Lanjutan 3 Contoh Soal Barisan dan Deret

 $\begin{array}{l}\\ 11.& (\mathbf{\text{UN 2014}})\\ & \text{Diketahui seutas kawat dipotong menjadi 5 }\\ & \text{bagian dan hasil potongannya membentuk }\\ & \text{deret geometri. Jika panjang kawat terpendek}\\ & \text{16 cm dan terpanjang 81 cm, maka panjang }\\ & \text{kawat semula adalah}....\text{cm}\\ & \text{A}.121\text{D}.211\\ & \text{B}.130\text{C}.133\text{E}.242\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \{\begin{array}{ll}a& =U_1=16\\ U_n& =a.r^{n-1}\\ S_n& ={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}}\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{U_5}{U_1}=\frac{a{r}^4}{a}}& ={\displaystyle \frac{81}{16}}\\ r^4& ={\displaystyle \frac{3^4}{2^4}}\\ r& ={\displaystyle \frac{3}{2},(r>1)}\\ \text{Sehingga},& \\ S_5& ={\displaystyle \frac{16({\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^5-1)}{{\displaystyle \frac{3}{2}-1}}}\\ & ={\displaystyle \frac{16\left(\frac{3^5-2^5}{2^5}\right)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & ={\displaystyle 32\left(\frac{243-32}{32}\right)}\\ & =211\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 12.& (\mathbf{\text{UMPTN 2001}})\\ & \text{Diketahui sepotong kawat dengan panjang }\\ & \text{124 cm akan dipotong menjadi 5 bagian }\\ & \text{dan hasil potongan kawatnya membentuk }\\ & \text{barisan geometri. Jika pajang potongan }\\ & \text{kawat yang terpendek adalah 4 cm, maka}\\ & \text{potongan kawat yang terpanjang adalah}....\text{cm}\\ & \text{A}.60\text{D}.72\\ & \text{B}.64\text{C}.68\text{E}.76\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan hal yang diketahui di atas}\\ & \begin{array}{rl}{S}_5& =U_1+U_2+U_3+U_4+U_5\\ S_5& =a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4\\ 124& =4+4r+4r^2+4r^3+4r^4\\ 31& =1+r+r^2+r^3+r^4\\ 30& =r+r^2+r^3+r^4\\ & r^4+r^3+r^2+r-30=0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah bahwa pada polinom}\\ & r^4+r^3+r^2+r-30=0\\ & \text{faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5.}\\ & \text{Dan faktor yang memenuhi adalah r = 2}\\ & \text{Sehingga},U_5\text{sebagai potongan kawat terpanjang;}\\ & U_5=a{r}^4={4.2}^4=4.16=64\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& (\mathbf{\text{UMPTN 2001}})\\ & \text{Diketahui rasio sebuah deret geometri tak hingga }\\ & \text{adalah}{}^3\log (2x-1).\text{Jika deret tersebut memiliki }\\ & \text{jumlah (konvergen), maka nilai}x\text{yang memenuhi }\\ & \text{adalah}.....\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{1}{2}<x<\frac{2}{3}}\\ \\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{1}{2}<x<2}\\ \\ & \text{C}.{\displaystyle \frac{2}{3}<x<2}\\ \\ & \text{D}.{\displaystyle \frac{2}{3}\le x\le 2}\\ \\ & \text{E}.{\displaystyle \frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Syarat}\mathbf{\text{konvergen adalah}}\left|r\right|<1\\ & \text{atau}:-1<r<1\\ & \text{maka}\\ & -1{<}^3\log (2x-1)<1\\ & \iff (-1).({}^3\log 3)<{}^3\log (2x-1)<1.({}^3\log 3)\\ & \iff {}^3\log 3^{-1}<{}^3\log (2x-1)<{}^3\log 3^1\\ & \iff 3^{-1}<(2x-1)<3\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{3}<2x-1<3}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1}{3}+1<2x-1+1<3+1}\\ & \iff {\displaystyle \frac{4}{3}<2x<4}\\ & \iff {\displaystyle \frac{2}{3}<x<2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.& (\mathbf{\text{UN 2010}})\\ & \text{Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika }\\ & \text{dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka }\\ & \text{terbentuklah deret geometri dengan jumlah 14.}\\ & \text{Rasio barisan tersebut adalah ... .}\\ & \text{A}.4\text{D}.{\displaystyle -\frac{1}{2}}\\ & \text{B}.2\text{C}.{\displaystyle \frac{1}{2}\text{E}.-2}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Barisan Aritmetika (BA)}\{\begin{array}{ll}{U}_1& =a\\ U_2& =a+3\\ U_3& =a+6\end{array}\\ & \text{Barisan Geometri (BG)}\{\begin{array}{ll}{U}_1& =a\\ U_2& =a+3-1=a+2\\ U_3& =a+6\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{dan untuk deret geometri (DG)}\\ & U_1+U_2+U_3=14\\ & a+(a+2)+(a+6)=14\\ & 3a+8=14\\ & 3a=6\\ & a=2\\ & \text{sehingga},\\ & r={\displaystyle \frac{U_2}{U_1}=\frac{a+2}{a}=\frac{4}{2}=2}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 15.& (\mathbf{\text{UN 2009}})\\ & \text{Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah}\\ & \text{45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga}\\ & \text{ditambah 5, maka barisan tersebut menjadi }\\ & \text{barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut}\\ & \text{adalah}....\\ & \text{A}.{\displaystyle \frac{1}{2}\text{D}.2}\\ \\ & \text{B}.{\displaystyle \frac{3}{4}\text{C}.1{\displaystyle \frac{1}{2}\text{E}.3}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\mathbf{\text{Ada 2 pilihan, yaitu A dan D}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{l}{U}_1+U_2+U_3=45(DA)\\ \iff a+(a+b)+(a+2b)=45\\ \iff a+b=15\Rightarrow a=15-b\\ U_1,(U_2-1),(U_3+5)(BG)\\ \Rightarrow a,(a+b-1),(a+2b+5)\\ \Rightarrow a,(14),(20+b)\end{array}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Pada BG berlaku}\\ & {14}^2=a.(20+b)\\ & 196=(15-b)(20+b)\\ & 196=300-5b-b^2\\ & b^2+5b-104=0\\ & (b+13)(b-8)=0\\ & b=-13\text{atau}b=8\\ & \text{untuk}b=-13\Rightarrow a=15-(-13)=28\\ & \{\begin{array}{ll}B{A}_1:& 28,15,2\\ B{G}_1:& 28,14,7\end{array}\\ & \text{untuk}b=8\Rightarrow a=15-(8)=7\\ & \{\begin{array}{ll}B{A}_2:& 7,15,23\\ B{G}_2:& 7,14,28\end{array}\\ & \text{Jadi, rasio dari barisan geometrianya ada 2 yaitu}:\\ & r_1={\displaystyle \frac{1}{2},\text{dan}{r}_2=2}\end{array}\end{array}$.