ELIPS-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

Perhatikan tabel berikut  terkait persamaan garis singgung pada elips

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{a^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{b^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{b^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

Dan juga tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{b^{2}}+\frac{y_{1}y}{a^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{b^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{a^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{a^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{a^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan elips}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung elips}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 1}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (4,0)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (5,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=1\\ &\:\qquad y=mx\pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}}=1.x\pm \sqrt{16.1+9}\\ &\:\qquad \Leftrightarrow y=x\pm \sqrt{25}\Leftrightarrow y=x\pm 5\\ &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (4,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (4,0) ini pada elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{4x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\:\qquad  \Leftrightarrow  \displaystyle \frac{4x}{16}=1\Leftrightarrow 4x=16\Leftrightarrow x=4\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (5,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (5,0) ini di luar elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{5x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\quad\qquad  \Leftrightarrow  \displaystyle \frac{5x}{16}=1\Leftrightarrow 5x=16\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{16}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan elips}\\ &\quad\qquad\displaystyle x=\displaystyle \frac{16}{5}\Rightarrow 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad 9\left( \displaystyle \frac{16}{5} \right)^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\Rightarrow y=\pm \displaystyle \frac{9}{5}\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle \frac{9}{5} \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle -\frac{9}{5} \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=-x+5\quad\textrm{dan}\quad y=x-5\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (5,0) dan substitusikan ke}\\  &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=m(x-p)+q\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Buatlah sketsa gambar dari soal nomor 1}\\ &\textrm{di atas}\\\\ &\textbf{Solusi}\\ &\textrm{Perhatikan sketsa gambar berikut} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Muklis, Rifai, R.A. 2024. Buku Interaktif Matematika XII Tingkat Lanjut. Yogyakarta: INTAN PARIWARA EDUKASI
2. Tim MGMP Matematika. .......... Matematika IPA Kelas XII untuk SMA dan MA. .....: KARYA PUSTAKA.

ELIPS (IRISAN KERUCUT)

 A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $\color{red}F_{1}$  dan  $\color{red}F_{2}$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $\color{red}F_{1}F_{2}=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $\color{red}F_{1}$  dan  $\color{red}F_{2}$ sama dengan $2a$ ($\color{red}2a$ tetap dan $\color{red}2a>2c>0$)

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $\color{red}F_{1}$ dengan $\color{red}r_{1}=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $\color{red}F_{2}$ dengan $\color{red}r_{1}=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $\color{red}F_{2}$ akan memotong lingkaran di di $\color{red}F_{1}$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: F_{1}F_{2}=2c=6\: \: (c=3)\\ &\qquad\qquad\textrm{dan}\: \: 2a=8\: \: (a=4)\\ &\textrm{Dengan}\\ &a-c=4-3=1\: \: \textrm{dan}\: \: a+c=4+3=7\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline \color{red}r_{1}&1&2&3&4&5&6&7\\\hline \color{red}r_{2}&7&6&5&4&3&2&1\\\hline  \end{array} \end{aligned}$.

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Sumbu Simetri (Sb)}&\textrm{Sb. Utama}&\textrm{Sb. Sekawan}\\ &A_{1}A_{2}&B_{1}B_{2}\\\hline \color{red}\textrm{Titik Pusat}&O&O\\\hline \color{red}\textrm{Latus rectum}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{1}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{1}L_{1}' \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{2}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{2}L_{2}' \end{aligned}\\\hline \color{red}\textrm{Keterkaitan}\: \color{black}a,b,c&\begin{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2} \end{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2}\\\hline \end{array}$.

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}A_{1}$ dan $\color{red}A_{2}$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $\color{red}F_{1}F_{2}$ dan tegak lurus dengan $\color{red}F_{1}F_{2}$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}B_{1}$ dan $\color{red}B_{2}$.

B. Persamaan Elips

Persamaan Elips berpusat di O(0,0) dan (p,q)

$\LARGE\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ &\qquad\textrm{atau}\\ &\color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{aligned} \\\hline \end{array}$.

Perhatikan gambar pertama di atas

$\begin{aligned}&PF_{1}+PF_{2}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\Leftrightarrow (x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +(x+c)^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2cx+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +x^{2}+2cx+y^{2}\\ &\Leftrightarrow 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx\\ &\Leftrightarrow a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a^{2}+cx\\ &\Leftrightarrow a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\\ &\Leftrightarrow \color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned}$.

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline  \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(a,0),(-a,0),\\ &(0,b),(0,-b) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+a,q),(p-a,q),\\ &(p,q+b),(p,q-b) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(c,0),(-c,0)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+c,q)\\ &\textrm{dan} \\ &(p-c,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&x=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&x=p\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=p\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}& y=q \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}&x=p\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.

Perhatikan pula ilustrasi berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline  \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(0,a),(0,-a),\\ &(b,0),(-b,0) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+a),(p,q-a),\\ &(p+b,q),(p-b,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(0,c),(0,-c)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+c)\\ &\textrm{dan} \\ &(p,q-c) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&y=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&y=q\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=q\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}& x=p \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}&y=q\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, direktris, eksentrisitas}\\ &\textrm{dan panjang latus rektum dari elips}\\ &9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat puncak}:(\pm 4,0),(0,\pm 3)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat fokus}:(\sqrt{7},0),(-\sqrt{7},0)\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast  \quad \textrm{direktris}:x=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{eksentrisitas}:\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ \end{aligned} \end{array}$.

Berikut sketsa gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, direktris, eksentrisitas}\\ &\textrm{dan panjang latus rektum dari elips}\\ &16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{9}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{16}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat puncak}:(0,\pm 4),(\pm 3,0)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat fokus}:(0,\sqrt{7}),(0,-\sqrt{7})\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast  \quad \textrm{direktris}:y=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{eksentrisitas}:\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ \end{aligned} \end{array}$.

Berikut ilustrasi sketsa gambarnya

Lanjutan Materi Elips

Elips

A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $\color{red}F_{1}$  dan  $\color{red}F_{2}$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $\color{red}F_{1}F_{2}=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $\color{red}F_{1}$  dan  $\color{red}F_{2}$ sama dengan $2a$ ($\color{red}2a$ tetap dan $\color{red}2a>2c>0$)

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $\color{red}F_{1}$ dengan $\color{red}r_{1}=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $\color{red}F_{2}$ dengan $\color{red}r_{1}=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $\color{red}F_{2}$ akan memotong lingkaran di di $\color{red}F_{1}$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: F_{1}F_{2}=2c=6\: \: (c=3)\\ &\qquad\qquad\textrm{dan}\: \: 2a=8\: \: (a=4)\\ &\textrm{Dengan}\\ &a-c=4-3=1\: \: \textrm{dan}\: \: a+c=4+3=7\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline \color{red}r_{1}&1&2&3&4&5&6&7\\\hline \color{red}r_{2}&7&6&5&4&3&2&1\\\hline  \end{array} \end{aligned}$.

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Sumbu Simetri (Sb)}&\textrm{Sb. Utama}&\textrm{Sb. Sekawan}\\ &A_{1}A_{2}&B_{1}B_{2}\\\hline \color{red}\textrm{Titik Pusat}&O&O\\\hline \color{red}\textrm{Latus rectum}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{1}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{1}L_{1}' \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{2}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{2}L_{2}' \end{aligned}\\\hline \color{red}\textrm{Keterkaitan}\: \color{black}a,b,c&\begin{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2} \end{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2}\\\hline \end{array}$.

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}A_{1}$ dan $\color{red}A_{2}$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $\color{red}F_{1}F_{2}$ dan tegak lurus dengan $\color{red}F_{1}F_{2}$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}B_{1}$ dan $\color{red}B_{2}$.

Definisi 2

Elips adalah kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu...

B. Persamaan Elips

B. 1 Persamaan Elips berpusat di O(0,0)

$\LARGE\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ &\qquad\textrm{atau}\\ &\color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{aligned} \\\hline \end{array}$.

Perhatikan gambar pertama di atas

$\begin{aligned}&PF_{1}+PF_{2}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\Leftrightarrow (x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +(x+c)^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2cx+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +x^{2}+2cx+y^{2}\\ &\Leftrightarrow 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx\\ &\Leftrightarrow a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a^{2}+cx\\ &\Leftrightarrow a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\\ &\Leftrightarrow \color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned}$.

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut