Barisan dan Deret

 A. Pola Bilangan

Pola bilangan dalam kaitannya dengan matematika adalah suatu susunan bilangan dengan susunan tertentu.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kue donat dalam disusun dan dikelompokkan berbentuk persegi sebagaimana ilustrasi berikut 

Jika kita cermati susunan susunan kue donat dalam kotak terkecil ke terbesar atau begitu seterusnya pada tiap-tiap terisi sejumlah : 1, 4, 9, 16, 25. Sehingga saat kita rinci 

Dapatkan Anda menentukan kelompok kotak berikutnya setelah kotak ke-5, misalnya ketak ke-6, 7, 8, dan seterusnya

Jika kue donat dalam kotak kita tabelkan akan berupa ilustrasi berikut

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Kelompok}&\textrm{Kue Donat dalam Kotak}&\textrm{Pola}\\\hline K_{1}&1&1=1\times 1\\\hline K_{2}&4&4=2\times 2\\\hline K_{3}&9&9=3\times 3\\\hline K_{4}&16&16=4\times 4\\\hline K_{5}&25&25=5\times 5\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline K_{\textrm{n}}&?&?=\textrm{n}\times \textrm{n}\\\hline\end{array}$.

Dengan memperhatikan pola yang ada di atas, maka akan dengan mudah kita menentukan isi kotak ke-6, yaitu berisi 6x6 = 36 buah kue donat dean demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret suatu Bilangan

Misalkan diberikan susunan bilangan berikut

$\Large\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{2},\: \frac{1}{6},\: \frac{1}{12},\: \frac{1}{20},\: \frac{1}{30},\cdots ,\frac{1}{9900} \end{aligned}$.

Andai kita tabelkan akan berupa

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Suku ke-}&\textrm{Nilai}&\textrm{Pola}\\\hline U_{1}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{1\times 2}\\\hline U_{2}&\displaystyle \frac{1}{6}&\displaystyle \frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}\\\hline U_{3}&\displaystyle \frac{1}{12}&\displaystyle \frac{1}{12}=\displaystyle \frac{1}{3\times 4}\\\hline U_{4}&\displaystyle \frac{1}{20}&\displaystyle \frac{1}{20}=\frac{1}{4\times 5}\\\hline U_{5}&\displaystyle \frac{1}{30}&\displaystyle \frac{1}{30}=\frac{1}{5\times 6}\\\hline \vdots &\vdots &\vdots \\\hline U_{\textrm{99}}&\displaystyle \frac{1}{9900}&\displaystyle \frac{1}{9900}=\displaystyle \frac{1}{99\times 100}\\\hline\end{array}$.

Sehingga dari pola bilangan di atas kita dengan mudah menentukan urutan suku ke-n atau  $U_{n}$  yaitu $\displaystyle \frac{1}{n\times (n+1)}$ dan andai kita diminta menentukan besar suku ke-2022 adalah $\displaystyle \frac{1}{2022\times 2023}= \frac{1}{4090506}$.

C. Barisan Aritmetika

Secara definisi barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku dengan tepat suku setelahnya memiliki selisih tetap.

Sebagai ilustrasinya misalkan $u_{1}=a$, $u_{2}=a+b$, dan untuk suku ke-3 adalah $u_{3}=a+b+b=a+2b$, demikian seterusnya akan selalu ditambahkan $b$ dan selanjutnya nilai $b$=$u_{2}-u_{1}=u_{3}-u_{2}=u_{4}-u_{3}=\cdots $.

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&u_{1}=a\\ &u_{2}=u_{1}+b=u_{1}+b\\ &u_{3}=u_{2}+b=u_{1}+2b\\ &u_{4}=u_{3}+b=u_{1}+3b\\ &u_{5}=u_{4}+b=u_{1}+4b\\ &\vdots \qquad \vdots \\&u_{n}=u_{(n-1)}+b=\color{red}u_{1}+(n-1)b \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut}\\ &5,-2,-9,-16,\cdots \\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{aligned}&\underset{\begin{matrix}\downarrow \\  u_{1} \end{matrix}}{5},\:\underset{\begin{matrix}\downarrow \\  u_{2} \end{matrix}}{-2},\: \underset{\begin{matrix}\downarrow \\  u_{3} \end{matrix}}{-9},\: \underset{\begin{matrix}\downarrow \\  u_{4} \end{matrix}}{-16},\: \cdots ,\: \underset{\begin{matrix}\downarrow \\  u_{n } \end{matrix}}{u_{1}+(n-1)b}  \end{aligned}\\ &\textrm{Jelas bahwa}\\ &\begin{aligned}b = &u_{2}-u_{1}=-2-5=\color{red}-7\\ \textrm{ma}&\textrm{ka}\\ U_{50}&=u_{1}+(50-1).(-7)\\ &=5+49.(-7)=5-343\\ &=-338 \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika diketahui barisan aritmetika dengan}\\ &\textrm{suku ke}-3=-4\displaystyle \frac{1}{2}\: \: \textrm{dan suku ke}-8=-2\\ &\textrm{Tentukan suku pertama, beda serta rumus}\\ &\textrm{suku ke}-n\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{array}{lll} &u_{3}=-4\displaystyle \frac{1}{2}=a+2b&\\ &u_{8}=-2=a+7b&-\\\hline &-4\displaystyle \frac{1}{2}-(-2)=-5b\\ &-2\displaystyle \frac{1}{2}=-5b\\ &5b=\displaystyle \frac{5}{2}\\ &\: \: b=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}&\begin{aligned}u_{3}&=a+2b=-4\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\: \: \: \: \: \: a+2\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=-4\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\: \: \: \: \: \: a+1=-4\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\: \: \: \: \: \: a=-4\displaystyle \frac{1}{2}-1\\ &\: \: \: \: \: \: a=\color{red}-5\displaystyle \frac{1}{2}\\  \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{maka}\: \: u_{n}=a+(n-1)b\\ &\begin{aligned}u_{n}&=-5\displaystyle \frac{1}{2}+(n-1).\displaystyle \frac{1}{2}\\ &=-5\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}n-\frac{1}{2}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}n-6\\ \end{aligned}  \end{array}$.

D. Deret Aritmetika

Jika pada barisan aritmetika di atas dijumlahkan semua sukunya, maka akan terbentuklah sebuah deret hitung yang selanjutnya adalah nama lain dari deret aritmetika

$\begin{aligned}S_{n}&=a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+\cdots \\ \end{aligned}$.

dan

$\begin{array}{llll}S_{n}&=a+(a+b)+(a+2b)+\cdots+a+(n-1)b\\ S_{n}&=a+(n-1)b+\cdots+(a+2b)+(a+b)+a&+\\\hline 2S_{n}&=2a+(n-1)b+\qquad\cdots \qquad+2a+(n-1)b\\ 2S_{n}&=n(2a+(n-1)b)\\ S_{n}&=\displaystyle \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\qquad \textbf{atau}\\ S_{n}&=\displaystyle \frac{n}{2}(a+a+(n-1)b)=\frac{n}{2}(u_{1}+u_{n})   \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

Pada contoh soal no.1 di atas tentukanlah jumlah 50 suku pertema deret aritmetika tersebut

Jawab:

$\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui}\\ S_{50}&=5+(-2)+(-9)+(-16)+\cdots +(-338)\\ \textrm{De}&\textrm{ngan}\: \: S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n(u_{1}+u_{n})\\ S_{50}&=\displaystyle \frac{1}{2}.50.(5+(-338))\\ &=25.(-333)\\ &=\color{red}-8325 \end{aligned}$.

Sebagai rangkumannya perhatikan tabel berikut terkait barisan dan deret aritmetika

$\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Barisan Aritmetika}&\textrm{Deret Aritmetika (Hitung)}&\textrm{Syarat}\\\hline 1&\begin{aligned}&U_{1},U_{2},U_{3},U_{4},...\\ &\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &U_{1},U_{2},U_{3},\cdots \\ &\textrm{disebut suku-suku}\\ &\textrm{dan}\: \: U_{1}=a=\\ &\textrm{suku pertama} \end{aligned}&\begin{aligned}&U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+...\\ &\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &U_{1},U_{2},U_{3},\cdots \\ &\textrm{disebut suku-suku}\\ &\textrm{dan}\: \: U_{1}=a=\\ &\textrm{suku pertama} \end{aligned} &\begin{aligned}\textrm{Beda}=b&=U_{2}-U_{1}\\ &=U_{3}-U_{2}\\ &=U_{4}-U_{3}\\ &=\cdots \\ &=U_{n}-U_{(n-1)}\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline 2&U_{n}=a+(n-1)b&U_{n}=a+(n-1)b&\begin{aligned}U_{t}&=\displaystyle \frac{U_{1}+U_{n}}{2}\\ &=\textrm{Suku tengah} \end{aligned}\\\hline 3&&S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2}n\left ( a+U_{n} \right )&\begin{aligned}&\textrm{sisipan}\: k\: \textrm{bilangan}\\ &\textrm{misal},\\ &U_{1}\cdots \cdots \cdots U_{m}\\ &\textrm{ingin disisipkan}\: k\: \textrm{bilangan}\\ &\textrm{beda baru}=b'=\displaystyle \frac{U_{m}-U_{1}}{k+1} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
2. Susanto, D., dkk. 2021. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X. Klaten: MACANANJAYA CEMERLANG.