$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Carilah semua barisan bilangan yang berupa }\\ &\textrm{barisan aritmetika dan sekaligus juga barisan }\\ &\textrm{geometri}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah bentuk barisan bilangan berikut}:\\ &\underset{\underset{\displaystyle a}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle a}{\updownarrow}}{U_{1}}},\underset{\underset{\displaystyle ar}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+b)}{\updownarrow}}{U_{2}}},\underset{\underset{\displaystyle ar^{2}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+2b)}{\updownarrow}}{U_{3}}},\underset{\underset{\displaystyle ar^{3}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+3b)}{\updownarrow}}{U_{4}}},\underset{\underset{\displaystyle ar^{4}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+4b)}{\updownarrow}}{U_{5}}},\quad \cdots\quad ,\underset{\underset{\displaystyle ar^{n-1}}{\updownarrow}}{\overset{\overset{\displaystyle (a+(n-1)b)}{\updownarrow}}{U_{n}}} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\\ &\textrm{Pada BA berlaku}\: \: 2U_{2}=U_{1}+U_{3}\\ &\textrm{yaitu}\begin{cases} 2(a+b)=a+(a+2b),&\textrm{atau}\\ 2(ar)=a+(ar^{2}) \end{cases}\\ &2ar=a+ar^{2},\quad \textrm{dibagi a masing-masing ruas}\\ &r^{2}-2r+1=0\\ &(r^{2}-2r+1)=0\\ &(r-1)^{2}=0\\ &r=1\\ &\textrm{Sehingga barisannya akan menjadi}\\ &a,a,a,a,\cdots \\ &\textrm{Pada BG juga berlaku}\: \: U_{2}^{2}=U_{1}\times U_{3}\\ &\textrm{yaitu}\begin{cases} (a+b)^{2}=a\times (a+2b),&\textrm{atau}\\ (ar)^{2}=a\times (ar^{2}) \end{cases}\\ &\textrm{ambil saja}\\ &(a+b)^{2}=a\times (a+2b)\\ &a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+2ab\\ &b^{2}=0\\ &b=0\\ &\textrm{dan barisannya juga sama, yaitu}\\ &a,a,a,a,\cdots \\ &\textrm{Jadi, semua bilangan memenuhi}\: \: a\neq 0\\ &\textrm{saat}\: \: r=1\: \: atau\: \: b=0 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Pada waktu yang sama Anton mulai }\\ &\textrm{menabung Rp}10.000.000,00\: \: \textrm{dan Budi }\\ &\textrm{menabung}\: \: \textrm{Rp}8.000.000,00.\: \textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{Anton menabung Rp}100.000,00\: \: \textrm{tiap}\\ &\textrm{bulan dan Budi menabung Rp}150.000,00\\ &\textrm{Setelah berapa bulan tabungan keduanya}\\ &\textrm{tepat sama}\: ....\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Soal di atas adalah aplikasi dari deret}\\ &\textrm{aritmetika}\\ &\bullet \quad \textrm{barisan pertama}\\ &\qquad u_{1}=a=10.000.000,\: \: b=100.000\\ &\bullet \quad \textrm{barisan kedua}\\ &\qquad u_{1}=a=8.000.000,\: \: b=150.000\\ &\color{blue}\textrm{Selanjutnya adalah}\\ &u_{1}+(n-1)b=u_{1}^{'}+(n-1)b'\\ &\Leftrightarrow 10.000.000+(n-1)\times 100.000\\ &\quad =8.000.000+(n-1)\times 150.000\\ &\Leftrightarrow (100.000-150.000)\times (n-1)\\ &\quad =8.000.000-10.000.000\\ &\Leftrightarrow -50.000(n-1)=-2.000.000\\ &\Leftrightarrow (n-1)=\displaystyle \frac{-2.000.000}{-50.000}=40\\ &n=40+1=\color{red}41 \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, tabungan keduanya akan sama setelah}\\ &\color{red}\textrm{40 bulan} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Tentukan jumlah semua bilangan asli}\\ &\textrm{antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4}\\ &\textrm{tetapi tidak habis dibagi 7}?\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Soal di atas adalah aplikasi dari deret}\\ &\textrm{aritmetika}\\ &\bullet \quad \textrm{barisan pertama adalah bilangan asli}\\ &\qquad \textrm{yang habis dibagi 4}\\ &\qquad u_{1}=a=4,\: \: b=4,\: \: U_{n}=148\\ &\qquad U_{n}=a+(n-1)b=4+(n-1)4=148\\ &\qquad \textrm{didapatkan nilai}\: \: n=37\\ &\qquad S_{n}=\displaystyle \frac{n}{2}\left ( a+u_{n} \right )=\frac{37}{2}(4+148)=\color{red}2812\\ &\bullet \quad \textrm{barisan kedua adalah bilangan asli}\\ &\qquad \textrm{yang habis dibagi}=4\times 7=28\\ &\qquad u_{1}=a=28,\: \: b=28,\: \: U_{n}=140\\ &\qquad \textrm{didapatkan nilai}\: \: n=5\\ &\qquad S_{n}=\displaystyle \frac{n}{2}\left ( a+u_{n} \right )=\frac{5}{2}(28+140)=\color{red}420\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, jumlah bilangan yang dimaksud}\\ &\textrm{adalah}\: \: \color{red}\textrm{2812}-420=2392 \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian}\\ &\textrm{dengan panjang membentuk suatu}\\ &\textrm{barisan geometri. Jika panjang tali}\\ &\textrm{terpendek adalah 3 cm dan yang}\\ &\textrm{terpanjang 96 cm, berapakah panjang}\\ &\textrm{tali sebelum terpotong}?\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan panjang tali yang dimaksud}\\ &a,\: ar,\: ar^{2},\: ar^{3},\: ar^{4},\: ar^{5}\\ &\textrm{Dan diketahui juga bahwa}\\ &\begin{cases} a & =\textrm{3 cm} \\ ar^{5} & =\textrm{96 cm} \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}ar^{5}&=96\\ \Leftrightarrow &\: \: 3.r^{5}=96\\ \Leftrightarrow &\: \: r^{5}=32\\ \Leftrightarrow &\: \: r^{5}=2^{5}\\ \Leftrightarrow &\: \: r=2\\ \color{blue}S_{n}&=\displaystyle \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1},\: \: r\geq 1\\ &=\displaystyle \frac{3\left (2^{6}-1 \right )}{2-1}=3\times \left ( 64-1 \right )\\ &=3\times 63=\color{red}189\: \textrm{cm} \end{aligned} \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, panjang talinya sebelum dipotong}\\ &\textrm{adalah}\: \: \color{red}\textrm{189 cm} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Jumlah penduduk suatu kota setiap }\\ &\textrm{10 tahun menjadi dua kali lipat}.\\ &\textrm{Jika menurut perhitungan pada tahun}\\ &\textrm{2030 nanti akan mencapai 3,2 juta jiwa}\\ &\textrm{berapakah jumlah penduduk kota tersebut}\\ &\textrm{pada tahun 1980}?\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dari soal diketahui bahwa}\\ &\underset{a}{\begin{matrix} 1980\\ \downarrow \end{matrix}},\: \underset{ar}{\begin{matrix} 1990\\ \downarrow \end{matrix}},\: \underset{ar^{2}}{\begin{matrix} 2000\\ \downarrow \end{matrix}},\: \underset{ar^{3}}{\begin{matrix} 2010\\ \downarrow \end{matrix}},\: \underset{ar^{4}}{\begin{matrix} 2020\\ \downarrow \end{matrix}},\: \underset{ar^{5}}{\begin{matrix} 2030\\ \downarrow \end{matrix}}\\ &\quad \color{red}?\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 3,2\: \textrm{juta}\\ &\textrm{dengan}\\ &\begin{cases} r &=2 \\ n & =6 \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\: U_{6}=ar^{5}&=3.200.000&\\ a.2^{5}&=3.200.000\\ a.32&=3.200.000\\ a&=\displaystyle \frac{3.200.000}{32}\\ &=\color{red}100.000 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, jumlah penduduk pada tahun 1980}\\ &\textrm{sejumlah}\: \: \color{red}\textrm{100.000 jiwa} \end{array}$.
DAFTAR PUSTAKA
- Kuntarti,Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
- Mauludin, U. 2005. Matematika Program Ilmu Sosial dan Bahasa untuk SMA dan MA Kelas XII. Bandung: SARANA PANCA KARYA NUSA.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi