$\begin{array}{ll}\\ 11.&(\textbf{UN 2014})\\ &\textrm{Diketahui seutas kawat dipotong menjadi 5 }\\ &\textrm{bagian dan hasil potongannya membentuk }\\ &\textrm{deret geometri. Jika panjang kawat terpendek}\\ &\textrm{16 cm dan terpanjang 81 cm, maka panjang }\\ &\textrm{kawat semula adalah}\: ....\:\textrm{cm}\\ &\textrm{A}.\quad 121 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\: \: \textrm{D}.\quad \color{red}211\\ &\textrm{B}.\quad 130\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 133\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 242\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \begin{cases} a & =U_{1}=16 \\ U_{n} & =a.r^{n-1} \\ S_{n} & =\displaystyle \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \end{cases} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\displaystyle \frac{U_{5}}{U_{1}}=\frac{ar^{4}}{a}&=\displaystyle \frac{81}{16}\\ r^{4}&=\displaystyle \frac{3^{4}}{2^{4}}\\ r&=\displaystyle \frac{3}{2},\qquad \left (r>1 \right )\\ \textrm{Sehingga},\: &\\ S_{5}&=\displaystyle \frac{16\left ( \left ( \displaystyle \frac{3}{2} \right )^{5}-1 \right )}{\displaystyle \frac{3}{2}-1}\\ &=\displaystyle \frac{16\left ( \frac{3^{5}-2^{5}}{2^{5}} \right )}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ &=\displaystyle 32\left ( \frac{243-32}{32} \right )\\ &=\color{red}211 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 12.&(\textbf{UMPTN 2001})\\ &\textrm{Diketahui sepotong kawat dengan panjang }\\ &\textrm{124 cm akan dipotong menjadi 5 bagian }\\ &\textrm{dan hasil potongan kawatnya membentuk }\\ &\textrm{barisan geometri. Jika pajang potongan }\\ &\textrm{kawat yang terpendek adalah 4 cm, maka}\\ &\textrm{potongan kawat yang terpanjang adalah}\: ....\:\textrm{cm}\\ &\textrm{A}.\quad 60 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \textrm{D}.\quad 72\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}64\qquad\qquad \color{black}\textrm{C}.\quad 68\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 76\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan hal yang diketahui di atas}\\ &\begin{aligned}S_{5}&=U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}\\ S_{5}&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}\\ 124&=4+4r+4r^{2}+4r^{3}+4r^{4}\\ 31&=1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\\ 30&=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\\ &\: \quad r^{4}+r^{3}+r^{2}+r-30=0 \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah bahwa pada polinom}\: \\ &r^{4}+r^{3}+r^{2}+r-30=0\\ &\textrm{faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5.}\\ &\textrm{Dan faktor yang memenuhi adalah r = 2}\\ &\textrm{Sehingga},\: U_{5}\: \: \textrm{sebagai potongan kawat terpanjang;}\\ &U_{5}=ar^{4}=4.2^{4}=4.16=\color{red}64 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 13.&(\textbf{UMPTN 2001})\\ &\textrm{Diketahui rasio sebuah deret geometri tak hingga }\\ &\textrm{adalah}\: \: ^{3}\log (2x-1).\: \: \textrm{Jika deret tersebut memiliki }\\ &\textrm{jumlah (konvergen), maka nilai}\: \: x\: \: \textrm{yang memenuhi }\\ &\textrm{adalah}\: ....\:.\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}<x<\frac{2}{3} \\\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}<x<2\\\\ &\color{red}\textrm{C}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}<x<2\\\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}\leq x\leq 2\\\\ &\textrm{E}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Syarat}\: \textbf{konvergen adalah}\: \: \color{blue}\left | r \right |< 1\\ &\textrm{atau}\: :\: \, \: \: -1< r< 1\\ &\textrm{maka}\\ &-1< ^{3}\log (2x-1)< 1\\ &\Leftrightarrow \: (-1).\: \left (^{3}\log 3 \right )< \: ^{3}\log (2x-1)< 1.\left ( ^{3}\log 3 \right )\\ &\Leftrightarrow \: ^{3}\log 3^{-1}< \: ^{3}\log (2x-1)< \: ^{3}\log 3^{1}\\ &\Leftrightarrow \: 3^{-1}< (2x-1)<3\\ &\Leftrightarrow \: \displaystyle \frac{1}{3}<2x-1<3\\ &\Leftrightarrow \: \displaystyle \frac{1}{3}+1<2x-1+1<3+1\\ &\Leftrightarrow \: \displaystyle \frac{4}{3}<2x<4\\ &\Leftrightarrow \: \color{red}\displaystyle \frac{2}{3}<x<2 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 14.&(\textbf{UN 2010})\\ &\textrm{Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika }\\ &\textrm{dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka }\\ &\textrm{terbentuklah deret geometri dengan jumlah 14.}\\ &\textrm{Rasio barisan tersebut adalah ... .}\\ &\textrm{A}.\quad 4 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\: \: \textrm{D}.\quad \displaystyle -\frac{1}{2}\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}2\qquad\qquad \color{black}\textrm{C}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\qquad\qquad\: \: \: \, \textrm{E}.\quad -2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Barisan Aritmetika (BA)}\: \begin{cases} U_{1} & =a \\ U_{2} & =a+3 \\ U_{3} & =a+6 \end{cases}\\ &\textrm{Barisan Geometri (BG)}\: \begin{cases} U_{1} & =a \\ U_{2} & =a+3-1=a+2 \\ U_{3} & =a+6 \end{cases}\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{dan untuk deret geometri (DG)}\\ &U_{1}+U_{2}+U_{3}=14\\ &a+(a+2)+(a+6)=14\\ &3a+8=14\\ &3a=6\\ &a=2\\ &\textrm{sehingga},\\ &r=\displaystyle \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{a+2}{a}=\frac{4}{2}=\color{red}2 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 15.&(\textbf{UN 2009})\\ &\textrm{Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah}\\ &\textrm{45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga}\\ &\textrm{ditambah 5, maka barisan tersebut menjadi }\\ &\textrm{barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut}\\ &\textrm{adalah}\: ...\: .\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\: \textrm{D}.\quad 2\\\\ &\textrm{B}.\quad \displaystyle \frac{3}{4}\qquad\qquad \textrm{C}.\quad 1\displaystyle \frac{1}{2}\qquad\qquad \textrm{E}.\quad 3\\\\ &\textbf{Jawab}:\textbf{Ada 2 pilihan, yaitu A dan D}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{cases} U_{1}+U_{2}+U_{3} =45 \qquad (DA)\\ \Leftrightarrow \: \: \color{blue}a+(a+b)+(a+2b)=45 \\ \Leftrightarrow a+b=15\quad \Rightarrow a=15-b\\ U_{1},\left (U_{2}-1 \right ),\left (U_{3}+5 \right ) \qquad (BG)\\ \Rightarrow \: \: \color{blue}a,(a+b-1),(a+2b+5)\\ \Rightarrow a,(14),(20+b) \end{cases}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Pada BG berlaku}\\ &14^{2}=a.(20+b)\\ &196=(15-b)(20+b)\\ &196=300-5b-b^{2}\\ &b^{2}+5b-104=0\\ &(b+13)(b-8)=0\\ &b=-13\: \: \textrm{atau}\: \: b=8\\ &\textrm{untuk}\: \: b=-13\: \Rightarrow \: a=15-(-13)=\color{blue}28\\ &\qquad\qquad\begin{cases} BA_{1}: & 28,15,2 \\ BG_{1}: & 28,14,7 \end{cases}\\ &\textrm{untuk}\: \: b=8\: \Rightarrow \: a=15-(8)=\color{blue}7\\ &\qquad\qquad\begin{cases} BA_{2}: & 7,15,23 \\ BG_{2}: & 7,14,28 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, rasio dari barisan geometrianya ada 2 yaitu}:\\ &r_{1}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2},\: \: \textrm{dan}\: \: r_{2}=2 \end{aligned} \end{array}$.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi