PAS MATEMATIKA BLOG: Ellipse

A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $F_{1}$ dan $F_{2}$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $F_{1} F_{2} = 2 c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $F_{1}$ dan $F_{2}$ sama dengan $2 a$ ( $2 a$ tetap dan $2 a > 2 c > 0$ )

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $F_{1}$ dengan $r_{1} = a - c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $F_{2}$ dengan $r_{1} = a + c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $F_{2}$ akan memotong lingkaran di di $F_{1}$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{aligned} Misalkan F_{1} F_{2} = 2 c = 6 (c = 3) \\ dan 2 a = 8 (a = 4) \\ Dengan \\ a - c = 4 - 3 = 1 dan a + c = 4 + 3 = 7 \\ Sehingga \\ \begin{array}{cccccccc} r_{1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ r_{2} & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \end{aligned}$ .

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

\begin{array}{lcc} Sumbu Simetri (Sb) & Sb. Utama & Sb. Sekawan \\ A_{1} A_{2} & B_{1} B_{2} \\ Titik Pusat & O & O \\ Latus rectum & \begin{aligned} Garis melalui \\ F_{1} dan tegak \\ lurus sumbu \\ utama, yaitu \\ L_{1} L_{1}^{'} \end{aligned} & \begin{aligned} Garis melalui \\ F_{2} dan tegak \\ lurus sumbu \\ utama, yaitu \\ L_{2} L_{2}^{'} \end{aligned} \\ Keterkaitan a, b, c & \begin{aligned} a^{2} = b^{2} + c^{2} \end{aligned} & a^{2} = b^{2} + c^{2} \end{array}

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik

A_{1}

dan

A_{2}

yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah

F_{1} F_{2}

dan tegak lurus dengan

F_{1} F_{2}

serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik

B_{1}

dan

B_{2}

Definisi 2

Elips adalah kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu...

B. Persamaan Elips

B. 1 Persamaan Elips berpusat di O(0,0)

\begin{matrix} \begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ atau \\ b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} \end{aligned} \end{matrix}

Perhatikan gambar pertama di atas

\begin{aligned} P F_{1} + P F_{2} = 2 a \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 2 a \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} \\ \Leftrightarrow (x - c)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} \\ + (x + c)^{2} + y^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 c x + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} \\ + x^{2} + 2 c x + y^{2} \\ \Leftrightarrow 4 a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 4 a^{2} + 4 c x \\ \Leftrightarrow a \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = a^{2} + c x \\ \Leftrightarrow a^{2} ((x + c)^{2} + y^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} x^{2} + 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} + 2 a^{2} c x + c^{2} x^{2} \\ \Leftrightarrow (a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2}) \\ \Leftrightarrow b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{aligned}

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut

Lanjutan Materi Elips

Elips