PAS MATEMATIKA BLOG: Lanjutan 1 Materi Operasi Vektor Berdimensi Tiga (Hasil Kali Vektor)

$F. 4. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)$ .

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut $θ$ , maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai $\vec{u} \times \vec{v}$ . Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{c}$ , maka

$\begin{aligned} \vec{u} & \times \vec{v} = \vec{c} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \end{aligned}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah $| \vec{u} \times \vec{v} | = | \vec{u} | | \vec{v} | \sin θ$ dan arahnya tegak lurus terhadap $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ .

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut untuk dua buah vektor sebagai misal $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ .

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

tidak bersifat komutatif , karena $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ .
distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ .
pada perkalian dengan skalar : $k (\vec{a} \times \vec{b}) = (k \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k \vec{b})$ .
berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ .
jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
berlaku identitas Lagrange : ${| \vec{a} \times \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} . {| \vec{b} |}^{2} - {(\vec{a} ∙ \vec{b})}^{2}$ .

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui \vec{a} = 4 \vec{i} + 3 \vec{j} dan \vec{b} = 4 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & - 3 \end{array} | \\ = (- 9 - 0) \vec{i} - (- 12 - 0) \vec{j} + (0 - 12) \vec{k} \\ = - 9 \vec{i} + 12 \vec{j} - 12 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & - 3 \\ 4 & 3 & 0 \end{array} | \\ = (0 - (- 9)) \vec{i} - (0 - (- 12)) \vec{j} + (12 - 0) \vec{k} \\ = 9 \vec{i} - 12 \vec{j} + 12 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui \vec{a} = 6 \vec{i} + 2 \vec{j} + 10 \vec{k} dan \vec{b} = 4 \vec{i} + \vec{j} + 9 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 2 & 10 \\ 4 & 1 & 9 \end{array} | \\ = (18 - 10) \vec{i} - (54 - 40) \vec{j} + (6 - 8) \vec{k} \\ = 8 \vec{i} - 14 \vec{j} - 2 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 9 \\ 6 & 2 & 10 \end{array} | \\ = (10 - 18) \vec{i} - (40 - 54) \vec{j} + (8 - 6) \vec{k} \\ = - 8 \vec{i} + 14 \vec{j} + 2 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Tentukanlah luas segitiga A B C jika \\ diketahui A (2, 1, - 2), B (0, - 1, 0), dan \\ C (- 1, 2, - 1) \\ Jawab : \\ Misalkan luas segitiga \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} |, dengan \\ {\begin{cases} \vec{p} & = \overset{―}{A B} = \overset{―}{O B} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ \vec{q} & = \overset{―}{A C} = \overset{―}{O C} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \end{cases} \\ \begin{aligned} \vec{p} & \times \vec{q} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 2 & - 2 & 2 \\ - 3 & 1 & 1 \end{array} | \\ = (- 2 - 2) \vec{i} - (- 2 - (- 6)) \vec{j} + (- 2 - 6) \vec{k} \\ = - 4 \vec{i} - 4 \vec{j} - 8 \vec{k} \\ Sehingga \\ | \vec{p} \times \vec{q} | = \sqrt{(- 4)^{2} + (- 4)^{2} + (- 8)^{2}} \\ = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} \\ Maka luas segi tiganya adalah : \\ luas △ A B C = \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} | = \frac{1}{2} (4 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{6} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan 1 Materi Operasi Vektor Berdimensi Tiga (Hasil Kali Vektor)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar