Lanjutan 2 Materi Operasi Vektor Berdimensi Tiga

 $\color{blue}\textrm{G. Perbandingan Vektor }$.

Rumus perbandingan vektor yang berlaku pada dimensi dua juga berlaku untuk perbandingan vektor di dimensi tiga. Misalkan suatu  $\overline{AB}$  dan  titik  T pada  $\overline{AB}$ dengan  $\overline{AT}:\overline{TB}=m:n$ .

Karena titik T pada ruas garis AB, maka titik T membagi ruas AB dengan  $\vec{a}$  dan  $\vec{b}$ sebagai vektor posisi dari masing-masing titik A dan B dan vektor posisi titik T dapat ditentukan, yaitu:

$\vec{t}=\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$

Sebagai ilustrasinya adalah gambar berikut

Untuk bukti silahkan merujuk di sini 

(dengan menyesuaikan posisi titiknya)

Jika titik T pada perpanjangan garis  $\overline{AB}$ , maka vektor posisi titik T-nya adalah:

$\vec{t}=\displaystyle \frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika titik}\: \: A(12,12,0)\: \: \textrm{dan}\: \: B(6,6,12)\\ &\textrm{serta}\: \: P\: \: \textrm{membagi garis dengan}\\ & \overline{AP}:\overline{PB}=1:2.\: \textrm{Tentukanlah koordinat}\\ &\textrm{titik}\: \: P\: \: \textrm{jika},\\ &P\: \: \textrm{membagi di dalam}\\ &P\: \: \textrm{membagi di luar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&P\: \: \textrm{membagi di dalam}\\ &\vec{p}=\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\\ &\: \: =\displaystyle \frac{2\vec{a}+1\vec{p}}{1+2}=\frac{2\begin{pmatrix} 12\\ 12\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\\ 6\\ 12 \end{pmatrix}}{3}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 30\\ 30\\ 12 \end{pmatrix}}{3}=\begin{pmatrix} 10\\ 10\\ 4 \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.\quad&P\: \: \textrm{membagi di luar}\\ &\vec{p}=\displaystyle \frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\\ &\: \: =\displaystyle \frac{-2\begin{pmatrix} 12\\ 12\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\\ 6\\ 12 \end{pmatrix}}{1-2}\\ &\: \: =-\begin{pmatrix} -18\\ -18\\ 12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\ 18\\ -12 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika titik}\: \: A(3,2,-1)\: \: \textrm{dan}\: \: B(1,-2,1)\\ &\textrm{dan}\: \: C(7,m-1,-5)\: .\: \textrm{Tentukan nilai}\: \: m\\ &\textrm{agar ketiga titik itu segaris}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &\vec{a}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ -1 \end{pmatrix},\: \vec{b}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix},\: \begin{pmatrix} 7\\ m-1\\ -5 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Agar ketiga titik segaris, maka}\: \: \overline{AB}=k\overline{BC}\\ &\vec{b}-\vec{a}=k\left ( \vec{c}-\vec{b} \right )\\ &\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}=k\left (\begin{matrix} 7\\ m-1\\ -5 \end{matrix} -\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \right )\\ &\Leftrightarrow \: \begin{pmatrix} -2\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} 6\\ m+1\\ -6 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \: \begin{cases} -2 & =6k \\ -4 & =k(m+1) \\ 2 & =-6k \end{cases}\Leftrightarrow -2=6k\\ &\Leftrightarrow k=-\displaystyle \frac{1}{3}\\ &\textrm{maka}\\ &\Leftrightarrow -4=k(m+1)\Leftrightarrow -4=-\displaystyle \frac{1}{3}(m+1)\\ &\Leftrightarrow 12=m+1\\ &\Leftrightarrow m=\color{red}11 \end{aligned} \end{array}$