PAS MATEMATIKA BLOG: Proyeksi Ortoganal Suatu Vektor di Dimensi Tiga

Materinya sama dengan proyeksi ortogonal pada dimensi dua klik di sini

Uraian berikut sebagai pengingat saja

$\begin{aligned} ▹ & Proyeksi skalar vektor \\ | \vec{c} | = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ ▹ & Vektor proyeksi ortogonal \\ \vec{c} = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} . \vec{b} \end{aligned}$

Sebagai penjelasannya adalah sebagai berikut:

Penjelasan pertama berkaitan dengan proyeksi skalar vektor di dimensi tiga, yaitu:

Diberikan sebuah ilustrasi berikut,

Perhatikan ilustrasi gambar di atas!

\begin{array}{cc} △ OAC & ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{| \vec{c} |}{| \vec{a} |} \\ \Leftrightarrow | \vec{c} | & = | \vec{a} | \cos θ . . . . . . . . (1) \end{aligned} & \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} . . . . . . . . (2) \end{aligned} \end{array}

\begin{aligned} Dari (1) & dan (2) diperoleh \\ | \vec{c} | & = | \vec{a} | \cos θ \\ = | \vec{a} | (\frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}) \\ = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \end{aligned}

Dan penjelasan kedua berkaitan dengan vektor proyeksi ortogonalnya, yaitu:

\begin{aligned} Perhatikan pula misal \hat{c} \\ adalah vektor satuan dari \vec{c} dan \vec{b}, \\ maka \\ \begin{aligned} \vec{c} & = | \vec{c} | \hat{c} \end{aligned}, dan \\ \begin{aligned} \vec{b} & = | \vec{b} | \hat{b} = | \vec{b} | \hat{c} \end{aligned} \end{aligned}

\begin{aligned} Sehingga & proyeksi ortogonal vektor \vec{a} pada \vec{b} adalah : \\ \vec{c} & = | \vec{c} | \hat{b} \\ = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |}) (\frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}) \\ = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}}) \vec{b} \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) . \\ Tentukanlah \\ a . proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} \\ b . vektor proyeksi \vec{a} pada \vec{b} \\ c . proyeksi skalar \vec{b} pada \vec{a} \\ d . vektor proyeksi \vec{b} pada \vec{a} \\ Jawab : \\ Misalkan proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} \\ adalah | \vec{c} |, dan \\ misalkan juga proyeksi skalar \vec{b} pada \vec{a} \\ adalah | \vec{d} |, maka \\ \begin{aligned} a . | \vec{c} | & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{(- 4)^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{- 8 - 6 + 2}{\sqrt{24}} = - \frac{12}{24} \sqrt{24} = - \sqrt{6} \\ Karena hasilnya berupa panjang, maka \\ diharga mutlak/positif \\ | \vec{c} | = | - \sqrt{6} | = \sqrt{6} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . \vec{c} & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} \times \vec{b} \\ = \frac{- 12}{(\sqrt{24})^{2}} \times (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \\ = - \frac{1}{2} (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . | \vec{d} | & = \frac{\vec{b} ∙ \vec{a}}{| \vec{a} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}}} \\ = \frac{- 8 - 6 + 2}{\sqrt{14}} = - \frac{12}{14} \sqrt{14} = - \frac{6}{7} \sqrt{14} \\ Karena hasilnya berupa panjang, maka \\ diharga mutlak/positif \\ | \vec{d} | = | - \frac{6}{7} \sqrt{14} | = \frac{6}{7} \sqrt{14} \end{aligned} \\ \begin{aligned} d . \vec{d} & = \frac{\vec{b} ∙ \vec{a}}{{| \vec{a} |}^{2}} \times \vec{a} \\ = \frac{- 12}{(\sqrt{14})^{2}} \times (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \\ = - \frac{12}{14} (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{12}{7} \\ \frac{18}{7} \\ - \frac{6}{7} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ m \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) . \\ Jika proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} adalah \\ bernilai - \frac{2}{3}, maka tentukan nilai m \\ Jawab : \\ Misalkan proyeksi skalar \vec{a} pada \vec{b} adalah | \vec{f} |, \\ maka \\ \begin{aligned} | \vec{f} | & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ \Leftrightarrow - \frac{2}{3} & = \frac{(\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \\ m \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + (- 2)^{2}}} \\ \Leftrightarrow - \frac{2}{3} & = \frac{- 6 + 2 - 2 m}{\sqrt{9}} = \frac{- 4 - 2 m}{3} \\ \Leftrightarrow - 2 & = - 4 - 2 m \\ \Leftrightarrow 1 & = 2 + m \\ \Leftrightarrow - m & = 2 - 1 = 1 \\ \Leftrightarrow m & = - 1 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Diketahui vektor \vec{a} = 3 \bar{i} - 2 \bar{j} + 2 \bar{k} dan \\ \vec{b} = 2 \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k} . Tentukanlah panjang \\ vektor proyeksi ortogonal \\ a . \vec{a} pada \vec{b} \\ b . \vec{a} pada (\vec{a} + \vec{b}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . Misal & kan \vec{g} adalah vektor proyeksi \\ yang & dimaksud, maka panjanynya \\ (lang & sung diharga mutlak) \\ | \vec{g} | & = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}}} | \\ = | \frac{3.2 + (- 2) . (- 2) + 2.1}{\sqrt{4 + 4 + 1}} | \\ = | \frac{12}{3} | = 4 \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . Misal & kan \vec{h} adalah vektor proyeksi \\ yang & dimaksud, maka panjanynya \\ (lang & sung diharga mutlak) \\ | \vec{h} | & = | \frac{\vec{a} (\vec{a} + \vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} 3 + 2 \\ - 2 + (- 2) \\ 2 + 1 \end{array})}{\sqrt{(3 + 2)^{2} + (- 2 + (- 2))^{2} + (2 + 1)^{2}}} | \\ = | \frac{3.5 + (- 2) . (- 4) + 2.3}{\sqrt{25 + 16 + 9}} | \\ = | \frac{29}{\sqrt{50}} | \\ = \frac{29}{5 \sqrt{2}} = \frac{29}{10} \sqrt{5} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama Program IPA. Jakarta: YUDHISTIRA.

PAS MATEMATIKA BLOG

Proyeksi Ortoganal Suatu Vektor di Dimensi Tiga

Tidak ada komentar:

Posting Komentar