Lanjutan 2 Materi Operasi Vektor Berdimensi Tiga

 $\text{G. Perbandingan Vektor }$.

Rumus perbandingan vektor yang berlaku pada dimensi dua juga berlaku untuk perbandingan vektor di dimensi tiga. Misalkan suatu  $\overline{AB}$  dan  titik  T pada  $\overline{AB}$ dengan  $\overline{AT}:\overline{TB}=m:n$ .

Karena titik T pada ruas garis AB, maka titik T membagi ruas AB dengan  $\overrightarrow{a}$  dan  $\overrightarrow{b}$ sebagai vektor posisi dari masing-masing titik A dan B dan vektor posisi titik T dapat ditentukan, yaitu:

$\overrightarrow{t}={\displaystyle \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}$

Sebagai ilustrasinya adalah gambar berikut

Untuk bukti silahkan merujuk di sini 

(dengan menyesuaikan posisi titiknya)

Jika titik T pada perpanjangan garis  $\overline{AB}$ , maka vektor posisi titik T-nya adalah:

$\overrightarrow{t}={\displaystyle \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika titik}A(12,12,0)\text{dan}B(6,6,12)\\ & \text{serta}P\text{membagi garis dengan}\\ & \overline{AP}:\overline{PB}=1:2.\text{Tentukanlah koordinat}\\ & \text{titik}P\text{jika},\\ & P\text{membagi di dalam}\\ & P\text{membagi di luar}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& P\text{membagi di dalam}\\ & \overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\overrightarrow{a}+1\overrightarrow{p}}{1+2}=\frac{2\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 12\end{array}\right)}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}30\\ 30\\ 12\end{array}\right)}{3}=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\\ 4\end{array}\right)}\\ \text{b}.& P\text{membagi di luar}\\ & \overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}}\\ & ={\displaystyle \frac{-2\left(\begin{array}{c}12\\ 12\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 12\end{array}\right)}{1-2}}\\ & =-\left(\begin{array}{c}-18\\ -18\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -12\end{array}\right)\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika titik}A(3,2,-1)\text{dan}B(1,-2,1)\\ & \text{dan}C(7,m-1,-5).\text{Tentukan nilai}m\\ & \text{agar ketiga titik itu segaris}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right),\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}7\\ m-1\\ -5\end{array}\right)\\ & \text{Agar ketiga titik segaris, maka}\overline{AB}=k\overline{BC}\\ & \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=k(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\\ & \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)=k(\begin{array}{c}7\\ m-1\\ -5\end{array}-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right))\\ & \iff \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 2\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}6\\ m+1\\ -6\end{array}\right)\\ & \iff \{\begin{array}{ll}-2& =6k\\ -4& =k(m+1)\\ 2& =-6k\end{array}\iff -2=6k\\ & \iff k=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & \text{maka}\\ & \iff -4=k(m+1)\iff -4=-{\displaystyle \frac{1}{3}(m+1)}\\ & \iff 12=m+1\\ & \iff m=11\end{array}\end{array}$