Tampilkan postingan dengan label Logarithmic Functions. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Logarithmic Functions. Tampilkan semua postingan

Trik Menyelesaikan Soal Persamaan yang Melibatkan Bentuk Gabungan Eksponen dan Logaritma

Terkadang beberapa soal pada akhir semester gasal dimunculkan soal yang melibatkan bentuk ekponen dan logaritma sekaligus dalam sebuah persamaan. Bentuk soal yang dihadapi para siswa pada suatu waktu tidak hanya fokus pada satu pokok bahasan saja, terkadang tersaji soal yang menuntut siswa untuk mengkombinasikan konsep-konsep yang telah disampaikan dan diajarkan oleh para guru dan pembimbing. Berawal dari sana, di bagian ini dipaparkan beberapa soal yang yang dimaksudkan dengan harapan siswa lebih terbiasa dalam menghadapi tipe soal yang tersaji demikian.

Soal pertama saya pilihkan ada di blog ini, berikut tautannya klik di sini

1.(UMPTN '94)Hasil kali akar-akar persamaan3logx.(2+3logx)=15adalah....a.19b.13c.1d.3e.9Jawab:a3logx.(2+3logx)=15(2+3logx)3logx15=023logx+(3logx)215=0(3logx)2+23logx15=0(3logx1+5)(3logx23)=03logx1+5=0atau3logx13=03logx1=5atau3logx2=3x1=35ataux2=33makax1×x2=35×33=35+3=32=132=19.

Soal kedua juga saya pilihkan ada di blog ini, tautannya klik di sini

2.Persamaan102logx27(102logx)+10=0mempunyai dua akar yaitux1danx2Nilaix1×x2=....a.2b.5c.2d.5e.10Jawab:c102logx27(102logx)+10=01022logx7(102logx)+10=0adalah persamaan kuadrat dalam102logxMisalkanp=102logx,maka persamaanmenjadip27p+10=0{a=1b=7c=10Karena nilaip1×p2=camaka102logx1×102logx2=101=10102logx1+2logx2=10102logx1+2logx2=1012logx1+2logx2=12logx1×x2=1x1×x2=21=2.

3.Hasil kali semua akar real persamaan 10(x2x+4).log(x2x+4)=(x2x+4)32adalah....UM UGM 2016 Mat IPAa.18b.6c.1d.6e.18Jawab:b10(x2x+4).log(x2x+4)=(x2x+4)32log10(x2x+4).log(x2x+4)=log(x2x+4)32log10+log(x2x+4).log(x2x+4)=32log(x2x+4)log10.12+log(x2x+4).log(x2x+4)=32log(x2x+4)12+log(x2x+4)×log(x2x+4)=32log(x2x+4)12+log2(x2x+4)=32log(x2x+4)misalkanlog(x2x+4)=p,maka12+p2=32p2p23p+1=0(p1)(2p1)=0p=1ataup=12log(x2x+4)=1ataulog(x2x+4)=12(x2x+4)=101atau(x2x+4)=10.12x2x+4=10ataux2x+4=10x2x6=0ataux2x+410=0Jelas bahwa yang ada akar real adalahpersamaan:x2x6=0dan hasil kali semua akarnya adalah:x1.x2.x1.x2=ca=61=6.

4.Nilaixyang memenuhi persamaan2x.6logx+72x..16logx=24adalah....a.18dan136b.24dan2c.6dan16d.36dan16e.16dan118Jawab:c2x.6logx+72x..16logx=242x.6logx+72x1.(6logx)=242x.6logx+72x.6logx24=0misalkanp=x.6logx,maka2p+72p24=0p212p+36=0(p6)2=0p=±6x.6logx=6saja,disebabkansyarat numerusx.6logx6.Selanjutnyauntukx.6logx=6,nilaixyang memenuhiada2,yaitu:6dan16Karena{x.6logx6.6log6=6x.6logx(16).6log(16)=61.6log61=6.6log61=6.

5.Nilaixyang memenuhi persamaan2x3log12.xlog2x+6log1x+1x+2logx=1adalah....a.8b.9c.1d.6e.5Jawab:d2x3log12.xlog2x+6log1x+1x+2logx=12log(2x3).xlog2xlog(x+6)+xlog(x+2)=1xlog2.2log(2x3)xlog(x+6)+xlog(x+2)=1xlog(2x3)xlog(x+6)+xlog(x+2)=1xlog(2x3)(x+2)(x+6)=1BasisNumerus(1).x>32(2).x>0(3).x>2dipilihx>32x>0(2x3)(x+2)(x+6)=x1(2x3)(x+2)=x(x+6)2x2+x6=x2+6xx25x6=0(x6)(x+1)=0x=6ataux=1Jadi, nilaix=6.

6.Himpunan penyelesaian untukx,y,zyang memenuhi persamaan berikut{(2x+3y)log(xy+2z)=132x+y+z×273z+2y+x=815x+3y+8z=2adalah....a.{1712,112,76}b.{1712,12,76}c.{1712,12,76}d.{1712,112,76}e.{1712,112,76}Jawab:eDiketahui bahwa{(2x+3y)log(xy+2z)=132x+y+z×273z+2y+x=815x+3y+8z=2Perhatikan bahwa soal dapat dituliskan ulangmenjadi{log(xy+2z)=032x+y+z+3(3z+2y+x)=345x+3y+8z=2berubah lagi menjadi{xy+2z=1(1)5x+7y+10z=4(2)5x+3y+8z=2(3)Dengan eliminasi berikut akan didapatkanPersamaan 1&2Persamaan 2&35x5y+10z=55x+7y+10z=412y=1y=112(4)5x+7y+10z=45x+3y+8z=24y+2z=2(5)Dari persamaan4&5didapatkannilaiz=76,selanjutnya jugaakan didapatkan nilaix=1712.Jadi, HP={1712,112,76}.


DAFTAR PUSTAKA

  1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XKelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Susianto, B. 2011. Olimpiade Matematika dengan Proses Berpikir Aljabar dan Bilangan. Cet. II. Jakarta: GRASINDO


Aplikasi Fungsi Logaritma

Dalam banyak hal konsep logaritma sering digunakan untuk memudahkan perhitungan, baik kejadian di sekitar kita sehari hari atau lainnya yang dilakukan seseorang yang menekuni bidang tertentu. Sebagai misal dalam bidang ekonomi saat perhitungan bunga majmuk, selain itu juga dalam bidang baik fisika, kimia, biologi, geografi dan lain-lain.

CONTOH SOAL.

Dalam bidang ekonomi

Jika modal M dibungakan untuk setiap periode bungan dengan bunga majmuk  i = p % , maka besar modal M setelah n periode adalah Mn dengan mengikuti rumus:

Mn=M(1+i)n.





















Dalam Bidang Fisika

Misalnya dalam menentukan tingkat kebisingan (Taraf Intensitas) bunyi yang merupakan laju perpindahan energi bunyi persatuan luas yang tegak lurus terhadap arah merambatnya diformulasikan dengan

TI=10log(IIo).

Satuan dalam penghitungan dia atas adalah seibel (dB).

Jika diketahui nilai ambang intensitas bunyi  (Io) dalam hal ini adalah intensitas bunyi terendah yang masih bisa diterima oleh manusia, yaitu sekitar 1012watt/m2 pada frekuensi 1000 Hz pada suatu ketika diketahui pula taraf intensitas bunyi sebuah mesin adalah 60 dB, maka berapakah intensitas bunyi mesin tersebut, berikut uraiannya

TI=10log(IIo)60=10log(I1012)6=logIlog10126=logI(12)6=logI+12logI=61210logI=6I=106.

Jadi, intensitas bunyi mesin tersebut adalah  106watt/m2.

Dalam Bidang Kimia

Dalam menentukan tingkat keasamam suatu larutan adalah melihat nilai pH-nya. Nilai pH (power of Hydrogen) ini tergantung dengan tingkat konsentrasi dari ion hidrogen dalam larutan. Misal diketahui konsentrasi ion hidrogen [H+] dalam satuan M (molaritas) adalah 6,6×107. Jika formulasi pH adalah pH=log[H+], maka pH dari larutan tersebut adalah:

pH=log[H+]=log(6,6×107)=(log6,67)=(0,81957)=6,18056,2.

Jadi, pH larutan tersebut adalah 6,2.

Masih dalam bidang kimia, dalam hal ini adalah proses peluruhan zat. Misalkan formulasi untuk menentukan jumlah zat pada saat t adalah sebagai berikut:

Nt=N0ert.

dengan:

Nt=jumlah setelahtN0=jumlah zat semulae=2,71828...bilangan pokok logaritma naturalr=laju peluruhant=waktu yang dibutuhkan.

untuk materi tentang bilangan logaritma natural silahkan klik di sini.

Terdapat sejumlah zatN0.Dalam 3 tahunJumlah zat kimia tersebut menjadi12N0Tentukan waktu yang dibutuhkan agarjumlah zat menjadi14N0nyaJawab:DiketahuiNt=N0ertKarenaNt=12N0,maka12N0=N0ert12=er(3)ln12=lne3rln12=3rlne=3rr=ln123r=0,23104906Agar menjadi14N0,maka14N0=N0ert=N0e0,23104906t14=e0,2310490tln14=lne0,2310490tln14=0,2310490t.lne=0,2310490tt=ln140,23104906=6,000000005.

Jadi, agar jumlah zat menjadi seperempatnyua dibutuhkan waktu lebih dari 6 tahun.

Catata:

Berikut link materi tentang konstanta e klik di sini dan di sini

Dalam Bidang Pembelajaran Matematika

Misalkan dalam pembelajaran matematika di tingkat SMA/MA ketika membahas mengenai perpangkatan suatu bilangan, jika sesorang diminta menentukan pangkat suatu bilangan yang menghasilkan bilangan bukan bilangan kuadrat pangkat. 

1.Seorang siswa Kelas X suatu MA dimintamenentukan pangkat dari sebuah persoalana.2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 8b.2 dipangkatkan berapa akan sama dengan 7Jawab:Kedua pertanyyan di atas jika dimodel dalammodel matematika menjadi:2x=...a.dengan cara tidak terlalu sulit seorang siswaakan segera menemukan jawabannya yaitu 3berikut prosesnya2x=82x=23x=3b.Mungkin siswa yang belum pernah mendapatkanmateri logaritma hanya akan mencoba-cobabeberapa bilangan dengan cara menduga-dugasaja. Tetapi bagi yang sudah paham konseplogaritma tidak akan menenukan banyak kendala.berikut menurut konsep logaritma:2x=7masing-masing ruas di-logkan didepan angkanyalog2x=log7x.log2=log7x=log7log2=0,84510,3012,81Jadi, siswa akan dengan mudah dan terarah menjawabdengan jawaban2,81dengan angak 2 desimal.


DAFTAR PUSTAKA

  1. Budhi, W. S. 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
  2. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
  3. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.


Persamaan Logaritma 5

E. Persamaan Logaritma Bentuk  A(alogf(x))2+B(alogf(x))+C=0.

Himpunan penyelesaian dari bentuk ini adalah kurang lebih sama dengan persamaan kuadrat, baik dengan cara dimisalkan terlebih dahulu ataupun tidak, 

Jika dimisalkan, maka bentuknya akan semakin sederhana dan dan lebih efektif.

Adapun solusi dari persamaan kuadrat sendiri adalah:

  1. memfaktorkan
  2. melengkapkan kuadrat sempurna
  3. rumus abc

Catatan : Syarat numerus dan basisnya mengikuti, yaitu untuk numerus harus positif dan basisnya selain harus positif juga tidak boleh sama dengan 1.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah himpunan penyelesaian daria.(2logx)26(2logx)+8=0b.23log2x+23logx12=0Jawab:a.Dengan tanpa pemisalan(2logx)26(2logx)+8=0(2logx2)(2logx4)=02logx=2atau2logx=4x=22=4ataux=24=16Jadi,HP={4,16}b.Dengan tanpa pemisalan juga23log2x+23logx12=03log2x+3logx6=0(3logx+3)(3logx2)=03logx=3atau3logx=2x=33=127ataux=32=9Jadi,HP={127,9}.

LATIHAN SOAL.

2.Tentukanlah himpunan penyelesaian daria.(logx)26(logx)+8=0b.(logx)2logx310=0c.(3logx)2+2(3logx)3=0d.5log2x5logx4+5log125=0.


DAFTAR PUSTAKA

  1. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.

Persamaan Logaritma 4

 D. Persamaan Logaritma Bentuk  h(x)logf(x)=h(x)logg(x).

Syarat penyelesaian dari bentuk:

Jikah(x)logf(x)=h(x)logg(x)denganf(x)dang(x)keduanya positifsertah(x)>0,danh(x)1,makaf(x)=g(x).

atauPernyataanh(x)logf(x)=h(x)logg(x)akan bernilai benar jika(1)h(x)>0,h(x)1(2)f(x)>0,g(x)>0(3)f(x)=g(x).

CONTOH SOAL.

1.Tentukan himpunan penyelesaian daria.xlog(2x3)=xlog(x1)b.xlog(2x2+11x6)=xlog(x2+10x)c.xlog(x1)+1x+6logx=2+12logxd.2x1log(x3+3x24x1)=2x1log(2x2+3)Jawab:a.Diketahuixlog(2x3)=xlog(x1)()Syarat numerus dan bilangan pokokSyarathasilh(x)>0,h(x)1x>0f(x)>02x3>02x>3x>32g(x)>0x1>0x>1Syarat numerusnya,x>32()Syarat kedua,f(x)=g(x)2x3=x12xx=31x=2Karenax>32,maka nilaix=2memenuhi()Jadi,HP={2}b.Diketahuixlog(2x2+11x6)=xlog(x2+10)()Syarat numerus dan bilangan pokokSyarathasilh(x)>0,h(x)1x>0f(x)>02x2+11x6>0(x+6)(2x1)>0x<6ataux>12g(x)>0x2+10x>0x(x+10)>0x<10ataux>0Syarat numerusnya,x>12()Syarat kedua,f(x)=g(x)2x2+11x6=x2+10xx2+x6=0(x+3)(x2)=0x=3ataux=2Karenax>12,maka nilaix=2memenuhi()Jadi,HP={2}c.Diketahuixlog(x1)+1x+6logx=2+12logxxlog(x1)+xlog(x+6)=xlogx2+xlog2xlog(x1)(x+6)=xlog2x2xlogx2+5x6=xlog2x2()Syarat numerus dan bilangan pokokSyarathasilh(x)>0,h(x)1x>0f(x)>0x2+5x6>0(x+6)(x1)>0x<6ataux>1g(x)>02x2>0x>0Syarat numerusnya,x>1()Syarat kedua,f(x)=g(x)x2+5x6=2x2x25x+6=0(x2)(x3)=0x=2ataux=3Karenax>1,maka nilaix=2danx=3memenuhi()Jadi,HP={2,3}d.Diketahui2x1log(x3+3x24x1)=2x1log(2x2+3)()Syarat numerus dan bilangan pokokSyarathasilh(x)>0,h(x)12x1>0x>12f(x)>0x3+3x24x1>0Susah difaktorkangunakan uji nilaig(x)>02x2+3>0a>0,D<0Definit positifSyarat basis/bilangan pokoknya,x>12()Syarat kedua,f(x)=g(x)x3+3x24x1=2x2+3x3+x24x4=0x2(x+1)4(x+1)=0(x+1)(x24)=0(x+1)(x+2)(x2)=0x=1ataux=2ataux=2Karena basisnyax>12,maka nilai yang memenuhi hanyax=2sajadan nilai untuk numerusnya juga memenuhiyaitu:(2)3+3(2)24(2)1=11>0demikian pula untuk:2(2)3+3=19>0()Jadi,HP={2}.

Penjelasan untuk jawaban 1. d  tentang definit positif  di sini dan di sini

LATIHAN SOAL.

2.Tentukan himpunan penyelesaian daria.xlog(2x+3)=xlog(x+7)b.xlog(x+12)xlog(4x+1)=0c.x2log(x23)=x2logxd.3x2log(x22x+4)=3x2log(54x)

Persamaan Logaritma 3

C. Persamaan Logaritma Bentuk  alogf(x)=alogg(x).

Syarat penyelesaian dari bentuk ini adalah numerusnya harus positif serta basisnya juga harus positif dan tidak berupa angka 1.

CONTOH SOAL.

1.Tentukan himpunan penyelesaian daria.2logx=log(x+6)b.log(2x3)=log(x23x+1)c.3log(x2+3x+2)=3log(5x+5)Jawab:a.Diketahui2logx=log(x+6)logx2=log(x+6)()Syarat numerusf(x)>0x2>0x>0g(x)>0x+6>0x>6Sehingga syarat numerusnya,x>0()Syarat kedua,f(x)=g(x)x2=x+6x2x6=0(x+2)(x3)=0x=2ataux=3Karenax>0,yang memenuhix=3()Jadi,HP={3}b.Diketahuilog(2x3)=log(x23x+1)()Syarat numerusf(x)>02x3>02x>3x>32g(x)>0x23x+1>0x<352ataux>3+52Syarat numerusnya,x>3+52()Syarat kedua,f(x)=g(x)(2x3)=(x23x+1)x2+5x4=0x25x+4=0(x1)(x4)=0x=1ataux=4Karenax>3+52,yang memenuhi adalahx=4()Jadi,HP={4}c.Diketahui3log(x2+3x+2)=3log(5x+5)()Syarat numerusf(x)>0x2+3x+2>0(x+1)(x+2)>0x<2ataux>1g(x)>05x+5>0x+1>0x>1Syarat numerusnya,x>1()Syarat kedua,f(x)=g(x)x2+3x+2=5x+5x22x3=0(x+1)(x3)=0x=1ataux=3Karenax>1,yang memenuhi adalahx=3()Jadi,HP={3}.


Catatan:

Penjelasan untuk soal no.1 b ada berkaitan dengan penentuan akar 3±52 , silahlkan Anda klik di sini

Berikut soal yang berbasis seolah-olah berbeda, tetapi setelah Anda cermati, maka Anda akan dengan mudah menentukan penyelesaiannya.

2.Tentukan himpunan penyelesaian dari0,25log(x4)+16log(x+2)=0Jawab:Diketahui0,25log(x4)+16log(x+2)=0.14log(x4)+16log(x+2)=0.41log(x4)+.42log(x+2)=04log(x4)+12.4log(x+2)=012.4log(x+2)=4log(x4)4log(x+2)=2.4log(x4)4log(x+2)=4log(x4)24log(x+2)=4log(x28x+16)()Syarat numerusf(x)>0x4>0x>4g(x)>0x+2>0x>2Sehingga syarat numerusnya,x>4()Syarat kedua,f(x)=g(x)x28x+16=x+2x28xx+162=0x29x+14=0(x2)(x7)=0x=2ataux=7Karenax>4,yang memenuhix=7()Jadi,HP={7}.

LATIHAN SOAL.

3.Tentukan himpunan penyelesaian daria.2logx+2log(x1)=2log(x+3)b.logx+log2=log(x+2)c.log(x24x5)=log(x5)d.log(x22x8)=log(3x4).


DAFTAR PUSTAKA

  1. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
  2. Kurnia, N., dkk. 2016. Jelajah Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.


Persamaan Logaritma 2

 B. Persamaan Logaritma Bentuk  alogf(x)=blogf(x).

Syarat penyelesaian dari bentuk ini adalah numerusnya harus positif serta basisnya juga harus positif. Ketika basisnya berbeda, maka numerusnya cukup sama dengan 1. Hal ini dikarenakan nilai logaritma akan sama dengan 0 jika numerusnya berupa angka 1 dan basisnya bilangan positif. Sebagaimana ilustrasi contoh berikut ini

CONTOH SOAL.

1.Tentukan himpunan penyelesaian daria.log(x+6)=2log(x+6)b.log(2x3)=3log(2x3)c.4log(x2x+1)=log(x2x+1)Jawab:a.Karena basisnya berbeda, maka cukupnumerusnya=1,yaitu:x+6=1.Sehinggax=5Jadi,HP={7}b.Karena basisnya berbeda, maka cukupnumerusnya=1,yaitu:2x3=1.Sehinggax=2Jadi,HP={2}c.Karena basisnya berbeda, maka cukupnumerusnya=1,yaitu:x2x+1=1.Sehinggax2x=0x(x1)=0x=0ataux=1Jadi,HP={0,1}.

LATIHAN SOAL.

2.Tentukan himpunan penyelesaian daria.3log(5x4)=log(5x4)b.log(2x1)=5log(2x1)c.log(2x2+6x5)=8log(2x2+6x5)d.2log(x24x+6)=log(x24x+6).


DAFTAR PUSTAKA

  1. Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
  2. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.


Persamaan Logaritma 1

 A. Persamaan Logaritma Bentuk  alogf(x)=alogp.

Syarat yang harus dipenuhi numerus harus berupa bilangan positif demikian juga bilangan basisnya dan khus bilangan basisnya ketambahan syarat yang harus terpenuhi yaitu tidak boleh sama dengan 1.

CONTOH SOAL.

1.Tentukan himpunan penyelesaian daria.log(4x5)=log3b.log(2x2x)=1c.3log(x23x+5)=1Jawab:a.Diketahui numerus:4x51. Syarat numerus:f(x)>04x5>0x>542. Persamaanlog(4x5)=log34x5=34x=8x=23. SimpulanKarenax>54,makax=2memenuhiJadi,HP={2}b.Diketahui numerus:2x2x1. Syarat numerus:f(x)>02x2x>0x(2x1)>0x<0ataux>122. Persamaanlog(2x2x)=1log(2x2x)=log102x2x=102x2x10=0(2x5)(x+2)=0x=2ataux=523. SimpulanKarena nilaixmemenuhisyarat numerus2x2x>0makax=2danx=52memenuhiJadi,HP={2,52}c.Diketahui numerus:x23x+51. Syarat numerus:f(x)>0memenuhi.x23x+5>0NilaiD=b24ac>0artinya numerus definit positif2. Persamaan3log(x23x+5)=13log(x23x+5)=3log3x23x+5=3x23x+2=0(x1)(x2)=0x=1ataux=23. SimpulanKarena nilaixmemenuhisyarat numerusx23x+5>0makax=1danx=2memenuhiJadi,HP={1,2}.

Untuk materi difinit positif silahkan klik di sini

2.Tentukan himpunan penyelesaian darilogx+log(2x1)=1Jawab:Persamaan di atas adalah persamaanlogaritma model:alogf(x)=alogp.dengan bentuknya:alogf1(x)+alogf2(x)=alogpDiketahui numerus:f1(x)=xdanf2(x)=2x11. Syarat numerus:f(x)>0f1(x)f2(x)x>02x1>02x>1x>12Sehingga syarat numerusnya:x>122. Persamaanlog(2x2x)=1log(2x2x)=log102x2x=102x2x10=0(2x5)(x+2)=0x=2ataux=523. SimpulanNilaixyang memenuhisyarat numerus2x2x>0hanya ada satu, yaitu:x=52Jadi,HP={52}.

Catatan:

Coba bandingkan penyelesaian no. 1.b dan no. 2, secara sifat operasi logaritma soal sama, tetapi karena spesifikasi dari numerus tiap tipe soal, maka perlakuannya berbeda.

LATIHAN SOAL.

3.Tentukan himpunan penyelesaian daria.3log(5x4)=2b.logx+log(2x1)=1c.log(2x2+6x5)=1d.2log(x24x+6)=1e.2log(x4)+2log(x6)=3

Logaritma

A. Pendahuluan

Silahkan kunjungi alamat ini di sini

B. Sifat-Sifat

Logaritmaalogb=cac=balogx+alogy=alogxyalogxalogy=alogxyalogx=mlogxmlogaalogb×blogc=alogcamlogbn=nm×alogbaalogb=balogb=1blogaalog1=0aloga=1{a0a>0(bilangan pokok)x,y>0(numerus).

CONTOH SOAL.

1.Hitunglaha.36log6b.8log14c.2log3+2log122log9d.16log253×5log14Jawab:a.36log6=62log61=12×6log6=12×6log61=12×1=12atau36log6=16log36=16.1log62=121×6log6=12×1=12b.8log4=23log22=23×2log21=23×1=23c.2log3+2log122log9=2log(3×129)=2log369=2log4=2log22=2×2log21=2×1=2d.16log253×5log14=4.2log5.23×.5.1log41=((23)2×4log5)×(11×5log4)=13×1×4log5×5log4=13×4log4,(ingat)=13×4log41=13×1=13.

C. Persamaan Logaritma

Bentuk-bentuk persamaan logaritma secara umum adalah persamaan dengan numerus ataupun bilangan basis/pokok yang memuat variabel x.

1.alogf(x)=alogp2.alogf(x)=blogf(x)3.alogf(x)=alogg(x)4.h(x)logf(x)=h(x)logg(x)5.A(alogf(x))2+B(alogf(x))+C=0.

CONTOH SOAL.

2.Hitunglaha.log(x5)=log3b.log(2x2x)=1c.3log(x23x+5)=1Jawab:Yang dibahas hanya no.2a, yaitu:a.Diketahui numerus:x51. Syarat numerus:f(x)>0x5>0x>52. Persamaanlog(x5)=log3x5=3x=83. SimpulanKarenax>5,makax=8memenuhiJadi,HP={8}.

Contoh Soal 9 Fungsi Logaritma (Pemecahan Masalah Olimpiade)

41.Jikax=15log75dany=35log9125,maka nilai5x+3y2xyadalah....KOMPETISI HARDIKNAS ONLINEPOSI(Pelatihan Olimpiade Sain Indonesia)Bidang Matematika 2020a.1b.1c.3d.5e.7Jawab:e5x+3y2xy=5(15log75)+3(35log9125)2(15log75)(35log9125)=5(log75log15)+3(log9125log35)2(log75log15)(log9125log35)=5(log3.52log3.5)+3(loglog125log3log5)2(log3.52log3.5)(log9log125log3log5)=5(log3+log52log3log5)+3(log32log53log3log5)2(log3+log52log3+log5)(log32log53log3log5)=5(log3+2log5log3log5)+3(2log33log5log3log5)2(log3+2log5log3+log5)(2log33log5log3log5)Misalkanlog3=A,log5=B

.Selanjutnya=5(A+2BA+B)+3(2A3BAB)2(A+2BA+B)(2A3BAB)=(5A+10BA+B)+(6A9BAB)(2A+4BA+B)(2A3BAB)=(5A+10B)(AB)+(6A9B)(A+B)A2B2(4A26AB+8AB12B2A2B2)=5A25AB+10AB10B2A2B2+6A2+6AB9AB9B2A2B2(4A26AB+8AB12B2A2B2)=7A27B2A2B2=7(A2B2)A2B2=7

42.DiberikanA=6log16danB=12log27Terdapat bilangan-bilangan bulat positifa,b,dancsehingga(A+a)(B+b)=cNilai daria+b+cadalah....KOMPETISI HARDIKNAS ONLINEPOSI(Pelatihan Olimpiade Sain Indonesia)Bidang Matematika 2020a.23b.24c.27d.30e.34Jawab:....DiketahuiA=6log16=log16log6=log24log2.3=4log2log2+log3log2+log3=4log2A...........(1)B=12log27=log27log12=log33log22.3=3log32log2+log32log2+log3=3log3B.........(2)ELIMINASIDari persamaan (1) dan (2) diperoleh:log2=3log3B4log2Alog2=3Alog34Blog2ABABlog2=3Alog34Blog2ABlog2+4Blog2=3Alog3(AB+4B)log2=3Alog3log2log3=3AAB+4B..........(3)log3=8log2A3log3Blog3=8Blog23Alog3ABABlog3=8Blog23Alog3ABlog3+3Alog3=8Blog2(AB+3A)log3=8Blog2log2log3=AB+3A8B...........(4)KESAMAANlog2log3=log2log3AB+3A8B=3AAB+4B(AB+3A)(AB+4B)=(8B).(3A)(B+3)(A+4)=24(A+4)(B+3)=24KESIMPULANa=4,b=3,danc=24,makaa+b+c=4+3+24=31

Contoh Soal 7 Fungsi Logaritma (Pertidaksamaan Logaritma)

 32.Agarlog(x21)<0maka....a.1<x<1b.2<x<2c.x<1ataux>1d.x<2ataux>2e.2<x<1atau1<x<2Jawab:elog(x21)<0Diketahuilogf(x)<0,makaSyarat (1),f(x)>0x21>0x<1ataux>1Syarat (2),log(x21)<0log(x21)<log1x21<1x22<0x2(2)2<02<x<2Jadi,2<x<1atau1<x<2

33.Himpunan penyelesaian dari.12log(x23)>0adalah....a.{x|2<x<3atau3<x<2}b.{x|3<x<1atau3<x<2}c.{x|2<x<3}d.{x|2<x<3}e.{x|3<x<2}Jawab:a.12log(x23)>0Diketahui.12logf(x)>0,makaSyarat (1),f(x)>0x23>0x<3ataux>3Syarat (2),.12log(x23)>0.12log(x23)>.12log1x23<1(karena basisnya12<1)x24<0x222>02<x<2Jadi,2<x<3atau3<x<2

34.Nilaixyang memenuhi2log(x2x)1adalah....a.x<0ataux>1b.1x2,x1ataux0c.1x<0atau1<x2d.1<x0atau1x<2e.1x0atau1x2Jawab:c2log(x2x)1Diketahui2logf(x)>0,makaSyarat (1),f(x)>0x2x>0x(x1)>0x<0ataux>1Syarat (2),2log(x2x)12log(x2x)2log2x2x2x2x20(x+1)(x2)01x2Jadi,1x<0atau1<x2

35.Nilaixyang memenuhi|log(x+1)|>1adalah....a.x<0,9ataux>9b.x<9ataux>9c.1<x<0,9ataux>9d.9<x<0,9e.0,9<x<9Jawab:cIngat bahwa|x|>Ax<Aataux>A,A>0log(x+1)<1ataulog(x+1)>1Syarat (1) buat keduanya,f(x)>0(x+1)>0x>1Syarat (2),log(x+1)<1log(x+1)<log101x+1<110x<910Syarat (3),log(x+1)>1log(x+1)>log101(x+1)>10x>9Jadi,1<x<0,9ataux>9

Lanjutan Materi Fungsi Logaritma (Kelas X Matematika Peminatan)

 MENGINGAT KEMBALI

E. Sifat-Sifat Eksponen dan Logaritma

E.1  Persamaan Eksponen dan Logaritma

EksponensLogaritmaan=a×a×a××anfaktoralogb=cac=bap×aq=ap+qalogx+alogy=alogxyap:aq=apqalogxalogy=alogxy(ap)q=ap.qalogx=mlogxmlogaapq=a(pq)alogb×blogc=alogc(a×b)p=ap×bpamlogbn=nm×alogb(ab)p=apbpaalogb=bap=1apalogb=1blogaa0=1,a0alog1=0a1=1aloga=1{a,bRp,qQ{a0a>0(bilangan pokok)x,y>0(numerus)

Selanjutnya

NoBentukSyarat1.af(x)=1a0,makaf(x)=02.af(x)=apa>0,a1,makaf(x)=p3.af(x)=ag(x)a>0,a1,makaf(x)=g(x)4.af(x)=bf(x)a0,b0,makaf(x)=05.f(x)g(x)=1{f(x)=1g(x)=0,jikaf(x)0f(x)=1,jikag(x)=genap6.f(x)g(x)=f(x)h(x){(i).g(x)=h(x)(ii).f(x)=1(iii).f(x)=0,g(x)>0,h(x)>0(iv).f(x)=1,g(x)danh(x)keduanya ganjilatau genap7.g(x)f(x)=h(x)f(x){(i).g(x)=h(x)(ii).f(x)=0,g(x)0,h(x)08.A(af(x))2+B(af(x))+C=0a>0,a1

E.2  Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Berikut sifat pertidaksamaan Eksponen

a>10<a<1af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)<ag(x)f(x)<g(x)af(x)<ag(x)f(x)>g(x)af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)>ag(x)f(x)>g(x)af(x)>ag(x)f(x)<g(x)

Untuk pertidaksamaan logaritma (dengan syarat  (f(x)>0dang(x)>0) ) adalah sebagai berikut:

a>10<a<1alogf(x)alogg(x)f(x)g(x)alogf(x)alogg(x)f(x)g(x)alogf(x)<alogg(x)f(x)<g(x)alogf(x)<alogg(x)f(x)>g(x)alogf(x)alogg(x)f(x)g(x)alogf(x)alogg(x)f(x)g(x)alogf(x)>alogg(x)f(x)>g(x)alogf(x)>alogg(x)f(x)<g(x)