Trik Menyelesaikan Soal Persamaan yang Melibatkan Bentuk Gabungan Eksponen dan Logaritma

Terkadang beberapa soal pada akhir semester gasal dimunculkan soal yang melibatkan bentuk ekponen dan logaritma sekaligus dalam sebuah persamaan. Bentuk soal yang dihadapi para siswa pada suatu waktu tidak hanya fokus pada satu pokok bahasan saja, terkadang tersaji soal yang menuntut siswa untuk mengkombinasikan konsep-konsep yang telah disampaikan dan diajarkan oleh para guru dan pembimbing. Berawal dari sana, di bagian ini dipaparkan beberapa soal yang yang dimaksudkan dengan harapan siswa lebih terbiasa dalam menghadapi tipe soal yang tersaji demikian.

Soal pertama saya pilihkan ada di blog ini, berikut tautannya klik di sini

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textbf{(UMPTN '94)}\\ &\textrm{Hasil kali akar-akar persamaan}\\ &^{3}\log x^{.\left (^{2+\: ^{3}\log x} \right )}=15\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&\displaystyle \frac{1}{9}\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}\\ \textrm{c}.&\displaystyle 1\\ \textrm{d}.&\displaystyle 3\\ \textrm{e}.&\displaystyle 9 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&^{3}\log x^{.\left (^{2+\: ^{3}\log x} \right )}=15\\ &\Leftrightarrow \: \left ({2+\: ^{3}\log x} \right )^{3}\log x-15=0\\ &\Leftrightarrow 2\: ^{3}\log x+\: \left ( ^{3}\log x \right )^{2}-15=0\\ &\Leftrightarrow \: \left ( ^{3}\log x \right )^{2}+2\: ^{3}\log x-15=0\\ &\Leftrightarrow \: \left (^{3}\log x_{1}+5 \right )\left ( ^{3}\log x_{2}-3 \right )=0\\ &\Leftrightarrow \: ^{3}\log x_{1}+5=0\: \: \color{purple}\textrm{atau}\: \: \color{blue}^{3}\log x_{1}-3=0\\ &\Leftrightarrow \: ^{3}\log x_{1}=-5\: \: \color{purple}\textrm{atau}\: \: \color{blue}^{3}\log x_{2}=3\\ &\Leftrightarrow \: x_{1}=3^{-5}\: \: \color{purple}\textrm{atau}\: \: \color{blue}x_{2}=3^{3}\\ &\qquad \color{black}\textrm{maka}\\ &\Leftrightarrow \: x_{1}\times x_{2}=3^{-5}\times 3^{3}=3^{-5+3}=3^{-2}\\ &\Leftrightarrow \qquad =\displaystyle \frac{1}{3^{2}}\\ &\Leftrightarrow \qquad =\color{red}\frac{1}{9} \end{aligned} \end{array}$.

Soal kedua juga saya pilihkan ada di blog ini, tautannya klik di sini

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Persamaan}\\ & 10^{\,^{\, ^{2}}\log x^{2} }-7\left ( 10^{\,^{\, ^{2}}\log x } \right )+10=0\\ & \textrm{mempunyai dua akar yaitu}\: \: x_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: x_{2}\\ &\textrm{Nilai}\: \: x_{1}\times x_{2}=\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-2\\ \textrm{b}.&-5\\ \color{red}\textrm{c}.&2\\ \textrm{d}.&5\\ \textrm{e}.&10 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&10^{\,^{\, ^{2}}\log x^{2} }-7\left ( 10^{\,^{\, ^{2}}\log x } \right )+10=0\\ &10^{\, 2^{\, ^{2}}\log x }-7\left ( 10^{\,^{\, ^{2}}\log x } \right )+10=0\\ &\color{black}\textrm{adalah persamaan kuadrat dalam}\: \: \color{red}10^{\,^{\, ^{2}}\log x }\\ &\color{black}\textrm{Misalkan}\: \: \color{red}p=10^{\,^{\, ^{2}}\log x },\: \: \color{black}\textrm{maka persamaan}\\ &\color{black}\textrm{menjadi}\: \: \color{purple}p^{2}-7p+10=0\: \begin{cases} a & =1 \\ b & =-7 \\ c & =10 \end{cases}\\ & \color{red}\textrm{Karena nilai}\: \: \color{black}p_{1}\times p_{2}=\displaystyle \frac{c}{a}\: \: \textrm{maka}\\ &10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{1} }\times 10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{2} }=\displaystyle \frac{10}{1}=10\\ &10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{1}\: +\: ^{2}\log x_{2} }=10\\ &10^{\,^{\, ^{2}}\log x_{1}\: +\: ^{2}\log x_{2} }=10^{1}\\ &\Leftrightarrow \: ^{2}\log x_{1}\: +\: ^{2}\log x_{2}=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{2}\log x_{1}\times x_{2}=1\\ &\Leftrightarrow \: \color{red}x_{1}\times x_{2}=2^{1}=2\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Hasil kali semua akar real persamaan }\\ &\sqrt{10}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\log \left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\left ( x^{2}-x+4 \right )^{\frac{3}{2}}\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\qquad\qquad\qquad\textrm{UM UGM 2016 Mat IPA}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-18\\ \color{red}\textrm{b}.&-6\\ \textrm{c}.&1\\ \textrm{d}.&6\\ \textrm{e}.&18 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{b}\\ &\begin{aligned}&\sqrt{10}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\left ( x^{2}-x+4 \right )^{\frac{3}{2}}\\ &\Leftrightarrow \color{black}\log \color{red}\sqrt{10}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\color{black}\log \color{red}\left ( x^{2}-x+4 \right )^{\frac{3}{2}}\\ &\Leftrightarrow \log \sqrt{10}+\log \left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\Leftrightarrow \log 10^{.^{\frac{1}{2}}}+\log \left ( x^{2}-x+4 \right )^{.^{\color{black}\log \color{blue}\left ( x^{2}-x+4 \right )}}=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}+ \log \left ( x^{2}-x+4 \right )\times \log \left ( x^{2}-x+4 \right )=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\displaystyle \frac{1}{2}+ \log^{2} \left ( x^{2}-x+4 \right )=\displaystyle \frac{3}{2}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )\\ &\color{red}\textrm{misalkan}\: \: \color{black}\log \left ( x^{2}-x+4 \right )=p,\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}+p^{2}=\displaystyle \frac{3}{2}p\\ &\Leftrightarrow 2p^{2}-3p+1=0\\ &\Leftrightarrow \left ( p-1 \right )\left ( 2p-1 \right )=0\\ &\Leftrightarrow p=1\: \: \textrm{atau}\: \: p=\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow \log \left ( x^{2}-x+4 \right )=1\: \: \textrm{atau}\: \: \log \left ( x^{2}-x+4 \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( x^{2}-x+4 \right )=10^{1}\: \: \textrm{atau}\: \: \left ( x^{2}-x+4 \right )=10^{.^{\frac{1}{2}}}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x+4=10\: \: \textrm{atau}\: \: x^{2}-x+4=\sqrt{10}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x-6=0\: \: \textrm{atau}\: \: x^{2}-x+4-\sqrt{10}=0\\ &\textrm{Jelas bahwa yang ada akar real adalah}\\ &\textrm{persamaan}\: :\: \color{red}x^{2}-x-6=0\\ &\textrm{dan hasil kali semua akarnya adalah}:\: x_{1}.x_{2}.\\ &\Rightarrow x_{1}.x_{2}=\displaystyle \frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=\color{red}-6 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &2x^{.^{^{6}}\log x}+72x^{.^{^{.^{\frac{1}{6}}}}\log x}=24\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll} \textrm{a}.&18\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{36}\\ \textrm{b}.&24\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle 2\\ \color{red}\textrm{c}.&6\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\\ \textrm{d}.&36\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{1}{6}\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{18} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\begin{aligned}&2x^{.^{^{6}}\log x}+72x^{.^{^{.^{\frac{1}{6}}}}\log x}=24\\ &\Leftrightarrow 2x^{.^{^{6}}\log x}+72x^{-1.\left (^{^{6}}\log x \right )}=24\\ &\Leftrightarrow 2x^{.^{^{6}}\log x}+\displaystyle \frac{72}{x^{.^{^{6}}\log x}}-24=0\\ &\color{red}\textrm{misalkan}\: \: \color{black}p=x^{.^{^{6}}\log x},\: \: \textrm{maka}\\ &2p+\displaystyle \frac{72}{p}-24=0\Leftrightarrow p^{2}-12p+36=0\\ &\Leftrightarrow (p-6)^{2}=0\Leftrightarrow p=\pm 6\\ &\Leftrightarrow x^{.^{^{6}}\log x}=6\: \: \textrm{saja},\\ &\textbf{disebabkan} \: \textrm{syarat numerus}\: \: \color{blue}x^{.^{^{6}}\log x}\color{black}\neq -6.\\ & \textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{untuk}\: \: x^{.^{^{6}}\log x}=6,\: \: \textrm{nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{ada} \: \: 2,\: \: \textrm{yaitu} :\: \: 6\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\\\\ &\textrm{Karena}\begin{cases} x^{.^{^{6}}\log x} & \Rightarrow 6^{.^{^{6}}\log 6}=6 \\\\ x^{.^{^{6}}\log x} & \Rightarrow \left (\frac{1}{6} \right )^{.^{^{6}}\log \left ( \frac{1}{6} \right )}=6^{-1.^{^{6}}\log 6^{-1}}=6^{.^{^{6}}\log 6^{1}}=6 \end{cases} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &^{2x-3}\log ^{-1}2.^{x}\log 2-\, ^{x+6}\log ^{-1}x+\displaystyle \frac{1}{^{x+2}\log x}=1\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll} \textrm{a}.&8\\ \textrm{b}.&9\\ \textrm{c}.&-1\\ \color{red}\textrm{d}.&6\\ \textrm{e}.&5 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{d}\\ &\begin{aligned}&^{2x-3}\log ^{-1}2.^{x}\log 2-\, ^{x+6}\log ^{-1}x+\displaystyle \frac{1}{^{x+2}\log x}=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{2}\log (2x-3).^{x}\log 2-\, ^{x}\log (x+6)+\, ^{x}\log (x+2)=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log 2.\, ^{2}\log (2x-3)-\, ^{x}\log (x+6)+\, ^{x}\log (x+2)=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log (2x-3)-\, ^{x}\log (x+6)+\, ^{x}\log (x+2)=1\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log \displaystyle \frac{(2x-3)(x+2)}{(x+6)}=1\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Basis}&\textrm{Numerus}\\\hline \begin{aligned}&(1).\quad x>\displaystyle \frac{3}{2}\\ &(2).\quad x>0\\ &(3).\quad x>-2 &\\ &\color{red}\textrm{dipilih}\\ &\: \: \qquad x>\frac{3}{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&\quad x>\displaystyle 0\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{(2x-3)(x+2)}{(x+6)}=x^{1}\\ &\Leftrightarrow (2x-3)(x+2)=x(x+6)\\ &\Leftrightarrow 2x^{2}+x-6=x^{2}+6x\\ &\Leftrightarrow x^{2}-5x-6=0\\ &\Leftrightarrow (x-6)(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow x=6\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: x=\color{red}6 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Himpunan penyelesaian untuk}\: \: x,y,z\\ &\textrm{yang memenuhi persamaan berikut}\\ &\begin{cases} (2x+3y)^{\log (x-y+2z)}=1 & \\ 3^{2x+y+z}\times 27^{3z+2y+x}=81 & \\ 5x+3y+8z=2 & \end{cases}\\ & \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll} \textrm{a}.&\left \{ \displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \}\\ \textrm{b}.&\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},\frac{1}{2},\frac{7}{6} \right \}\\ \textrm{c}.&\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{2},-\frac{7}{6} \right \}\\ \textrm{d}.&\left \{ \displaystyle \frac{17}{12},\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \}\\ \color{red}\textrm{e}.&\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{cases} (2x+3y)^{\log (x-y+2z)}=1 & \\ 3^{2x+y+z}\times 27^{3z+2y+x}=81 & \\ 5x+3y+8z=2 & \end{cases}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa soal dapat dituliskan ulang}\\ &\textrm{menjadi}\\ &\begin{cases} \log (x-y+2z)=0 & \\ 3^{2x+y+z+3(3z+2y+x)}=3^{4} & \\ 5x+3y+8z=2 & \end{cases}\\ &\textrm{berubah lagi menjadi}\\ &\begin{cases} x-y+2z=1 &----(1) \\ 5x+7y+10z=4 &----(2) \\ 5x+3y+8z=2 &----(3) \end{cases}\\ &\textrm{Dengan eliminasi berikut akan didapatkan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Persamaan 1&2}&\textbf{Persamaan 2&3}\\\hline \begin{array}{ll} 5x-5y+10z&=5\\ 5x+7y+10z&=4\quad -\\\hline \: \: \quad-12y&=1\\ \qquad\qquad\qquad y&=-\displaystyle \frac{1}{12}\\ &\\ &---(4) \end{array}&\begin{array}{ll} 5x+7y+10z&=4\\ 5x+3y+8z&=2\quad -\\\hline \: \: \qquad 4y+2z&=2\\ &---(5)\\ &\\ & \end{array} \\\hline \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: 4\&5\: \: \textrm{didapatkan}\\ &\textrm{nilai}\: \: z=\displaystyle \frac{7}{6},\: \textrm{selanjutnya juga}\\ &\textrm{akan didapatkan nilai}\: \: x=-\displaystyle \frac{17}{12}.\\ &\textrm{Jadi, HP}=\color{red}\left \{ -\displaystyle \frac{17}{12},-\frac{1}{12},\frac{7}{6} \right \} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XKelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Susianto, B. 2011. Olimpiade Matematika dengan Proses Berpikir Aljabar dan Bilangan. Cet. II. Jakarta: GRASINDO

Aplikasi Fungsi Logaritma

Dalam banyak hal konsep logaritma sering digunakan untuk memudahkan perhitungan, baik kejadian di sekitar kita sehari hari atau lainnya yang dilakukan seseorang yang menekuni bidang tertentu. Sebagai misal dalam bidang ekonomi saat perhitungan bunga majmuk, selain itu juga dalam bidang baik fisika, kimia, biologi, geografi dan lain-lain.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Dalam bidang ekonomi

Jika modal M dibungakan untuk setiap periode bungan dengan bunga majmuk  i = p % , maka besar modal M setelah n periode adalah $M_{n}$ dengan mengikuti rumus:

$M_{n}=M(1+i)^{n}$.

Dalam Bidang Fisika

Misalnya dalam menentukan tingkat kebisingan (Taraf Intensitas) bunyi yang merupakan laju perpindahan energi bunyi persatuan luas yang tegak lurus terhadap arah merambatnya diformulasikan dengan

$TI=10\log \left ( \displaystyle \frac{I}{I_{o}} \right )$.

Satuan dalam penghitungan dia atas adalah seibel (dB).

Jika diketahui nilai ambang intensitas bunyi  $\left ( I_{o} \right )$ dalam hal ini adalah intensitas bunyi terendah yang masih bisa diterima oleh manusia, yaitu sekitar $10^{-12}\: \: watt/m^{2}$ pada frekuensi 1000 Hz pada suatu ketika diketahui pula taraf intensitas bunyi sebuah mesin adalah 60 dB, maka berapakah intensitas bunyi mesin tersebut, berikut uraiannya

$\begin{aligned}TI&=10 \log \left ( \displaystyle \frac{I}{I_{o}} \right )\\ 60&=10\log \left ( \displaystyle \frac{I}{10^{-12}} \right )\\ 6&=\log I-\log 10^{-12}\\ 6&=\log I-(-12)\\ 6&=\log I+12\\ \log I&=6-12\\ ^{10}\log I&=-6\\ I&=10^{-6} \end{aligned}$.

Jadi, intensitas bunyi mesin tersebut adalah  $10^{-6}\: \: watt/m^{2}$.

Dalam Bidang Kimia

Dalam menentukan tingkat keasamam suatu larutan adalah melihat nilai pH-nya. Nilai pH (power of Hydrogen) ini tergantung dengan tingkat konsentrasi dari ion hidrogen dalam larutan. Misal diketahui konsentrasi ion hidrogen $\left [ \textrm{H}^{+} \right ]$ dalam satuan M (molaritas) adalah $6,6\times 10^{-7}$. Jika formulasi pH adalah $\textrm{pH}=-\log \left [ \textrm{H}^{+} \right ]$, maka pH dari larutan tersebut adalah:

$\begin{aligned}\textrm{pH}&=-\log \left [ \textrm{H}^{+} \right ]\\ &=-\log \left ( 6,6\times 10^{-7} \right )\\ &=-\left ( \log 6,6-7 \right )\\ &=-\left ( 0,8195-7 \right )\\ &=6,1805\\ &\approx 6,2 \end{aligned}$.

Jadi, pH larutan tersebut adalah 6,2.

Masih dalam bidang kimia, dalam hal ini adalah proses peluruhan zat. Misalkan formulasi untuk menentukan jumlah zat pada saat $t$ adalah sebagai berikut:

$N_{t}=N_{0}e^{-rt}$.

dengan:

$\begin{aligned} N_{t}&=\textrm{jumlah setelah}\: \: t\\ N_{0}&=\textrm{jumlah zat semula}\\ e&=\color{blue}2,71828...\\ &\quad\textrm{bilangan pokok logaritma natural}\\ r&=\textrm{laju peluruhan}\\ t&=\textrm{waktu yang dibutuhkan} \end{aligned}$.

untuk materi tentang bilangan logaritma natural silahkan klik di sini.

$\begin{array}{ll} &\textrm{Terdapat sejumlah zat}\: \: N_{0}.\: \textrm{Dalam 3 tahun}\\ &\textrm{Jumlah zat kimia tersebut menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}N_{0}\\ &\textrm{Tentukan waktu yang dibutuhkan agar}\\ &\textrm{jumlah zat menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{4}N_{0}\: \: \textrm{nya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: N_{t}=N_{0}e^{-rt}\\ &\textrm{Karena}\: \: N_{t}=\displaystyle \frac{1}{2}N_{0},\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}N_{0}=N_{0}e^{-rt}\\ &\quad \displaystyle \frac{1}{2} \: =e^{-r(3)}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{2}=\ln e^{-3r}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{2}=-3r\ln e=-3r\\ &\quad r\: \, =-\displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{1}{2}}{3}\\ &\quad r\: \, =0,23104906\\ &\textrm{Agar menjadi}\: \: \displaystyle \frac{1}{4}N_{0},\: \: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{4}N_{0}=N_{0}e^{-rt}=N_{0}e^{-0,23104906t}\\ &\quad \displaystyle \frac{1}{4}=e^{-0,2310490t}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{4}=\ln e^{-0,2310490t}\\ &\ln \displaystyle \frac{1}{4}={-0,2310490t}.\ln e={-0,2310490t}\\ &\quad t\: \: =\displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{1}{4}}{-0,23104906}\\ &\qquad =6,000000005 \end{aligned} \end{array}$.

Jadi, agar jumlah zat menjadi seperempatnyua dibutuhkan waktu lebih dari 6 tahun.

Catata:

Berikut link materi tentang konstanta e klik di sini dan di sini

Dalam Bidang Pembelajaran Matematika

Misalkan dalam pembelajaran matematika di tingkat SMA/MA ketika membahas mengenai perpangkatan suatu bilangan, jika sesorang diminta menentukan pangkat suatu bilangan yang menghasilkan bilangan bukan bilangan kuadrat pangkat. 

$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Seorang siswa Kelas X suatu MA diminta}\\ &\textrm{menentukan pangkat dari sebuah persoalan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 8}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 7}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Kedua pertanyyan di atas jika dimodel dalam}\\ &\textrm{model matematika menjadi}:\: \: 2^{x}=...\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{dengan cara tidak terlalu sulit seorang siswa}\\ &\textrm{akan segera menemukan jawabannya yaitu 3}\\ &\textrm{berikut prosesnya}\\ &\color{red}2^{x}=8\Leftrightarrow 2^{x}=2^{3}\Leftrightarrow x=3 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Mungkin siswa yang belum pernah mendapatkan}\\ &\textrm{materi logaritma hanya akan mencoba-coba}\\ &\textrm{beberapa bilangan dengan cara menduga-duga}\\ &\textrm{saja. Tetapi bagi yang sudah paham konsep}\\ &\textrm{logaritma tidak akan menenukan banyak kendala}.\\ &\textrm{berikut menurut konsep logaritma}:\\ &2^{x}=7\\ &\textrm{masing-masing ruas di-logkan didepan angkanya}\\ &\Leftrightarrow \, \log 2^{x}=\log 7\\ &\Leftrightarrow \, x.\, \log 2=\log 7\\ &\Leftrightarrow \, x=\displaystyle \frac{\log 7}{\log 2}=\frac{0,8451}{0,301}\approx 2,81\\ &\textrm{Jadi, siswa akan dengan mudah dan terarah menjawab}\\ &\textrm{dengan jawaban}\: \: 2,81\: \: \textrm{dengan angak 2 desimal} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Budhi, W. S. 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
2. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
3. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Persamaan Logaritma 5

E. Persamaan Logaritma Bentuk  $A\left (^{a}\log f(x) \right )^{2}+B\: \left (^{a}\log f(x) \right )+C=0$.

Himpunan penyelesaian dari bentuk ini adalah kurang lebih sama dengan persamaan kuadrat, baik dengan cara dimisalkan terlebih dahulu ataupun tidak, 

Jika dimisalkan, maka bentuknya akan semakin sederhana dan dan lebih efektif.

Adapun solusi dari persamaan kuadrat sendiri adalah:

1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna
3. rumus abc

Catatan : Syarat numerus dan basisnya mengikuti, yaitu untuk numerus harus positif dan basisnya selain harus positif juga tidak boleh sama dengan 1.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( ^{2}\log x \right )^{2}-6\left ( ^{2}\log x \right )+8=0\\ &\textrm{b}.\quad 2\, ^{3}\log ^{2}x+2\, ^{3}\log x-12=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\color{red}\textrm{Dengan tanpa pemisalan}\\ &\left ( ^{2}\log x \right )^{2}-6\left ( ^{2}\log x \right )+8=0\\ &\Leftrightarrow \: \: \left ( ^{2}\log x-2 \right )\left ( ^{2}\log x-4 \right )=0\\ &\Leftrightarrow \: \: ^{2}\log x=2\: \: \textrm{atau}\: \: ^{2}\log x=4\\ &\Leftrightarrow \: \: x=2^{2}=4\: \: \textrm{atau}\: \: x=2^{4}=16\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{blue}\left \{ 4,16 \right \}\\ \textrm{b}.\quad&\color{red}\textrm{Dengan tanpa pemisalan juga}\\ &2\, ^{3}\log ^{2}x+2\, ^{3}\log x-12=0\\ & ^{3}\log ^{2}x+ ^{3}\log x-6=0\\ &\Leftrightarrow \: \: \left ( ^{3}\log x+3 \right )\left ( ^{3}\log x-2 \right )=0\\ &\Leftrightarrow \: \: ^{3}\log x=-3\: \: \textrm{atau}\: \: ^{3}\log x=2\\ &\Leftrightarrow \: \: x=3^{-3}=\displaystyle \frac{1}{27}\: \: \textrm{atau}\: \: x=3^{2}=9\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{blue}\left \{ \displaystyle \frac{1}{27},9 \right \}\\ \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \left ( \log x \right )^{2}-6\left ( \log x \right )+8=0\\ &\textrm{b}.\quad \left ( \log x \right )^{2}- \log x^{3} -10=0\\ &\textrm{c}.\quad \left ( ^{3}\log x \right )^{2}+2\left (^{3} \log x \right )-3=0\\ &\textrm{d}.\quad ^{5}\log ^{2}x-\, ^{5}\log x^{4}+\, ^{5}\log 125=0\\\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.

Persamaan Logaritma 4

 D. Persamaan Logaritma Bentuk  $^{h(x)}\log f(x)=\: ^{h(x)}\log g(x)$.

Syarat penyelesaian dari bentuk:

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: ^{h(x)}\log f(x)=\, ^{h(x)}\log g(x)\\ &\textrm{dengan}\: \: f(x)\: \: \textrm{dan}\: \: g(x)\: \: \textrm{keduanya positif}\\ &\textrm{serta}\: \: h(x)>0,\: \: \textrm{dan}\: \: h(x)\neq 1,\\ &\textrm{maka}\: \: f(x)=g(x) \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\textbf{atau}\\ &\textrm{Pernyataan}\: \: \color{red}^{h(x)}\log f(x)=\, ^{h(x)}\log g(x)\\ &\textrm{akan bernilai benar jika}\\ &(1)\quad \color{blue}h(x)>0,\: \: h(x)\neq 1\\ &(2)\quad \color{blue}f(x)>0,\: g(x)>0\\ &(3)\quad \color{blue}f(x)=g(x)\end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{x}\log (2x-3)= \, ^{x}\log (x-1)\\ &\textrm{b}.\quad ^{x}\log (2x^{2}+11x-6)=\, ^{x}\log (x^{2}+10x)\\ &\textrm{c}.\quad ^{x}\log (x-1)+\displaystyle \frac{1}{^{x+6}\log x}=2+\, \displaystyle \frac{1}{^{2}\log x}\\ &\textrm{d}.\quad ^{2x-1}\log (x^{3}+3x^{2}-4x-1)=\, ^{2x-1}\log (2x^{2}+3)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textbf{a}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{x}\log (2x-3)=\, ^{x}\log (x-1)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0, \: h(x)\neq 1&x>0\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}2x&-3>0\\ \Leftrightarrow \: \: &2x>3\\ \Leftrightarrow \: \: &x>\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}x-&1>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>1 \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{3}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad 2x-3=x-1\\ &\Leftrightarrow \quad 2x-x=3-1\\ &\Leftrightarrow \quad x=2\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{3}{2},\\ & \textrm{maka nilai}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{b}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{x}\log (2x^{2}+11x-6)=\, ^{x}\log (x^{2}+10)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0,\: h(x)\neq 1&x>0\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}2x^{2}&+11x-6>0\\ \Leftrightarrow \: \: &(x+6)(2x-1)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-6\: \: \textrm{atau}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}x^{2}&+10x>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x(x+10)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-10\: \: \textrm{atau}\: \: x>0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad 2x^{2}+11x-6=x^{2}+10x\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}+x-6=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+3)(x-2)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-3\: \: \textrm{atau}\: \: x=2\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2},\\ & \textrm{maka nilai}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{c}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{x}\log (x-1)+\displaystyle \frac{1}{^{x+6}\log x}=2+\, \displaystyle \frac{1}{^{2}\log x}\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log (x-1)+\, ^{x}\log (x+6)=\, ^{x}\log x^{2}+\, ^{x}\log 2\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log (x-1)(x+6)=\, ^{x}\log 2x^{2}\\ &\Leftrightarrow \: ^{x}\log x^{2}+5x-6=\, ^{x}\log 2x^{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0,\: h(x)\neq 1&x>0\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}x^{2}&+5x-6>0\\ \Leftrightarrow \: \: &(x+6)(x-1)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-6\: \: \textrm{atau}\: \: x>1 \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}2x^{2}&>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle 1\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}+5x-6=2x^{2}\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-5x+6=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x-2)(x-3)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=3\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle 1,\\ & \textrm{maka nilai}\: \: x=2\: \: \textrm{dan}\: \: x=3\: \: \textrm{memenuhi}\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2,3 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{d}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{2x-1}\log (x^{3}+3x^{2}-4x-1)=\, ^{2x-1}\log (2x^{2}+3)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus dan bilangan pokok}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \: \: \: \: \qquad\textrm{Syarat}&\qquad \: \: \quad\textrm{hasil}\\\hline h(x)>0,\: h(x)\neq 1&2x-1>0\Leftrightarrow x>\displaystyle \frac{1}{2}\\\hline f(x)>0&\begin{aligned}x^{3}&+3x^{2}-4x-1>0\\ \bullet \: \: &\textrm{Susah difaktorkan}\\ \bullet \: \: &\textrm{gunakan uji nilai} \end{aligned}\\\hline g(x)>0&\begin{aligned}2x^{2}&+3>0\\ \bullet \: \: &a>0,\: D<0\\ \bullet \: \: &\color{red}\textbf{Definit positif} \end{aligned}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat basis/bilangan pokoknya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{3}+3x^{2}-4x-1=2x^{2}+3\\ &\Leftrightarrow \quad x^{3}+x^{2}-4x-4=0\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}(x+1)-4(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+1)(x^{2}-4)=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+1)(x+2)(x-2)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-1\: \: \textrm{atau}\: \: x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=2\\ &\textrm{Karena basisnya}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2},\\ &\textrm{maka nilai yang memenuhi hanya}\: \: x=2\: \: \textrm{saja}\\ &\textrm{dan nilai untuk numerusnya juga memenuhi}\\ &\textrm{yaitu}:\: (2)^{3}+3(2)^{2}-4(2)-1=11>0\\ &\textrm{demikian pula untuk}:\: 2(2)^{3}+3=19>0\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 2 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Penjelasan untuk jawaban 1. d  tentang definit positif  di sini dan di sini

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{x}\log (2x+3)= \, ^{x}\log (x+7)\\ &\textrm{b}.\quad ^{x}\log (x+12)- \, ^{x}\log (4x+1)=0\\ &\textrm{c}.\quad ^{x-2}\log (x^{2}-3)=\, ^{x-2}\log x\\ &\textrm{d}.\quad ^{3x-2}\log (x^{2}-2x+4)=\, ^{3x-2}\log (5-4x)\\\\ \end{array}$

Persamaan Logaritma 3

C. Persamaan Logaritma Bentuk  $^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log g(x)$.

Syarat penyelesaian dari bentuk ini adalah numerusnya harus positif serta basisnya juga harus positif dan tidak berupa angka 1.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad 2\log x=\log (x+6)\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x-3)=\log (x^{2}-3x+1)\\ &\textrm{c}.\quad ^{3}\log (x^{2}+3x+2)=\, ^{3}\log (5x+5)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textbf{a}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &2\log x=\log (x+6)\\ &\Leftrightarrow \log x^{2}=\log (x+6)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l} \begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>0 \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x+6>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>-6 \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Sehingga syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>0\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}=x+6\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-x-6=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+2)(x-3)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=3\\ &\textrm{Karena}\: \: x>0,\: \: \textrm{yang memenuhi}\: \: x=3\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 3 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{b}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &\log (2x-3)=\log (x^{2}-3x+1)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l} \begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &2x-3>0\\ \Leftrightarrow \: \: &2x>3\\ \Leftrightarrow \: \: &x>\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}-3x+1>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ \quad \: \: &\color{red}\textrm{atau}\: \: \color{black}x>\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2} \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad (2x-3)=(x^{2}-3x+1)\\ &\Leftrightarrow \quad -x^{2}+5x-4=0\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-5x+4=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x-1)(x-4)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=1\: \: \textrm{atau}\: \: x=4\\ &\textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2},\\ & \textrm{yang memenuhi adalah}\: \: x=4\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 4 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textbf{c}.\: \: \: \textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{3}\log (x^{2}+3x+2)=\, ^{3}\log (5x+5)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l}\begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}+3x+2>0\\ \Leftrightarrow \: \: &(x+1)(x+2)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x<-2\: \: \textrm{atau}\: \: x>-1 \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &5x+5>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x+1>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>-1\\ \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>-1\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}+3x+2=5x+5\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-2x-3=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x+1)(x-3)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=-1\: \: \textrm{atau}\: \: x=3\\ &\textrm{Karena}\: \: x>-1,\\ & \textrm{yang memenuhi adalah}\: \: x=3\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 3 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Catatan:

Penjelasan untuk soal no.1 b ada berkaitan dengan penentuan akar $\color{red}\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ , silahlkan Anda klik di sini

Berikut soal yang berbasis seolah-olah berbeda, tetapi setelah Anda cermati, maka Anda akan dengan mudah menentukan penyelesaiannya.

$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\, ^{0,25}\log (x-4)+\, ^{16}\log (x+2)=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ &^{0,25}\log (x-4)+\, ^{16}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow ^{.^{\frac{1}{4}}}\log (x-4)+\, ^{16}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow ^{.^{4^{-1}}}\log (x-4)+\, ^{.^{4^{2}}}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow \, -\, ^{4}\log (x-4)+\displaystyle \frac{1}{2}\: . ^{4}\log (x+2)=0\\ &\Leftrightarrow \, \displaystyle \frac{1}{2}\: . ^{4}\log (x+2)=\, ^{4}\log (x-4)\\ &\Leftrightarrow \, ^{4}\log (x+2)=2.\, ^{4}\log (x-4)\\ &\Leftrightarrow \, ^{4}\log (x+2)=\, ^{4}\log (x-4)^{2}\\ &\Leftrightarrow \, ^{4}\log (x+2)=\, ^{4}\log (x^{2}-8x+16)\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat numerus}\\ &\begin{array}{l|l} \begin{aligned}&f(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x-4>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>4 \end{aligned}&\begin{aligned}&g(x)>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x+2>0\\ \Leftrightarrow \: \: &x>-2 \end{aligned} \end{array}\\ &\textrm{Sehingga syarat numerusnya},\: \: \color{red}x>4\\ (\ast )\: \: &\color{blue}\textrm{Syarat kedua},\: \: \color{black}f(x)=g(x)\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-8x+16=x+2\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-8x-x+16-2=0\\ &\Leftrightarrow \quad x^{2}-9x+14=0\\ &\Leftrightarrow \quad (x-2)(x-7)=0\\ &\Leftrightarrow \quad x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=7\\ &\textrm{Karena}\: \: x>4,\: \: \textrm{yang memenuhi}\: \: x=7\\ (\ast )\: \: &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\color{red}\left \{ 7 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-1)=\, ^{2}\log (x+3)\\ &\textrm{b}.\quad \log x+\log 2=\log (x+2)\\ &\textrm{c}.\quad \log (x^{2}-4x-5)=\log (x-5)\\ &\textrm{d}.\quad \log (x^{2}-2x-8)=\log (3x-4)\\\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
2. Kurnia, N., dkk. 2016. Jelajah Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.

Persamaan Logaritma 2

 B. Persamaan Logaritma Bentuk  $^{a}\log f(x)=\: ^{b}\log f(x)$.

Syarat penyelesaian dari bentuk ini adalah numerusnya harus positif serta basisnya juga harus positif. Ketika basisnya berbeda, maka numerusnya cukup sama dengan 1. Hal ini dikarenakan nilai logaritma akan sama dengan 0 jika numerusnya berupa angka 1 dan basisnya bilangan positif. Sebagaimana ilustrasi contoh berikut ini

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \log (x+6)=\, ^{2}\log (x+6)\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x-3)=\, ^{3}\log (2x-3)\\ &\textrm{c}.\quad ^{4}\log (x^{2}-x+1)=\log (x^{2}-x+1)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Karena basisnya berbeda, maka cukup}\\ &\textrm{numerusnya} =1,\: \: \textrm{yaitu}:\: \: x+6=1.\\ &\textrm{Sehingga}\: \: \: x=-5\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 7 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad &\textrm{Karena basisnya berbeda, maka cukup}\\ &\textrm{numerusnya} =1,\: \: \textrm{yaitu}:\: \: 2x-3=1.\\ &\textrm{Sehingga}\: \: \: x=2\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad &\textrm{Karena basisnya berbeda, maka cukup}\\ &\textrm{numerusnya} =1,\: \: \textrm{yaitu}:\: x^{2}-x+1=1.\\ &\textrm{Sehingga}\\ &x^{2}-x=0\\ &\Leftrightarrow x(x-1)=0\\ &\Leftrightarrow x=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=1\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 0,1 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{3}\log (5x-4)=\log (5x-4)\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x-1)=\, ^{5}\log (2x-1)\\ &\textrm{c}.\quad \log (2x^{2}+6x-5)=\, ^{8}\log (2x^{2}+6x-5)\\ &\textrm{d}.\quad ^{2}\log (x^{2}-4x+6)=\log (x^{2}-4x+6)\\ \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
2. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Persamaan Logaritma 1

 A. Persamaan Logaritma Bentuk  $^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log p$.

Syarat yang harus dipenuhi numerus harus berupa bilangan positif demikian juga bilangan basisnya dan khus bilangan basisnya ketambahan syarat yang harus terpenuhi yaitu tidak boleh sama dengan 1.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad \log (4x-5)=\log 3\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\textrm{c}.\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=1\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:4x-5\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\quad 4x-5>0\Leftrightarrow x>\displaystyle \frac{5}{4}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (4x-5)=\log 3\\ &\quad \Leftrightarrow 4x-5=3\\ &\quad \Leftrightarrow 4x=8\\ &\quad \Leftrightarrow x=2\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena}\: \: x>\displaystyle \frac{5}{4},\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 2 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:2x^{2}-x\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\quad 2x^{2}-x>0\Leftrightarrow x(2x-1)>0\\ &\quad \Leftrightarrow x<0\: \: \textrm{atau}\: \: x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=\, \log 10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x=10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x-10=0\\ &\quad \Leftrightarrow (2x-5)(x+2)=0\\ &\quad \Leftrightarrow x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena nilai}\: \: x\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{syarat numerus}\: \: 2x^{2}-x>0\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=-2\: \: \textrm{dan}\: \: x=\displaystyle \frac{5}{2}\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ -2,\displaystyle \frac{5}{2} \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:x^{2}-3x+5\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\: \: \color{red}\textrm{memenuhi}.\\ &\quad x^{2}-3x+5>0\Leftrightarrow \textrm{Nilai}\: D=b^{2}-4ac>0\\ &\quad  \color{red}\textrm{artinya numerus definit positif}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=1\\ &\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=\, ^{3}\log 3\\ &\quad \Leftrightarrow x^{2}-3x+5=3\\ &\quad \Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0\\ &\quad \Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0\\ &\quad \Leftrightarrow x=1\: \: \textrm{atau}\: \: x=2\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena nilai}\: \: x\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{syarat numerus}\: \: x^{2}-3x+5>0\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=1\: \: \textrm{dan}\: \: x=2\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 1,2 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Untuk materi difinit positif silahkan klik di sini

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ & \log x+\, \log (2x-1)=1\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan di atas adalah persamaan}\\ &\textrm{logaritma model}:\: ^{a}\log f(x)=\, ^{a}\log p.\\ &\textrm{dengan bentuknya}:\\ &\qquad \color{blue}^{a}\log f_{1}(x)+\, ^{a}\log f_{2}(x)=\, ^{a}\log p\\ &\textrm{Diketahui numerus}:\\ &\qquad f_{1}(x)=x\: \: \textrm{dan}\: \: f_{2}(x)=2x-1\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\qquad \color{purple}\begin{array}{c|c} f_{1}(x)&f_{2}(x)\\\hline \begin{aligned}&x>0\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&2x-1>0\\ &2x>1\\ &x>\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}\\ &\: \quad \textrm{Sehingga syarat numerusnya}\: :\: x>\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\quad \log (2x^{2}-x)=\, \log 10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x=10\\ &\quad \Leftrightarrow 2x^{2}-x-10=0\\ &\quad \Leftrightarrow (2x-5)(x+2)=0\\ &\quad \Leftrightarrow x=-2\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\quad \textrm{syarat numerus}\: \: 2x^{2}-x>0\\ &\quad \textrm{hanya ada satu, yaitu}\: :\: x=\color{blue}\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{\displaystyle \frac{5}{2} \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Catatan:

Coba bandingkan penyelesaian no. 1.b dan no. 2, secara sifat operasi logaritma soal sama, tetapi karena spesifikasi dari numerus tiap tipe soal, maka perlakuannya berbeda.

$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{3}\log (5x-4)=2\\ &\textrm{b}.\quad \log x+\log (2x-1)=1\\ &\textrm{c}.\quad \log (2x^{2}+6x-5)=1\\ &\textrm{d}.\quad ^{2}\log (x^{2}-4x+6)=1\\ &\textrm{e}.\quad ^{2}\log (x-4)+\, ^{2}\log (x-6)=3\\\\ & \end{array}$

Logaritma

A. Pendahuluan

Silahkan kunjungi alamat ini di sini

B. Sifat-Sifat

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|}\hline \qquad\qquad\color{black}\textrm{Logaritma}\\\hline \color{black}^{a}\log b=c\: \Rightarrow \: a^{c}=b\\\hline \bullet \quad \color{black}^{a}\log x+\: ^{a}\log y=\: ^{a}\log xy\\\hline \bullet \quad \color{black}^{a}\log x-\: ^{a}\log y=\: ^{a}\log \displaystyle \frac{x}{y}\\\hline \bullet \quad ^{a}\log x=\: \displaystyle \frac{^{m}\log x}{^{m}\log a}\\\hline \bullet \quad ^{a}\log b\: \times \: ^{b}\log c=\: ^{a}\log c\\\hline \bullet \quad ^{a^{m}}\log b^{n}=\displaystyle \frac{n}{m}\times \: ^{a}\log b\\\hline \bullet \quad \displaystyle a^{\: {^{a}}\log b}=b\\\hline \bullet \quad ^{a}\log b=\displaystyle \frac{1}{^{b}\log a}\\\hline \bullet \quad ^{a}\log 1=0\\\hline \bullet \quad \color{black}^a\log a=1\\\hline \begin{cases} a\neq 0 &\\ a>0&(\textrm{bilangan pokok}) \\ x,y>0 & (\textrm{numerus}) \end{cases}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Hitunglah}\\ &\textrm{a}.\quad ^{36}\log 6\\ &\textrm{b}.\quad ^{8}\log \displaystyle \frac{1}{4}\\ &\textrm{c}.\quad ^{2}\log 3+\: ^{2}\log 12-\: ^{2}\log 9\\ &\textrm{d}.\quad ^{16}\log \sqrt[3]{25}\times \, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{4}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &^{36}\log 6=\: ^{6^{2}}\log 6^{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\times \, ^{6}\log 6\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\times \: \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{6}\log 6}}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\times 1\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{atau}\\ &^{36}\log 6=\displaystyle \frac{1}{^{6}\log 36}=\displaystyle \frac{1}{^{6^{.^{1}}}\log 6^{2}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{\frac{2}{1}\times \, \color{black}^{6}\log 6}\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2\times 1}\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2} \\ \textrm{b}.\quad &^{8}\log 4=\: ^{2^{3}}\log 2^{2}=\displaystyle \frac{2}{3}\times \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{2}\log 2}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{2}{3}\times 1\color{black}=\color{red}\displaystyle \frac{2}{3}\\ \end{aligned} \\ &\begin{aligned} \textrm{c}.\quad &^{2}\log 3+\: ^{2}\log 12-\: ^{2}\log 9\\ &=\: ^{2}\log \color{blue}\left ( \displaystyle \frac{3\times 12}{9} \right )\color{black}=\: ^{2}\log \color{blue}\displaystyle \frac{36}{9}\\ &=\: ^{2}\log \color{blue}4\color{black}=\: ^{2}\log \color{blue}2^{2}\color{black}=\color{blue}2\color{black}\times \, \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{2}\log 2}}\\ &=\color{red}2\times 1\color{black}=\color{red}2\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{d}.\quad &^{16}\log \sqrt[3]{25}\times \, ^{5}\log \displaystyle \frac{1}{4}\\ &=\: ^{4^{.^{2}}}\log 5^{.^{\frac{2}{3}}}\times \: ^{.5^{.^{1}}}\log 4^{-1}\\ &=\left (\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{2}{3} \right )}{2}\times \, ^{4}\log 5 \right )\times \left (\displaystyle \frac{-1}{1}\times \: ^{5}\log 4 \right )\\ &=\: \color{red}\displaystyle \frac{1}{3}\times -1\color{black}\times \, ^{4}\log 5\times \, ^{5}\log 4\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3}\times \, \color{black}^{4}\log 4,\qquad \color{blue}(\textrm{ingat})\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3}\times \color{black}\underset{\color{red}1}{\underbrace{^{4}\log 4}}\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3}\times 1\\ &=\color{red}-\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned} \end{array}$.

C. Persamaan Logaritma

Bentuk-bentuk persamaan logaritma secara umum adalah persamaan dengan numerus ataupun bilangan basis/pokok yang memuat variabel x.

$\begin{aligned}1.\quad &^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log p\\ 2.\quad&^{a}\log f(x)=\: ^{b}\log f(x)\\ 3.\quad &^{a}\log f(x)=\: ^{a}\log g(x)\\ 4.\quad &^{h(x)}\log f(x)=\: ^{h(x)}\log g(x)\\ 5.\quad&A\left (^{a}\log f(x) \right )^{2}+B\: \left (^{a}\log f(x) \right )+C=0\\ \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Hitunglah}\\ &\textrm{a}.\quad \log (x-5)=\log 3\\ &\textrm{b}.\quad \log (2x^{2}-x)=1\\ &\textrm{c}.\quad ^{3}\log (x^{2}-3x+5)=1\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Yang dibahas hanya no.2a, yaitu}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Diketahui numerus}:x-5\\ &\textrm{1. Syarat numerus}:\: f(x)>0\\ &\quad x-5>0\Leftrightarrow x>5\\ &\textrm{2. Persamaan}\\ &\quad \log (x-5)=\log 3\\ &\quad \Leftrightarrow x-5=3\\ &\quad \Leftrightarrow x=8\\ &\textrm{3. Simpulan}\\ &\quad \textrm{Karena}\: \: x>5,\\ &\quad \textrm{maka}\: \: x=8\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\quad \textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ 8 \right \} \end{aligned} \end{array}$.

Contoh Soal 9 Fungsi Logaritma (Pemecahan Masalah Olimpiade)

$\begin{array}{ll}\\ 41.&\textrm{Jika}\: \: x=\: ^{15}\log 75\: \: \textrm{dan}\: \: y=\: ^{\displaystyle ^{\frac{3}{5}}}\log \displaystyle \frac{9}{125},\\ &\textrm{maka nilai}\: \: 5x+3y-2xy\: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\color{blue}\textrm{KOMPETISI HARDIKNAS ONLINE}\\ &\color{blue}\textrm{POSI}(\textrm{Pelatihan Olimpiade Sain Indonesia})\\ &\color{blue}\textrm{Bidang Matematika 2020}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-1\\ \textrm{b}.&1\\ \textrm{c}.&3\\ \textrm{d}.&5\\ \color{red}\textrm{e}.&7 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\color{black}5x+3y-2xy\\ &=5\left ( ^{15}\log 75 \right )+3\left ( ^{\displaystyle ^{\frac{3}{5}}}\log \displaystyle \frac{9}{125} \right )\\ &\qquad -2\left ( ^{15}\log 75 \right )\left ( ^{\displaystyle ^{\frac{3}{5}}}\log \displaystyle \frac{9}{125} \right )\\ &=5\left ( \displaystyle \frac{\log 75}{\log 15} \right )+3\left ( \displaystyle \frac{\log \displaystyle \frac{9}{125}}{\log \displaystyle \frac{3}{5}} \right )\\ &\qquad -2\left ( \displaystyle \frac{\log 75}{\log 15} \right )\left ( \displaystyle \frac{\log \displaystyle \frac{9}{125}}{\log \displaystyle \frac{3}{5}} \right )\\ &=5\left ( \displaystyle \frac{\log 3.5^{2}}{\log 3.5} \right )+3\left ( \displaystyle \frac{\log -\log 125}{\log 3-\log 5} \right )\\ &\qquad -2\left ( \displaystyle \frac{\log 3.5^{2}}{\log 3.5} \right )\left ( \displaystyle \frac{\log 9-\log 125}{\log 3-\log 5} \right )\\ &=5\left ( \displaystyle \frac{\log 3+\log 5^{2}}{\log 3-\log 5} \right )+3\left ( \displaystyle \frac{\log 3^{2}-\log 5^{3}}{\log 3-\log 5} \right )\\ &\qquad -2\left ( \displaystyle \frac{\log 3+\log 5^{2}}{\log 3+\log 5} \right )\left ( \displaystyle \frac{\log 3^{2}-\log 5^{3}}{\log 3-\log 5} \right )\\ &=5\left ( \displaystyle \frac{\log 3+2\log 5}{\log 3-\log 5} \right )+3\left ( \displaystyle \frac{2\log 3-3\log 5}{\log 3-\log 5} \right )\\ &\qquad -2\left ( \displaystyle \frac{\log 3+2\log 5}{\log 3+\log 5} \right )\left ( \displaystyle \frac{2\log 3-3\log 5}{\log 3-\log 5} \right )\\\\ &\color{red}\textrm{Misalkan}\: \: \color{black}\log 3=A,\: \: \log 5=B \end{aligned} \end{array}$

$.\qquad\color{purple}\begin{aligned} &\color{red}\textrm{Selanjutnya}\\ &=5\left ( \displaystyle \frac{A+2B}{A+B} \right )+3\left ( \displaystyle \frac{2A-3B}{A-B} \right )\\ &\qquad -2\left ( \displaystyle \frac{A+2B}{A+B} \right )\left ( \displaystyle \frac{2A-3B}{A-B} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{5A+10B}{A+B} \right )+\left ( \displaystyle \frac{6A-9B}{A-B} \right )\\ &\qquad -\left ( \displaystyle \frac{2A+4B}{A+B} \right )\left ( \displaystyle \frac{2A-3B}{A-B} \right )\\ &=\displaystyle \frac{(5A+10B)(A-B)+(6A-9B)(A+B)}{A^{2}-B^{2}}\\ &\qquad -\left (\displaystyle \frac{4A^{2}-6AB+8AB-12B^{2}}{A^{2}-B^{2}} \right )\\ &=\displaystyle \frac{5A^{2}-5AB+10AB-10B^{2}}{A^{2}-B^{2}}\\ &\quad +\displaystyle \frac{6A^{2}+6AB-9AB-9B^{2}}{A^{2}-B^{2}}\\ &\qquad -\left (\displaystyle \frac{4A^{2}-6AB+8AB-12B^{2}}{A^{2}-B^{2}} \right )\\ &=\displaystyle \frac{7A^{2}-7B^{2}}{A^{2}-B^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{7\left ( A^{2}-B^{2} \right )}{A^{2}-B^{2}}\\ &=7 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 42.&\textrm{Diberikan}\: \: A=\: ^{6}\log 16\: \: \textrm{dan}\: \: B=\: ^{12}\log 27\\ &\textrm{Terdapat bilangan-bilangan bulat positif}\\ &a,\: b,\: \: \textrm{dan}\: \: c\: \: \textrm{sehingga}\: \: (A+a)(B+b)=c\\ &\textrm{Nilai dari}\: \: a+b+c\: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\color{blue}\textrm{KOMPETISI HARDIKNAS ONLINE}\\ &\color{blue}\textrm{POSI}(\textrm{Pelatihan Olimpiade Sain Indonesia})\\ &\color{blue}\textrm{Bidang Matematika 2020}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&23\\ \textrm{b}.&24\\ \textrm{c}.&27\\ \textrm{d}.&30\\ \textrm{e}.&34 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{....}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\color{black}\textrm{Diketahui}\\ &A=\: ^{6}\log 16=\displaystyle \frac{\log 16}{\log 6}=\displaystyle \frac{\log 2^{4}}{\log 2.3}=\frac{4\log 2}{\log 2+\log 3}\\ &\Leftrightarrow \color{black}\log 2+\log 3=\displaystyle \frac{4\log 2}{A}\: ...........\color{red}(1)\\ &B=\: ^{12}\log 27=\displaystyle \frac{\log 27}{\log 12}=\frac{\log 3^{3}}{\log 2^{2}.3}=\frac{3\log 3}{2\log 2+\log 3}\\ &\Leftrightarrow \color{black}2\log 2+\log 3=\displaystyle \frac{3\log 3}{B}\: .........\color{red}(2)\\ &\color{black}\textrm{ELIMINASI}\\ &\textrm{Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh}:\\ &\bullet \quad \log 2=\displaystyle \frac{3\log 3}{B}-\displaystyle \frac{4\log 2}{A}\\ &\qquad \Leftrightarrow \log 2=\displaystyle \frac{3A\log 3-4B\log 2}{AB}\\ &\qquad \Leftrightarrow AB\log 2=3A\log 3-4B\log 2\\ &\qquad \Leftrightarrow AB\log 2+4B\log 2=3A\log 3\\ &\qquad \Leftrightarrow (AB+4B)\log 2=3A\log 3\\ &\qquad \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\log 2}{\log 3}=\color{purple}\displaystyle \frac{3A}{AB+4B}\: ..........\color{red}(3)\\ &\bullet \quad \log 3=\displaystyle \frac{8\log 2}{A}-\displaystyle \frac{3\log 3}{B}\\ &\qquad \Leftrightarrow \log 3=\displaystyle \frac{8B\log 2-3A\log 3}{AB}\\ &\qquad \Leftrightarrow AB\log 3=8B\log 2-3A\log 3\\ &\qquad \Leftrightarrow AB\log 3+3A\log 3=8B\log 2\\ &\qquad \Leftrightarrow (AB+3A)\log 3=8B\log 2\\ &\qquad \Leftrightarrow \frac{\log 2}{\log 3}=\color{purple}\displaystyle \frac{AB+3A}{8B}...........\color{red}(4)\\ &\color{black}\textrm{KESAMAAN}\\ &\qquad\quad \frac{\log 2}{\log 3}=\frac{\log 2}{\log 3}\\ &\color{purple}\displaystyle \frac{AB+3A}{8B}=\color{purple}\displaystyle \frac{3A}{AB+4B}\\ &\qquad \Leftrightarrow (AB+3A)(AB+4B)=(8B).(3A)\\ &\qquad \Leftrightarrow (B+3)(A+4)=24\\ &\qquad \Leftrightarrow (A+4)(B+3)=24\\ &\color{black}\textrm{KESIMPULAN}\\ &a=4,\: b=3,\: \: \textrm{dan}\: \: c=24,\\ &\color{purple}\textrm{maka}\: \: \color{black}a+b+c=4+3+24=\color{red}31 \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal 7 Fungsi Logaritma (Pertidaksamaan Logaritma)

 $\begin{array}{ll}\\ 32.&\textrm{Agar}\: \: \log \left ( x^{2}-1 \right )<0\: \: \textrm{maka}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-1<x<1\\ \textrm{b}.&-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\\ \textrm{c}.&x<-1\: \: \textrm{atau}\: \: x>1\\ \textrm{d}.&x<-\sqrt{2}\: \: \textrm{atau}\: \: x>\sqrt{2}\\ \color{red}\textrm{e}.&-\sqrt{2}<x<-1\: \: \textrm{atau}\: \: 1<x<\sqrt{2} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{e}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\log \left ( x^{2}-1 \right )<0\\ &\textrm{Diketahui}\: \: \color{red}\log f(x)<0,\: \: \color{blue}\textrm{maka}\\ &\color{purple}\textrm{Syarat (1)},\: \: \color{red}f(x)>0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-1>0\\ &\Leftrightarrow x<-1\: \: \textrm{atau}\: \: x>1\\ &\color{purple}\textrm{Syarat (2)},\: \: \log \left ( x^{2}-1 \right )<0\\ &\log \left ( x^{2}-1 \right )<\log 1\\ &\Leftrightarrow x^{2}-1<1\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2<0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}<0\\ &\Leftrightarrow -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \color{red}-\sqrt{2}<x<-1\: \: \textrm{atau}\: \: 1<x<\sqrt{2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 33.&\textrm{Himpunan penyelesaian dari}\\ &^{.^{\frac{1}{2}}}\log \left ( x^{2}-3 \right )>0 \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \color{red}\textrm{a}.&\left \{ x|-2<x<-\sqrt{3}\: \: \textrm{atau}\: \: \sqrt{3}<x<2 \right \}\\ \textrm{b}.&\left \{ x|-\sqrt{3}<x<-1\: \: \textrm{atau}\: \: \sqrt{3}<x<2 \right \}\\ \textrm{c}.&\left \{ x|-2<x<-\sqrt{3} \right \}\\ \textrm{d}.&\left \{ x|-2<x<-\sqrt{3} \right \}\\ \textrm{e}.&\left \{ x|\sqrt{3}<x<2 \right \} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{a}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&^{.^{\frac{1}{2}}}\log \left ( x^{2}-3 \right )>0\\ &\textrm{Diketahui}\: \: \color{red}^{.^{\frac{1}{2}}}\log f(x)>0,\: \: \color{blue}\textrm{maka}\\ &\color{purple}\textrm{Syarat (1)},\: \: \color{red}f(x)>0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-3>0\\ &\Leftrightarrow x<-\sqrt{3}\: \: \textrm{atau}\: \: x>\sqrt{3}\\ &\color{purple}\textrm{Syarat (2)},\: \: ^{.^{\frac{1}{2}}}\log \left ( x^{2}-3 \right )>0\\ &^{.^{\frac{1}{2}}}\log \left ( x^{2}-3 \right )>\: ^{.^{\frac{1}{2}}}\log 1\\ &\Leftrightarrow x^{2}-3<1\quad \left (\color{black}\textrm{karena basisnya}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}<1 \right )\\ &\Leftrightarrow x^{2}-4<0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2^{2}>0\\ &\Leftrightarrow -2<x<2\\ &\textrm{Jadi},\: \: \color{red}-2<x<-\sqrt{3}\: \: \textrm{atau}\: \: \sqrt{3}<x<2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 34.&\textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &^{2}\log \left ( x^{2}-x \right )\leq 1 \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&x<0\: \: \textrm{atau}\: \: x>1\\ \textrm{b}.&-1\leq x\leq 2,\: x\neq 1\: \: \textrm{atau}\: \: x\neq 0\\ \color{red}\textrm{c}.&-1\leq x< 0\: \: \textrm{atau}\: \: 1<x\leq 2\\ \textrm{d}.&-1< x\leq 0\: \: \textrm{atau}\: \: 1\leq x< 2\\ \textrm{e}.&-1\leq x\leq 0\: \: \textrm{atau}\: \: 1\leq x\leq 2 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&^{2}\log \left ( x^{2}-x \right )\leq 1\\ &\textrm{Diketahui}\: \: \color{red}^{2}\log f(x)>0,\: \: \color{blue}\textrm{maka}\\ &\color{purple}\textrm{Syarat (1)},\: \: \color{red}f(x)>0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x>0\Leftrightarrow x(x-1)>0\\ &\Leftrightarrow x<0\: \: \textrm{atau}\: \: x>1\\ &\color{purple}\textrm{Syarat (2)},\: \: ^{2}\log \left ( x^{2}-x \right )\leq 1\\ &^{2}\log \left ( x^{2}-x \right )\leq \: ^{2}\log 2\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x\leq 2\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x-2\leq 0\\ &\Leftrightarrow (x+1)(x-2)\leq 0\\ &\Leftrightarrow -1\leq x\leq 2\\ &\textrm{Jadi},\: \: \color{red}-1\leq x< 0\: \: \textrm{atau}\: \: 1<x\leq 2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 35.&\textrm{Nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi}\\ &\left | \log (x+1) \right |> 1 \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&x<-0,9\: \: \textrm{atau}\: \: x>9\\ \textrm{b}.&x<-9\: \: \textrm{atau}\: \: x>9\\ \color{red}\textrm{c}.&-1<x<-0,9\: \: \textrm{atau}\: \: x>9\\ \textrm{d}.&-9< x<0,9\\ \textrm{e}.&-0,9<x<9 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \color{red}\textbf{c}\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\textrm{Ingat bahwa}\\ &\left | x \right |>A\Leftrightarrow \color{black}x<-A\: \: \textrm{atau}\: \: x>A,\: \: \color{red}A>0\\ &\Leftrightarrow \log (x+1)<-1\: \: \textrm{atau}\: \: \log (x+1)>1\\ &\color{red}\textrm{Syarat (1) buat keduanya},\: \: \color{red}f(x)>0\\ &(x+1)>0\Leftrightarrow x>-1\\ &\color{red}\textrm{Syarat (2)},\: \: \log \left ( x+1 \right )<-1\\ &\log (x+1)<\log 10^{-1}\\ &x+1<\displaystyle \frac{1}{10}\Leftrightarrow x<-\frac{9}{10}\\ &\color{red}\textrm{Syarat (3)},\: \: \log \left ( x+1 \right )> 1\\ &\log (x+1)>\log 10^{1}\\ &(x+1)>10\Leftrightarrow x>9\\ &\textrm{Jadi},\: \: \color{red}-1<x<-0,9\: \: \textrm{atau}\: \: x>9 \end{aligned} \end{array}$

Lanjutan Materi Fungsi Logaritma (Kelas X Matematika Peminatan)

 MENGINGAT KEMBALI

$\color{blue}\textrm{E. Sifat-Sifat Eksponen dan Logaritma}$

$\color{blue}\textrm{E.1  Persamaan Eksponen dan Logaritma}$

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|}\hline  \color{red}\textrm{Eksponens}&\color{black}\textrm{Logaritma}\\\hline \displaystyle a^{n}=\underset{n\: \: faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}}&\color{black}^{a}\log b=c\: \Rightarrow \: a^{c}=b\\\hline \bullet \quad a^{p}\times a^{q}=a^{p+q}&\bullet \quad \color{black}^{a}\log x+\: ^{a}\log y=\: ^{a}\log xy\\\hline \bullet \quad a^{p}: a^{q}=a^{p-q}&\bullet \quad \color{black}^{a}\log x-\: ^{a}\log y=\: ^{a}\log \displaystyle \frac{x}{y}\\\hline \bullet \quad \left ( a^{p} \right )^{q}=a^{p.q}&\bullet \quad ^{a}\log x=\: \displaystyle \frac{^{m}\log x}{^{m}\log a}\\\hline \bullet \quad \displaystyle \sqrt[q]{a^{p}}=\displaystyle a^{ \left (\frac{p}{q} \right )}&\bullet \quad ^{a}\log b\: \times \: ^{b}\log c=\: ^{a}\log c\\\hline \bullet \quad \left ( a\times b \right )^{p}=a^{p}\: \times \: b^{p}&\bullet \quad ^{a^{m}}\log b^{n}=\displaystyle \frac{n}{m}\times \: ^{a}\log b\\\hline \bullet \quad \left ( \displaystyle \frac{a}{b} \right )^{p}=\displaystyle \frac{\displaystyle a^{p}}{\displaystyle b^{p}}&\bullet \quad \displaystyle a^{\: {^{a}}\log b}=b\\\hline \bullet \quad a^{-p}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle a^{p}}&\bullet \quad ^{a}\log b=\displaystyle \frac{1}{^{b}\log a}\\\hline \bullet \quad a^{0}=1,\: \: \: \: \: a\neq 0&\bullet \quad ^{a}\log 1=0\\\hline \bullet \quad a^{1}=1&\bullet \quad \color{black}^a\log a=1\\\hline \begin{cases} a,b\: \in \mathbb{R} \\ p,q\: \in \mathbb{Q} \end{cases}&\begin{cases} a\neq 0 &\\ a>0&(\textrm{bilangan pokok}) \\ x,y>0 & (\textrm{numerus}) \end{cases}\\\hline \end{array}$

Selanjutnya

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\qquad\textrm{Bentuk}&\qquad\qquad\color{red}\textrm{Syarat}\\\hline 1.&a^{f(x)}=1&a\neq 0,\quad \textrm{maka}\: \: \color{red}f(x)=0\\\hline 2.&a^{f(x)}=a^{p}&a>0,\: \: a\neq 1,\quad \textrm{maka}\: \: \color{red}f(x)=p\\\hline 3.&a^{f(x)}=a^{g(x)}&a>0,\: \: a\neq 1,\quad \textrm{maka}\: \: \color{red}f(x)=g(x)\\\hline 4.&a^{f(x)}=b^{f(x)}&a\neq 0,\: b\neq 0\: ,\quad \textrm{maka}\: \: \color{red}f(x)=0\\\hline 5.&f(x)^{g(x)}=1&\begin{cases} f(x)=1 & \\ g(x)=0, & \textrm{jika}\: \: f(x)\neq 0 \\ f(x)=-1, & \textrm{jika}\: \: g(x)=\: \textrm{genap} \end{cases}\\\hline 6.&\color{black}f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}&\color{red}\begin{cases} (i).\quad g(x)=h(x)& \\ (ii).\quad f(x)=1& \\ (iii).\quad f(x)=0,&g(x)>0,\: \: h(x)>0 \\ (iv).\quad f(x)=-1,&g(x)\: \textrm{dan}\: h(x)\: \: \\ &\color{black}\textrm{keduanya ganjil}\\ &\color{black}\textrm{atau genap} \end{cases}\\\hline 7.&g(x)^{f(x)}=h(x)^{f(x)}&\begin{cases} (i).\quad g(x) =h(x)& \\ (ii).\quad f(x)=0, & g(x)\neq 0,\: h(x)\neq 0 \end{cases}\\\hline 8.&\begin{aligned}&\color{black}A\left ( a^{f(x)} \right )^{2}\\ &\quad \color{black}+B\left ( a^{f(x)} \right )\\ &\qquad \color{black}+C=0 \end{aligned}&\color{red}a>0,\: \: a\neq 1\\\hline \end{array}$

$\color{blue}\textrm{E.2  Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma}$

Berikut sifat pertidaksamaan Eksponen

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|}\hline \qquad\qquad \color{red}a>1&\qquad\qquad \color{black}0<a<1\\\hline a^{f(x)}\leq a^{g(x)}\Rightarrow f(x)\leq g(x)&a^{f(x)}\leq a^{g(x)}\Rightarrow f(x)\geq g(x)\\\hline a^{f(x)}< a^{g(x)}\Rightarrow f(x)< g(x)&a^{f(x)}< a^{g(x)}\Rightarrow f(x)> g(x)\\\hline a^{f(x)}\geq a^{g(x)}\Rightarrow f(x)\geq g(x)&a^{f(x)}\geq a^{g(x)}\Rightarrow f(x)\leq g(x)\\\hline a^{f(x)}> a^{g(x)}\Rightarrow f(x)> g(x)&a^{f(x)}> a^{g(x)}\Rightarrow f(x)< g(x)\\\hline \end{array}$

Untuk pertidaksamaan logaritma (dengan syarat  $\left (f(x)>0\: \: \textrm{dan}\: \: g(x)>0 \right )$ ) adalah sebagai berikut:

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|}\hline \qquad\qquad \color{red}a>1&\qquad \color{black}0<a<1\\\hline \begin{aligned}&^a\log f(x)\leq \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)\leq g(x) \end{aligned}&\begin{aligned}&^a\log f(x)\leq \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)\geq g(x) \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&^a\log f(x)< \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)< g(x) \end{aligned}&\begin{aligned}&^a\log f(x)< \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)> g(x) \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&^a\log f(x)\geq \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)\geq g(x) \end{aligned}&\begin{aligned}&^a\log f(x)\geq \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)\leq g(x) \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&^a\log f(x)> \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)> g(x) \end{aligned}&\begin{aligned}&^a\log f(x)> \: ^a\log g(x)\\ &\Rightarrow f(x)< g(x) \end{aligned}\\\hline \end{array}$