Tampilkan postingan dengan label Derivatives of algebraic functions. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Derivatives of algebraic functions. Tampilkan semua postingan

Contoh Soal 4 Turunan Fungsi Aljabar

 16.Jika grafik fungsif(x)=5+15x+9x2+x3naik untukxyang memenuhi....a.x<1ataux>5d.x<5ataux>1b.1<x<5e.5<x<1c.5<x<1Jawab:Diketahui bahwa:f(x)=x3+9x2+15x+5.Dikatakan fungsifnaik, makaf(x)>03x2+18x+15>0,tiap ruas dibagi 3x2+6x+5>0(x+1)(x+5)>0Berikut ilustrasi gambarnya.


17.Sebuah bola dilempar ke atas secara vertikal.Jika lintasan bola pada saattdetik adalahh(t)=14t4+23t3+4t2+5m,maka tinggi maksimum yangdicapai oleh bola tersebut adalah....a.673d.1333b.1233c.1283e.1433Jawab:Perhatikan bahwa lintasan bola saat dilempar vertikal dituliskan dengan fungsih(t)=14t4+23t3+4t2+5.maka tinggi maksimum akan dicapai bola saath(t)=0,Selanjutnya,h(t)=0t3+2t2+8t=0t(t22t8)=0t(t4)(t+2)=0{t=0t=4t=2kitaambil yang bernilai positif untuk tyaitut=4.t=4h(4)=14(4)4+23(4)3+4(4)2+5h(4)=64+1283+64+5=1433mBerikut ilustrasi gambarnya.



Contoh Soal 3 Turunan Fungsi Aljabar

 11.Jikaf(x)=(x2+2)x2+x+3makaf(2)=....a.18d.13b.17c.15e.12Jawab:f(x)=(x2+2)x2+x+3f(x)=(2x)x2+x+3+(x2+2).12(x2+x+3)12.(2x+1)=2xx2+x+3+(x2+2)(2x+1)2x2+x+3f(2)=2(2)(2)2+(2)+3+((2)2+2)(2(2)+1)2(2)2+(2)+3=49+6.529=4.3+6.52.3=12+5=17.

12.Jika rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7cm/detik,maka lajubertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15cmadalah....a.675cm3/detikd.4725cm3/detikb.1575cm3/detike.23625cm3/detikc.3375cm3/detikJawab:Laju pertambahan volumenya:{dsdt=7cm/detikV=s3dV=3s2dsataudVds=3s2cm3/cms=15cmdVdt=dVdt=dVds×dsdt=3s2cm3/cm×7cm/detik=3(15)2×7cm3/detik=4725cm3/detik.

13.persamaan garis singgung dix=1pada kurvay=x33x2+1adalah....a.y=3x+2d.y=3x2b.y=3x+4e.y=3x+3c.y=3x4Jawab:Titik singgung dix=1y=x33x2+1y=(1)33(1)2+1=13+1=1titik(a,b)=(1,1)Gradien garis singgung dix=1y=mx=1=3x26x=3(1)26(1)=36=3Persamaan garis singgungy=m(xa)+b=3(x1)+(1)=3x+31=3x+2Berikut ilustrasi gambarnya.

14.Suatu kurvay=x3+2ax2+bSebuah garisy=9x2menyinggungkurva di titik denganx=1,maka nilaiaadalah....a.3d.3b.13c.13e.8Jawab:Gradien garis singgungydix=1{y=x3+2ax2+bm=y=3x2+4axy=9x2m=y=9Sehingga,m=m=y9=3x2+4ax9=3(1)2+4a(1)9=3+4a4a=3+9a=124=3.

15.Jika grafik fungsif(x)=x3+ax2+bx+chanya turun untuk interval1<x<5,maka nilaia+badalah....a.21d.21b.9c.9e.24Jawab:Diketahui bahwa:f(x)=x3+ax2+bx+cgrafik fungsi turunberarti:f(x)<0f(x)<03x2+2ax+b<0(x+1)(x5)<0ini maksud pada interval1<x<5pada soalx24x5<0dikalikan dengan 3 supaya terjadi persamaan3x23.4x3.5=3x2+2ax+b<03x2+2(6)x+(15)=3x2+2ax+b<0{a=6b=15Sehingga,a+b=6+(15)=21.

Contoh Soal 2 Turunan Fungsi Aljabar

 6.JikaW=sin2t,makadWdt=....a.cos2td.2tcos2t+sin2tb.2cos2te.sin2ttcos2tc.sin2t+tcos2tJawab:Diketahui bahwaW=sin2tW=sinudenganu=2tdWdt=dWdu.dudt=cosu.2=2cosu=2cos2t.

7.Jikaf(x)=2x+41+x,makaf(4)=....a.14d.1b.37c.35e.4Jawab:f(x)=2x+41+x=UVf(x)=U.VU.VV2=(2)(1+x)(2x+4).(1.(1+x)0.12x12)(1+x)2ingatx=x12f(4)=2(1+4)(2.4+4).12.412(1+4)2=2(1+2)(12).12.12(1+2)2ingat juga412=(22)12=21=121=12=639=13.

8.Jikaf(x)=1+sinxcosx,makaf(16π)=....a.12d.2b.12c.34e.2Jawab:f(x)=1+sinxcosxf(x)=cosx.cosx(1+sinx).sinxcos2x=cos2x+sinx+sin2xcos2xingat bahwasin2x+cos2x=1=1+sinxcos2xf(16π)=1+sin(16π)cos2(16π)=1+12(123)2=3234=32×43=2.

9.Jikaf(x)=3x22ax+7danf(1)=0,makaf(2)=....a.1d.6b.2c.4e.8Jawab:f(x)=3x22ax+7f(x)=6x2af(1)=06(1)2a=06=2a3=asehinggaf(x)=6x6maka,f(2)=6.26=126=6.

10.Jikaf(x)=(6x3)3(2x1)makaf(1)=....a.18d.162b.24c.54e.216Jawab:f(x)=(6x3)3(2x1)=(3.(2x1))3(2x1)1=33.(2x1)3+1=27(2x1)4f(x)=4.27(2x1)41.2=216.(2x1)3f(1)=216.(2.11)3=216.1=216.

Contoh Soal 1 Turunan Fungsi Aljabar

 1.Diketahuif(2)=Limx2x38x2,maka fungsif(x)=....a.12d.x3b.2c.xe.x8Jawab:Turunan fungsi f dix=cadalahf(c)=Limxcf(x)f(c)xc,makaturunan fungsi f dix=2adalahf(2)=Limx2x38x2sehingga akan didapatkan fungsifnya yaituf(x)=x3.

2.Jikaa0,maka nilai dariLimxax3a3xa=....a.3aa3d.12aa3b.2aa3c.0e.13aa3Jawab:Alternatif 1f(a)=Limxax3a3xa=Limxax3a3(x3a3)(x23+xa3+a23)=Limxa1(x23+xa3+a23)=1(a23+a.a3+a23)=13a23=13a23×a3a3=13aa3Alternatif 2 (dengan aturan L'Hopital)Limxax3a3xa=Limxaf(x)g(x)=Limxaf(x)g(x)Limxax3a3xa=Limxax13a13xa=Limxa13x131010=Limxa13x231=Limxa13x23×x3x3=Limxa13xx3=13aa3 .

3.Jikaf(x)=1xmaka nilai dari2f(x)=....a.1xxd.12xxb.xxc.12xe.2xxJawab:Diketahuif(x)=1x=1x12=x12y=axny=naxn1y=UVy=U.VU.VV2f(x)=12x121=12x32=12x32=12x1.x12=12xxf(x)=0.x1.12x121(x)2=12x12x=12xx12=12xx.

4.Turunan pertama dariy=xnadalah....a.1nx1nd.(n1)xn1b.1nx1nnc.1n1xn1e.xn1Jawab:y=xn=x1n,makay=1nx1n1=1nx1nn.

5.Turunan kendariy=1xadalah....a.n!.x(n+1)b.(n+1)!.x(n+1)c.(1)nn!.x(n+1)d.(1)n+1n!.x(n+1)e.(1)n+1(n+1)!.x(n+1)Jawab:Fungsiy=1xy=x1y=dydxx2(1)1.1!.x(1+1)y=d2ydx22x3(1)2.2!.x(2+1)y=d3ydx36x4(1)3.3!.x(3+1)yIV=d4ydx424x5(1)4.4!.x(4+1)yV=d5ydx5yn=dnydxn(1)n.n!.x(n+1).

Menyelesaikan Masalah Berkaitan Keekstriman Fungsi dan Penggunaan Turunan Kedua Fungsi Aljabar.

Lanjutan Materi Penggunaan Turunan Fungsi (Silahkan Lihat materi sebelumnya di sini)

5.Diketahui jumlahdua bilangan adalah 30Jika perkalian salah satu bilangan dengankuadrat bilangan lainnya mencapai nilaimaksimum, tentukanlah:a.kedua bilangan tersebutb.nilai maksimumnyaJawab:Misalkan salah satu bilangan adalahx,maka bilangan yang lainnya adalah:30xDan misalkan pula perkalian ini dirumuskandenganp(x),makaa.p(x)=(30x)x2=30x2x3syarat ekstrim maksimump(x)=060x3x2=03x(20x)=0x1=0ataux2=20Jadi,nilai agar maksimumx=20dannilaixyang lain adalah:3020=10b.Dannilai maksimumnya adalah:p(20)=(3020).202=10.400=4000(mak) .

6.Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Dantinggi yang dapat dicapai peluru adalahhmeter dalam waktutdetik yang dapatrumuskan denganh(t)=120t5t2Tentukanlaha.tagarhmaksimumb.tinggihmaksimumJawab:a.syaraat ekstrim maksimumh(x)=012010t=0t=12Jadi,tinggi maksimum dicapai saatt=12b.Dantinggi maksimumnya adalah:h(12)=120(12)5(12)2=720.

7.(OSK 2018)Diketahui bilangan realxdanyyang memenuhi12<xy<2Nilai minimumx2yx+2y2xyadalah....JawabAlternatif 1Misalt=xyMisalkan jugaf(t)=x2yx+2y2xymakaf(t)=2t23t+42t2+5t2Agar minimum, makaf(t)=0Sehinggaf(t)=4t2+8t14=0t1,2=1±322Pilih yang positif, yaitut=1+322Dengan proses substistusi hargatdi atas, maka akan didapatkan nilaif(t)=1+432Alternatif 2Menurut bentuk12<xy<2jelas bahwa baik2yxdan2xykeduanyapositifLihat tabel berikutBentukPengecekan 1Pengecekan 212<xy<2Jelas bahwax,y0Saat(×y)Yaitu:12(y)<xy(y)<2(y)12y<x<2yJelas bahwa2yx>0Saat dibali posisinya12<yx<2Saat(×x)Yaitu:12(x)<yx(x)<2(x)12x<y<2xJelas bahwa2xy>0Saat masing-masingx2yx=13+23(2xy2yx)dan2y2xy=23+43(2yx2xy)Dengan ketaksamaan AM-GM diperolehx2yx+2y2xy=1+23(2xy2yx)+43(2yx2xy)1+223(2xy2yx)43(2yx2xy)=1+289=1+2(23)2=1+432.

8.Jikax,y,zadalah sisi sebuah segitigaTunjukkan bahwa nilai minimumxy+yx+xzadalah 3BuktiAlternatif 1Misalkanyx=p,zy=q,danzx=pq,maka soal dapat kita ubah menjadi1p+1q+pqKita tahu bahwa(1p1q)201p+1q21pqKita sesuaikan soal, yaitu1p+1q+pqpq+21pqMisalkan1pq=a,1pq=a2,pq=1a2dengana0,maka1p+1q+pq=1a2+2a=f(a)Syarat ekstrim minimum:f(a)=02a3+2=02=2a31=a31=1a3a3=1a=1Sehingga nilai minimumnya saata=1dengan nilaif(1)=112+2.1=3Jadi, nilai nilai minimum1p+1q+pq=3atauxy+yx+xzadalah 3 atau jugadapat dituliskan denganxy+yx+xz3Alternatif 2Denganketaksamaan AM-GMxy+yx+xz3xy.yx.xz3=3.13=3


DAFTAR PUSTAKA

  1. Kartrini, Suprapto, Subandi, dan Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  2. Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
  3. Widodo, T. 2018. Booklet OSN SMA 2018: Soal dan Solusi OSK, OSP, OSN SMA Bidang Matematika

SUMBER WEBSITE

  1. Pythagoras pada: https://pyth.eu/uploads/user/ArchiefPDF/Pyth35-56.pdf 


Penggunaan Turunan Fungsi (Lanjutan Materi Turunan Fungsi Aljabar)

 Penggunaan Turunan Fungsi Aljabar ini nantinya terdapat di antaranya pada:

  • Persamaan garis singgung
  • Fungsi naik dan fungsi turun
  • Menggambar grafik fungsi aljabar
  • Maksimum dan minimum fungsi
  • Teorema L'Hopital (dibaca : Lopital)
  • Titik Stasioner/Titik kritis/Titik Ekstrim (titik maksmum, titik minimum, dan titik belok)
  • Kecepatan dan percepatan

Perhatikanlah tabel berikut

NoTurunan PertamaTurunan Pertama1.Gradien garis singgungm=f(x)=Limh0=f(x+h)f(x)h2.Fungsi naik dan turuny=f(x){f(x)>0, fungsi naik f(x)<0, fungsi turun 3.Jarak, kec, percepatany=s(t){s(t) jaraks(t) kecepatan s(t) percepatan4.aStasionerMaksimum:f(k)<0titik mak(k,f(k))4.bStasionerMinimum:f(k)>0titik min(k,f(k))4.cSyarat stasionerf(x)=0,xdenganx=kBelok:f(k)=0titik belok(k,f(k))5.Limit fungsibentuk tak tentuAturan L'HopitalLimxhf(x)g(x)=Limxhf(x)g(x)untuk hasil limitbentuk00atauNoTurunan KeduaTurunan Kedua6.f=d2ydx2BelokPercepatanMaksimumMinimum.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurvay=x2+2x8di titik yangberabsis1Jawab:Diketahui,persamaan sebuah kurva adalah:y=x2+2x8Titik singgungGradien,x=1absisx=1,makay=(1)2+2(1)8=1+28=5di titik(a,b)=(1,5)dydx=m=2x+2=2(1)+2=4Persamaan garis singgungKesimpulany=m(xa)+b=4(x1)+(5)=4x45=4x9Sehingga,PGS adalah:y=4x9atauy4x+9=0Jadi,persamaan garis singgungnya adalah:y=4x9atauy4x+9=0Dan berikut ilustrasi gambarnya.

2.Tentukanlah interval di mana kurva fungsif(x)=x3+3x29x+5a.naikb.turunJawab:Diketahui fungsif(x)=x3+3x29x+5f(x)=3x2+6x9=3(x+3)(x1)naik;f(x)>0turun;f(x)<03(x+3)(x1)>03(x+3)(x1)<0naik,x<3ataux>1turun,3<x<1 .

3.Tentukanlah nilai stasioner fungsif(x)=x3+3x29x+5dan tentukan pula jenisnyaJawab:Diketahu fungsif(x)=x3+3x29x+5Syarat stasionerf(x)=0,makaf(x)=3x2+6x9=00=3(x+3)(x1)x=3ataux=1Dan untuk nilai dan titik stasionernya:f(3)=(3)3+3(3)29(3)+5=32(3,32)adalah titik balik maksimumf(1)=(1)3+3(1)29(1)+5=0(1,0)adalah titik balik minimumDan berikut ilustrasi gambarnyauntuk soal no.2 dan 3.

4.Masih sama dengan soal seperti pada No. sebelumnya yaitu fungsif(x)=x3+3x29x+5.Tentukanlah koordinat titik beloknyaJawab:f(x)=x3+3x29x+5f(x)=3x2+6x9f(x)=6x+6Prosesmencari titik beloknyaf(x)=06x+6=06x=6x=1Intervalf(x)f(x)f(x)Keteranganx<1grafik cekung ke bawahx=116120grafik memiliki titik belokx>1+grafik cekung ke atasKoordinat titik beloknya:(1,16)Berikut ilustrasi gambarnya.


Aturan Rantai pada Turunan Pertama dan Turunan Kedua Fungsi Aljabar (Lanjutan Materi Turunan Fungsi Aljabar)

 Aturan Rantai

Untuk:{aRnQckonstantaU=g(x)V=h(x).

Sifat-Sifaty=cy=0y=c.Uy=c.Uy=U±Vy=U±Vy=U.Vy=U.V+U.Vy=UVy=U.VU.VV2Fungsi Aljabary=a.xny=n.a.x(n1)y=a.Uny=n.a.U(n1).UFungsi Trigonometriy=asinUy=(acosU).Uy=acosUy=(asinU).Uy=atanUy=(asec2U).UAturan rantai pada turunan untuky=f(u),jikauntukumerupakan fungsix,maka:y=f(x).uataudydx=dydu.dudx.

Turunan Kedua Fungsi Aljabar

Suatu fungsif:xy.

NotasiProses{f(x)=dydxf(x)=d2ydx2y=axny=n.a.xn1y=(n1).n.a.xn2.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah nilai daridydxa.y=xb.y=3+xc.y=3+3+xd.y=3+3+3+xJawab:a.y=x=x12y=12.x121=12x12=12x12=12xb.y=3+x=(3+x12)12y=12(3+x12)121.12x121=14(3+x12)12.x12=14(3+x12)12.x12=143+x.x.

2.Tentukanlah turunannyaa.f(x)=2sinxcosxk.f(x)=4sin(5x+π)3b.f(x)=x2.sinxl.f(x)=cos3(x+5)c.f(x)=3cos2xm.f(x)=sin2(π3x)d.f(x)=3sin2xx3n.f(x)=sin2xcosxe.f(x)=5sin4xo.f(x)=sinx4x2f.f(x)=sin(x+3x2)g.f(x)=cos(x26x)h.f(x)=1sinxi.f(x)=sinx1+cosxj.f(x)=sinxcosxsinx+cosx.

Jawab:2.aAlternatif 1f(x)=2sinxcosxf(x)=sin2xf(x)=cos2x.(2)=2cos2xAlternatif 2f(x)=y=sin2x{y=sinudydu=cosuu=2xdudx=2sehinggay=sin2xdydx=dydu.dudx=cosu.2=2cosu=2cos2x

2.bf(x)=x2sinxf(x)=2x21.(sinx)+x2.(cosx)=2xsinx+x2cosxcf(x)=3cos2xf(x)=2.3.cos21x.(sinx)=6sinxcosx=3sin2xdf(x)=3sin2xx3f(x)=2.3.sin21x.(cosx)3x31=6sinxcosx3x2=3sin2x3x2ef(x)=5sin4xf(x)=4.5.sin41x.(cosx)=20sin3xcosxatau boleh juga=20sin2xsinxcosx=20sin2xsin2x=20sin2xsin2x .

2.my=f(x)=sin2(π3x)f(x)=2sin21(π3x).cos(π3x).(3)=6sin(π3x)cos(π3x)=3.2sin(π3x)cos(π3x)=3sin2(π3x)=3sin(2π6x)atau boleh jugay=f(x)=sin2(π3x){y=u2dydu=2u.u=sinwdudw=cosww=π3xdwdx=3dydx=dydu.dudw.dwdx=(2u).(cosw).(3)=3.(2sinw).(cosw)=3sin2w=3sin(2π6x).

3.Tentukanlah nilai darid2ydx2a.y=xb.y=3+xc.y=15x34xd.y=x43+x22+x+x+1+1x+1x+1x2+3x4Jawab:Lihat pembahasan soal no.1, yaitu y=xy=12xmaka3.a.y=xy=dydx=12x=12x12y=d2ydx2=(12)12.x121=14x12+1=14xx.

.3.dy=x43+x22+x+x+1+1x+1x+1x2+3x4Turunan pertamadydx=y=4x33+x+1+12x+012xx1x22x312x5=4x33+x+1+12x12xx1x22x312x5Turunan keduad2ydx2=y=4x2+1+014xx+34x2x+2x3+6x4+60x6=4x2+114xx+34x2x+2x3+6x4+60x6.

LATIHAN SOAL.

Silahkan kerjakan soal yang belum diselesaikan atau dijawab


DAFTAR PUSTAKA

  1. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SEWU
  2. Kartrini, Suprapto, Subandi, dan Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
  3. Kuntarti, Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS
  4. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2004. Matematika 2 untuk SMA Kelas 2 IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.

Sifat Turunan Pertama dan Aturan Rantai pada Turunan Fungsi Aljabar

Rumus Turunan dan Sifat Turunan Pertama

Untuk:{aRnQckonstantaU=g(x)V=h(x).

Sifat-Sifaty=cy=0y=c.Uy=c.Uy=U±Vy=U±Vy=U.Vy=U.V+U.Vy=UVy=U.VU.VV2Fungsi Aljabary=a.xny=n.a.x(n1)y=a.Uny=n.a.U(n1).UFungsi Trigonometriy=asinUy=(acosU).Uy=acosUy=(asinU).Uy=atanUy=(asec2U).UAturan rantai pada turunan untuky=f(u),jikauntukumerupakan fungsix,maka:y=f(x).uataudydx=dydu.dudx.

CONTOH SOAL.

1.Dengan menggunakan rumus turunanf(x)=Limh0f(x+h)f(x)h,tunjukkan bahwa turunana.f(x)=axnadalahf(x)=n.axn1b.f(x)=u(x)+v(x)adalahf(x)=u(x)+v(x)c.f(x)=u(x).v(x)adalahf(x)=u(x).v(x)+u(x).v(x)d.f(x)=u(x)v(x)adalahf(x)=u(x).v(x)+u(x).v(x)(v(x))2e.f(x)=sinxadalahf(x)=cosxf.f(x)=cosxadalahf(x)=sinxg.f(x)=tanxadalahf(x)=sec2xh.f(x)=cotxadalahf(x)=csc2x.


Bukti1.af(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0a(x+h)naxnh=Limh0a(xn+(n1)xn1.h+(n2)xn2.h2+(n3)xn3.h3++(nn1)x.hn1+hn)axnh=Limh0a((n1)xn1.h+(n2)xn2.h2+(n3)xn3.h3++(nn1)x.hn1+hn)h=Limh0ah((n1)xn1+(n2)xn2.h+(n3)xn3.h2++(nn1)x.hn2+hn1)h=Limh0a(n1)xn1+a(n2)xn2.h+a(n3)xn3.h2++ahn1=a(n1)xn1+0+0+...+0=a.n!(n1)!.1!xn1=a.n.(n1)!(n1)!xn1=a.n.xn1.

1.bf(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0(u(x+h)+v(x+h))(u(x)+v(x))h=Limh0(u(x+h)u(x)h+v(x+h)v(x)h)=Limh0u(x+h)u(x)h+Limh0v(x+h)v(x)h=u(x)+v(x).

1.cf(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0(u(x+h)×v(x+h))(u(x)×v(x))h=Limh0u(x+h)×v(x+h)u(x+h)×v(x)+u(x+h)×v(x)u(x)×v(x)h=Limh0(u(x+h)×v(x+h)v(x)h+v(x)×u(x+h)u(x)h)=Limh0u(x+h)×Limh0v(x+h)v(x)h+Limh0v(x)×Limh0u(x+h)u(x)h=u(x)×v(x)+v(x)×u(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x).

1.dMisalkanp(x)=u(x)v(x)Sebelumnya telah diketahui dari no. 1. cu(x)=p(x)×v(x)u(x)=p(x)×v(x)+p(x)×v(x)Sekarang kita substitusikan pemisalandi atas, yaitu:p(x)×v(x)=u(x)p(x)×v(x)=u(x)u(x)v(x)×v(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)v(x)p(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)v2(x).

1.ef(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0sin(x+h)sinxh=Limh02cos12(2x+h)sin12hh=Limh02cos12(2x+h).sin12hh=Limh02cos12(2x+h)×12=2cos12(2x+0)×12=cos12(2x)=cosx .

1.ff(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0cos(x+h)cosxh=Limh02sin12(2x+h)sin12hh=Limh02sin12(2x+h).sin12hh=Limh02sin12(2x+h)×12=2sin12(2x+0)×12=sin12(2x)=sinx.

1.gf(x)=Limh0f(x+h)f(x)hf(x)=Limh0tan(x+h)tanxh=Limh0tanx+tanh1tanx.tanhtanxh=Limh0tanx+tanhtanx+tan2x.tanh1tanx.tanhh=Limh0tanh(1+tan2x)h(1tanx.tanh)=Limh0tanhh×Limh01+tan2x1tanx.tanh=1×1+tan2x10=1+tan2x=sec2x.

2.Tentukanlah turunannyaa.f(x)=x6i.f(x)=(x+1)(x2)q.f(x)=2x3b.f(x)=12x2j.f(x)=(3x)(5x)r.f(x)=12xc.f(x)=2x5k.f(x)=(2x+3)2s.f(x)=13x5d.f(x)=ax3l.f(x)=(x2)3t.f(x)=2x4+12x3e.f(x)=4x4x2+2017m.f(x)=(4x+1)(4x1)u.f(x)=x2+2xf.f(x)=6x3x2n.f(x)=(x1)(x+1)(x+2)v.f(x)=(2x3+1x)2g.f(x)=(x3)2o.f(x)=12x4w.f(x)=x2(1+x)2h.f(x)=(x32)2p.f(x)=x5x.f(x)=2+4xx2y.f(x)=(x+1+1x)(x+11x).

Untuky=f(x)makaabcy=x6y=6x61=6x5y=12x2y=2.12x21=xy=2x5y=5.2x51=10x4defy=ax3y=3.a.x31=3.a.x2y=4x4x2+2017y=4.4x412.x21+0=16x32xy=6x3x2y=01.x112.3x21=16x.

ghy=(x3)2y=2.(x3)21.1=2(x3)y=(x32)2y=2.(x32)21.3x2=6(x32)x2=6x512x2ijy=(x+1)(x2)y=1.(x+2)+(x+1).1=2x+3y=(3x)(5x)y=1.(5x)+(3x).1=2x8 .

klm1m2y=(2x+3)2y=2.(2x+3)21.2=4(2x+3)1=8x+12y=(x2)3y=3(x2)31.1=3(x2)2y=(4x+1)(4x1)cara 1y=4(4x1)+(4x+1).4=16x4+16x+4=32xy=(4x+1)(4x1)cara 2y=16x21y=2.16x210=32x1=32xnopqy=(x1)(x+1)(x+2)=(x21)(x+2)=x3+2x2x2y=3x31+2.2x21x110=3x2+4x1y=12x4y=4.12x41=2x5=2x5y=x5y=5.x51=5x6=5x6y=2x3=2x3y=3.2x31=6x4=6x4.

rstuy=12x=12x12=12x12y=12.12x121=14x32=14x32=14x3y=13x5=13x5y=5.13x51=53x6=53x6y=2x4+12x3=2x4+12x3y=4.2x41+(3).12x31=8x332x4=8x332x4y=x2+2x=12x+2x1y=12x11+(1).2x11=12x02x2=122x2.

vwy=(2x3+1x)2=(2x3+x1)2y=2.(2x3+x1)21.(3.2x31+(1)x11)=2.(2x3+x1)1.(6x2x2)=2(2x3+1x)(6x21x2)=2(12x52x+6x1x3)=24x5+8x2x3y=x2(1+x)2=x2(1+x12)2y=2x.(1+x12)2+x2.2.(1+x12)21.(0+12.x121)=2x(1+x)2+2x2.(1+x).(12x12)=2x(1+x)2+2x2.(12x12).(1+x)=2x(1+x)2+x212.(1+x)=2x(1+x)2+x32(1+x)=2x(1+x)2+(xx+x2).

x1x2y=UVy=U.VU.VV2y=UVy=U.V+U.VU=2+4xU=4V=x2V=2xU=2+4xU=4V=x2V=2xy=2+4xx2y=(4)(x2)(2+4x).(2x)(x2)2=4x24x8x2x4=4x24xx4=4x4x3y=2+4xx2=(2+4x).x2y=(4).x2+(2+4x).2x21=4x2(4+8x).x3=4x24x38x2=4x34x2=4x3+4x2=44xx3=4x4x3.


Pengertian dan Bentuk Umum Turunan Fungsi Aljabar (Materi Lanjutan Turunan Fungsi Aljabar)

A. 2 Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Perhatikan ilustrasi gambar berikut. 

Misalkan diketahui fungsi  y=f(x)  terdefinisi pada semua nilai  x di sekitar   x=k. Jika  Limh0f(k+h)f(k)h  ada, maka bentuk  Limh0f(k+h)f(k)h  disebut sebagai turunan dari fungsi  f(x)  saat  x=k.

A. 3 Notasi
  • Notasi turunan fungsi dilambangkan dengan  f(k)  dengan  f(k)=Limh0f(k+h)f(k)h.
  • Lambang   f(k)  dibaca   f  aksen   k disebut turunan atau derivatif untuk fungsi   f(x) terhadap   x  saat   x=k.
  • Jika limitnya ada, dapat dikatakan fungsi   f(x) diferensiabel (dapat dideferensialkan) saat   x=k  dan bentuk limitnya selanjutnya dilambangkan dengan  f(k).
  • Misalkan fungsi  f(x)  mempunyai turunan  f(x). Jika  f(k)  tidak terdefinisi, maka  f(x)  tidak diferensiabel di  x=k.
A. 4 Bentuk Umum Turunan Pertama Fungsi Aljabar

Bentuk umum turunan pertama fungsi aljabar  untuk fungsi  y terhadap x  dinotasikan sebagaimana berikut
y=dydx=d(f(x))dx=f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h

CONTOH SOAL.

1.Jikaf(x)=2x,hitunglah laju perubahan fungsifdix=2Jawab:Diketahui bahwaf(x)=2xCara Pertamaf(x)=2xf(2)=2.2=4f(2)=Limx2f(x)f(2)x2=Limx2(2x)(4)x2=Limx22x4x2=Limx22=2Cara Keduaf(2)=4f(2+h)=2(2+h)=4+2hf(2+h)f(2)=2hf(2)=Limh0f(2+h)f(2)h=Limh02hh=Limh02=2Jadi, laju perubahan fungsifdi x=2adalah2

2.Jikaf(x)=3x5,hitunglah laju perubahan fungsifdix=2Jawab:Diketahui bahwaf(x)=3x5Cara Pertamaf(x)=3x5f(2)=3.25=1f(2)=Limx2f(x)f(2)x2=Limx2(3x5)(1)x2=Limx23x6x2=Limx23=3Cara Keduaf(2)=1f(2+h)=3(2+h)5=3h+1f(2+h)f(2)=3hf(2)=Limh0f(2+h)f(2)h=Limh03hh=Limh03=3Jadi, laju perubahan fungsifdi x=2adalah3.

3.Diketahuif(x)=2022x2,tentukanlahf(x)danf(1)Jawab:f(x)f(1)f(x)=2022x2f(x+h)=2022(x+h)2=2022(x2+2xh+h2)=2022x2+4044xh+2022h2f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h=Limh0(2022x2+4044xh+2022h2)(2022x2)h=Limh04044xh+2022h2h=Limh04044x+2022h=4044xf(x)=4044xmaka,f(1)=4044.1=4044.

4.Diketahui bahwa fungsif(x)=1x2dengan daerah asalDf={x|xR,danx0}.a.Tunjukkan bahwaf(a)=2a3b.jelaskanlah mengapaf(0)tidak terdefinisiJawab:f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h=Limh01(x+h)21x2h=Limh0x2(x+h)2(x(x+h))2h=Limh0x2(x2+2xh+h2)h(x(x+h))2=Limh02xhh2h(x(x+h))2=Limh02x+h(x(x+h))2=2xx4=2x3Untukjawaban poin a dan b adalah sebagai berikutf(x)=2x3f(a)=2a3maka,f(0)=203=20karena penyebut berupa bilangan0makaf(0)tidak terdefinisi.


Turunan Fungsi Aljabar

 A. Turunan Fungsi Aljabar

A. 1 Laju Perubahasan untuk Nilai Fungsi

Konsep turunan fungsi pada awalnya digunakan dalam bidang kususnya Matematika dan fisika, dalam hal hal ini kita berikan contohnya adalah laju perubahan kecepatan.

Coba perhatikanlah, misal pada kasus gerak jatuh bebas suatu benda yang dinyaatakan dengan  h=12gt2  dengan  h  adalah tinggi benda dengan percepatan grafitasinya adalah  g=10m/s2 dan  t  adalah waktu tempuh.

Misalkan suatu benda jatuh dari ketinggian 125 meter dari permukaan tanah dengan percepatan grafitasinya adalah g=10m/s2, maka waktu yang dibutuhkan benda tersebut untuk sampai ke tanah adalah:

h=12gt2125=12(10)t225=t25=t

Dari kejadian di atas dapat kita dapatkan kecepatan rata-ratanya yaitu: perubahan tinggi dibagi perubahan waktu terjadinya, atau misal dituliskan

v=yt=yny1tnt1

Sehingga kecepatan rata-ratanya adalah :  1255=25m/s2

Misalkan f(t) untuk fungsi yang menujukkan posisi benda yang terjatuh dalam  t dengan f(t)=5t2, maka kecepatan rata-ratanya kita dapat menghitungnya untuk beberapa selang termasuk kita dapat menghitung kecepatan sesaatnya.
Coba perhatikanlah tabel berikut:

{f(4)=5.42=80f(3)=5.32=45v=804543=351=35{f(3,5)=5.(3,5)2=61,25f(3)=5.32=45v=61,25453,53=16,250,5=32,5{f(3,25)=5.(3,25)2=f(3)=5.32=45v=52,8125453,253=7,81250,25=31,25{f(3,1)=5.(3,1)2=48,05f(3)=5.32=45v=48,05453,13=3,050,1=30,5{f(3,1)=5.(3,01)2=45,3005f(3)=5.32=45v=45,3005453,013=0,30050,01=30,05

Dari ilsutrasi tabel di atas jika selisih waktu diperkecil terus menerus sampai mendekati nol, maka kecepatan sesaatnya akan mendekati nilai 30.

Sehingga kecepatan ketika t=3 ditentukan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu yang dibutuhkan dapat dituliskan dengan:

Laju perubahan rata-rataLaju perubahan sesaatΔyΔx=f(x2)f(x1)x2x1Limh0f(a+h)f(a)h.

Selanjutnya jika benda jatuh yang memenuhi kasus di atas, jika dihitung dengan pendekatan ini saat  t=3  adalah:

Limh0f(t+h)f(t)h=Limh05(t+h)25t2h=Limh05(t2+2th+h2)5t2h=Limh05t2+10th+5h25t2h=Limh010th+5h2h=Limh010t+5h=10t

Dari saat  t=3  kecepatan sesaatnya adalah 10t=10(3)=30m/s2.

Secara matematis, perubahan laju terhadap suatu fungsi di  x=a selanjutnya dinotasikan dengan f(x) dan didefiniskan dengan:

f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h

Bentuk di atas dinamakan dengan derivatif atau turunan pertama pada fungsi  f(x)  dan dinotasikan dengan  f(x) dan proses pencarian derivatif ini dinamakan differensial.

CONTOH SOAL.

1.Jikag(x)=3x5,hitunglah laju perubahan fungsigdix=2Jawab:Diketahui bahwag(x)=3x5Cara PertamaCara Keduag(x)=3x5g(2)=3.25=1g(2)=Limx2g(x)g(2)x2=Limx2(3x5)(1)x2=Limx23x6x2=Limx23=3g(2)=1g(2+h)=3(2+h)5=3h+1g(2+h)g(2)=3hg(2)=Limh0g(2+h)g(2)h=Limh03hh=Limh03=3Jadi, laju perubahan fungsigdix=2adalah3.

2.Diketahuif(x)=2022x2,tentukanlahf(x)danf(1)Jawab:f(x)f(1)f(x)=2022x2f(x+h)=2022(x+h)2=2022(x2+2xh+h2)=2022x2+4044xh+2022h2f(x)=Limh0f(x+h)f(x)h=Limh0(2022x2+4044xh+2022h2)(2022x2)h=Limh04044xh+2022h2h=Limh04044x+2022h=4044xf(x)=4044xmaka,f(1)=4044.1=4044.

3.Tentukanlah kecepatan jika diketahuif(t)=sintsaattJawab:f(t)=v(t)=Limh0f(t+h)f(t)h=Limh0sin(t+h)sinth=Limh02cos12(2t+h)sin12hh=Limh02cos12(2t+h).sin12hh=Limh02cos12(2t+h)×12=2cos12(2t+0)×12=cos12(2t)=cost

4.Diketahui sebuah bola bergerak melingkar beraturandengan persamaanf(t)=2sin2t.Tentukanlahkecepatan bola saatt=112πJawab:v(t)=Limh0f(t+h)f(t)h=Limh04sin2(t+h)2sin2th=Limh04cos12(4t+2h)sin12(2h)h=Limh04cos12(4t+2h)×Limh0sinhh=4cos12(4t)=4cos2tv(112π)=4cos2(112π)=4cos16π=4(123)=23


DAFTAR PUSTAKA
  1. Noormandiri, B. K. 2004. Matematika SMA Jilid 2A Berdasarkan Kurikulum 2004. Jakarta: ERLANGGA.
  2. Noormandiri, B. K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.