dapat dicapai peluru adalah}\\ & h\text{meter dalam waktu}t\text{detik yang dapat}\\ & \text{rumuskan dengan}h(t)=120t-5t^2\\ & \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.t\text{agar}h\text{maksimum}\\ & \text{b}.\text{tinggi}h\text{maksimum}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.\text{syara}& \text{at ekstrim maksimum}{h}^{\prime }(x)=0\\ 120-& 10t=0\iff t=12\\ \text{Jadi},& \text{tinggi maksimum dicapai saat}t=12\\ \text{b}.\text{Dan}& \text{tinggi maksimumnya adalah}:\\ h(12)& =120(12)-5(12{)}^2=720\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& (\mathbf{\text{OSK 2018}})\\ & \text{Diketahui bilangan real}x\text{dan}y\\ & \text{yang memenuhi}{\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{x}{y}<2}\\ & \text{Nilai minimum}{\displaystyle \frac{x}{2y-x}+\frac{2y}{2x-y}\text{adalah}....}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Alternatif 1}\\ & \text{Misal}t={\displaystyle \frac{x}{y}}\\ & \text{Misalkan juga}f(t)={\displaystyle \frac{x}{2y-x}+{\displaystyle \frac{2y}{2x-y}}}\\ & \text{maka}f(t)={\displaystyle \frac{2t^2-3t+4}{-2t^2+5t-2}}\\ & \bullet \text{Agar minimum, maka}{f}^{\prime }(t)=0\\ & \text{Sehingga}\\ & f^{\prime }(t)=4t^2+8t-14=0\\ & \iff t_{1,2}=-1\pm {\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2}}\\ & \text{Pilih yang positif, yaitu}t=-1+{\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2}}\\ & \bullet \text{Dengan proses substistusi harga}t\\ & \text{di atas, maka akan didapatkan }\\ & \text{nilai}f(t)=1+{\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{2}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Alternatif 2}\\ & \text{Menurut bentuk}{\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{x}{y}<2}\\ & \text{jelas bahwa baik}2y-x\text{dan}2x-y\\ & \text{keduanya}\mathbf{\text{positif}}\\ & \text{Lihat tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline \text{Bentuk}& \text{Pengecekan 1}& \text{Pengecekan 2}\\ \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{x}{y}<2}\\ & \text{Jelas bahwa}\\ & x,y\ne 0\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Saat}(\times y)\\ & \text{Yaitu}:\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}(y)<\frac{x}{y}(y)<2(y)}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{2}y<x<2y}\\ & \text{Jelas bahwa}\\ & 2y-x>0\\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Saat dibali posisinya}\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{y}{x}<2}\\ & \text{Saat}(\times x)\\ & \text{Yaitu}:\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}(x)<\frac{y}{x}(x)<2(x)}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{2}x<y<2x}\\ & \text{Jelas bahwa}\\ & 2x-y>0\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{Saat masing-masing}\\ & \bullet {\displaystyle \frac{x}{2y-x}={\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left({\displaystyle \frac{2x-y}{2y-x}}\right)\text{dan}}}\\ & \bullet {\displaystyle \frac{2y}{2x-y}={\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{3}\left({\displaystyle \frac{2y-x}{2x-y}}\right)}}\\ & \text{Dengan ketaksamaan AM-GM diperoleh}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x}{2y-x}+{\displaystyle \frac{2y}{2x-y}}}& =1+\frac{2}{3}\left({\displaystyle \frac{2x-y}{2y-x}}\right)+\frac{4}{3}\left({\displaystyle \frac{2y-x}{2x-y}}\right)\\ & \ge 1+2\sqrt{\frac{2}{3}\left({\displaystyle \frac{2x-y}{2y-x}}\right)\frac{4}{3}\left({\displaystyle \frac{2y-x}{2x-y}}\right)}\\ & =1+2\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{9}}}\\ & =1+2\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\sqrt{2}\\ & =1+{\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{2}}\end{array}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Jika}x,y,z\text{adalah sisi sebuah segitiga}\\ & \text{Tunjukkan bahwa nilai minimum}\\ & {\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\text{adalah 3}}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Alternatif 1}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}{\displaystyle \frac{y}{x}=p,\frac{z}{y}=q,\text{dan}{\displaystyle \frac{z}{x}=pq,}}\\ & \text{maka soal dapat kita ubah menjadi}\\ & {\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq}\\ & \text{Kita tahu bahwa}{(\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{p}}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{q}}})}^2\ge 0\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\ge 2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{pq}}}}\\ & \text{Kita sesuaikan soal, yaitu}\\ & {\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq\ge pq+2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{pq}}}}\\ & \text{Misalkan}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{pq}}}=a,{\displaystyle \frac{1}{pq}=a^2,pq={\displaystyle \frac{1}{a^2}}}\\ & \text{dengan}a\ge 0,\text{maka}\\ & {\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq={\displaystyle \frac{1}{a^2}+2a=f(a)}}\\ & \text{Syarat ekstrim minimum}:f^{\prime }(a)=0\\ & -2a^{-3}+2=0\iff 2=2a^{-3}\iff 1=a^{-3}\\ & \iff 1={\displaystyle \frac{1}{a^3}\iff a^3=1\iff a=1}\\ & \text{Sehingga nilai minimumnya saat}a=1\\ & \text{dengan nilai}f(1)={\displaystyle \frac{1}{1^2}+2.1=3}\\ & \text{Jadi, nilai nilai minimum}{\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+pq=3}\\ & \text{atau}{\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\text{adalah 3 atau juga}}\\ & \text{dapat dituliskan dengan}{\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\ge 3}\end{array}\\ & \text{Alternatif 2}\\ & \text{Dengan}\mathbf{\text{ketaksamaan AM-GM}}\\ & {\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\ge 3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x}{y}.\frac{y}{x}.\frac{x}{z}}}=3.\sqrt[3]{1}=3}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartrini, Suprapto, Subandi, dan Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Widodo, T. 2018. Booklet OSN SMA 2018: Soal dan Solusi OSK, OSP, OSN SMA Bidang Matematika. 

SUMBER WEBSITE

1. Pythagoras pada: https://pyth.eu/uploads/user/ArchiefPDF/Pyth35-56.pdf