Persamaan Logaritma 3

C. Persamaan Logaritma Bentuk  ${}^a\log f(x)={}^a\log g(x)$.

Syarat penyelesaian dari bentuk ini adalah numerusnya harus positif serta basisnya juga harus positif dan tidak berupa angka 1.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & \text{a}.2\log x=\log (x+6)\\ & \text{b}.\log (2x-3)=\log (x^2-3x+1)\\ & \text{c}.{}^3\log (x^2+3x+2)={}^3\log (5x+5)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\mathbf{\text{a}}.\text{Dik}& \text{etahui}\\ & 2\log x=\log (x+6)\\ & \iff \log x^2=\log (x+6)\\ (\ast )& \text{Syarat numerus}\\ & \begin{array}{ll}\begin{array}{rl}& f(x)>0\\ \iff & x^2>0\\ \iff & x>0\end{array}& \begin{array}{rl}& g(x)>0\\ \iff & x+6>0\\ \iff & x>-6\end{array}\end{array}\\ & \text{Sehingga syarat numerusnya},x>0\\ (\ast )& \text{Syarat kedua},f(x)=g(x)\\ & \iff x^2=x+6\\ & \iff x^2-x-6=0\\ & \iff (x+2)(x-3)=0\\ & \iff x=-2\text{atau}x=3\\ & \text{Karena}x>0,\text{yang memenuhi}x=3\\ (\ast )& \text{Jadi},\text{HP}=\left\{3\right\}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\mathbf{\text{b}}.\text{Dik}& \text{etahui}\\ & \log (2x-3)=\log (x^2-3x+1)\\ (\ast )& \text{Syarat numerus}\\ & \begin{array}{ll}\begin{array}{rl}& f(x)>0\\ \iff & 2x-3>0\\ \iff & 2x>3\\ \iff & x>{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}& \begin{array}{rl}& g(x)>0\\ \iff & x^2-3x+1>0\\ \iff & x<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\ & \text{atau}x>{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\end{array}\\ & \text{Syarat numerusnya},x>{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\ (\ast )& \text{Syarat kedua},f(x)=g(x)\\ & \iff (2x-3)=(x^2-3x+1)\\ & \iff -x^2+5x-4=0\\ & \iff x^2-5x+4=0\\ & \iff (x-1)(x-4)=0\\ & \iff x=1\text{atau}x=4\\ & \text{Karena}x>{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2},}\\ & \text{yang memenuhi adalah}x=4\\ (\ast )& \text{Jadi},\text{HP}=\left\{4\right\}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\mathbf{\text{c}}.\text{Dik}& \text{etahui}\\ & {}^3\log (x^2+3x+2)={}^3\log (5x+5)\\ (\ast )& \text{Syarat numerus}\\ & \begin{array}{ll}\begin{array}{rl}& f(x)>0\\ \iff & x^2+3x+2>0\\ \iff & (x+1)(x+2)>0\\ \iff & x<-2\text{atau}x>-1\end{array}& \begin{array}{rl}& g(x)>0\\ \iff & 5x+5>0\\ \iff & x+1>0\\ \iff & x>-1\end{array}\end{array}\\ & \text{Syarat numerusnya},x>-1\\ (\ast )& \text{Syarat kedua},f(x)=g(x)\\ & \iff x^2+3x+2=5x+5\\ & \iff x^2-2x-3=0\\ & \iff (x+1)(x-3)=0\\ & \iff x=-1\text{atau}x=3\\ & \text{Karena}x>-1,\\ & \text{yang memenuhi adalah}x=3\\ (\ast )& \text{Jadi},\text{HP}=\left\{3\right\}\end{array}\end{array}$.

Catatan:

Penjelasan untuk soal no.1 b ada berkaitan dengan penentuan akar ${\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}$ , silahlkan Anda klik di sini

Berikut soal yang berbasis seolah-olah berbeda, tetapi setelah Anda cermati, maka Anda akan dengan mudah menentukan penyelesaiannya.

$\begin{array}{ll}2.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & {}^{0,25}\log (x-4)+{}^{16}\log (x+2)=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Dik}& \text{etahui}\\ & {}^{0,25}\log (x-4)+{}^{16}\log (x+2)=0\\ & {\iff }^{{.}^{\frac{1}{4}}}\log (x-4)+{}^{16}\log (x+2)=0\\ & {\iff }^{{.}^{4^{-1}}}\log (x-4)+{}^{{.}^{4^2}}\log (x+2)=0\\ & \iff -{}^4\log (x-4)+{\displaystyle \frac{1}{2}{.}^4\log (x+2)=0}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{2}{.}^4\log (x+2)={}^4\log (x-4)}\\ & \iff {}^4\log (x+2)=2.{}^4\log (x-4)\\ & \iff {}^4\log (x+2)={}^4\log (x-4{)}^2\\ & \iff {}^4\log (x+2)={}^4\log (x^2-8x+16)\\ (\ast )& \text{Syarat numerus}\\ & \begin{array}{ll}\begin{array}{rl}& f(x)>0\\ \iff & x-4>0\\ \iff & x>4\end{array}& \begin{array}{rl}& g(x)>0\\ \iff & x+2>0\\ \iff & x>-2\end{array}\end{array}\\ & \text{Sehingga syarat numerusnya},x>4\\ (\ast )& \text{Syarat kedua},f(x)=g(x)\\ & \iff x^2-8x+16=x+2\\ & \iff x^2-8x-x+16-2=0\\ & \iff x^2-9x+14=0\\ & \iff (x-2)(x-7)=0\\ & \iff x=2\text{atau}x=7\\ & \text{Karena}x>4,\text{yang memenuhi}x=7\\ (\ast )& \text{Jadi},\text{HP}=\left\{7\right\}\end{array}\end{array}$.

$\text{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & \text{a}.{}^2\log x+{}^2\log (x-1)={}^2\log (x+3)\\ & \text{b}.\log x+\log 2=\log (x+2)\\ & \text{c}.\log (x^2-4x-5)=\log (x-5)\\ & \text{d}.\log (x^2-2x-8)=\log (3x-4)\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
2. Kurnia, N., dkk. 2016. Jelajah Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.