Lanjutan 4 Contoh Soal Barisan dan Deret

 $\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Carilah semua barisan bilangan yang berupa }\\ & \text{barisan aritmetika dan sekaligus juga barisan }\\ & \text{geometri}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah bentuk barisan bilangan berikut}:\\ & \underset{\underset{{\displaystyle a}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle a}}{\updownarrow }}{U_1}},\underset{\underset{{\displaystyle ar}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+b)}}{\updownarrow }}{U_2}},\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^2}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+2b)}}{\updownarrow }}{U_3}},\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^3}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+3b)}}{\updownarrow }}{U_4}},\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^4}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+4b)}}{\updownarrow }}{U_5}},\cdots ,\underset{\underset{{\displaystyle a{r}^{n-1}}}{\updownarrow }}{\stackrel{\stackrel{{\displaystyle (a+(n-1)b)}}{\updownarrow }}{U_n}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\\ & \text{Pada BA berlaku}2U_2=U_1+U_3\\ & \text{yaitu}\{\begin{array}{ll}2(a+b)=a+(a+2b),& \text{atau}\\ 2(ar)=a+(a{r}^2)\end{array}\\ & 2ar=a+a{r}^2,\text{dibagi a masing-masing ruas}\\ & r^2-2r+1=0\\ & (r^2-2r+1)=0\\ & (r-1{)}^2=0\\ & r=1\\ & \text{Sehingga barisannya akan menjadi}\\ & a,a,a,a,\cdots \\ & \text{Pada BG juga berlaku}{U}_2^2=U_1\times U_3\\ & \text{yaitu}\{\begin{array}{ll}(a+b{)}^2=a\times (a+2b),& \text{atau}\\ (ar{)}^2=a\times (a{r}^2)\end{array}\\ & \text{ambil saja}\\ & (a+b{)}^2=a\times (a+2b)\\ & a^2+2ab+b^2=a^2+2ab\\ & b^2=0\\ & b=0\\ & \text{dan barisannya juga sama, yaitu}\\ & a,a,a,a,\cdots \\ & \text{Jadi, semua bilangan memenuhi}a\ne 0\\ & \text{saat}r=1ataub=0\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Pada waktu yang sama Anton mulai }\\ & \text{menabung Rp}10.000.000,00\text{dan Budi }\\ & \text{menabung}\text{Rp}8.000.000,00.\text{Selanjutnya}\\ & \text{Anton menabung Rp}100.000,00\text{tiap}\\ & \text{bulan dan Budi menabung Rp}150.000,00\\ & \text{Setelah berapa bulan tabungan keduanya}\\ & \text{tepat sama}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Soal di atas adalah aplikasi dari deret}\\ & \text{aritmetika}\\ & \bullet \text{barisan pertama}\\ & u_1=a=10.000.000,b=100.000\\ & \bullet \text{barisan kedua}\\ & u_1=a=8.000.000,b=150.000\\ & \text{Selanjutnya adalah}\\ & u_1+(n-1)b=u_1^{{}^{\prime }}+(n-1)b^{\prime }\\ & \iff 10.000.000+(n-1)\times 100.000\\ & =8.000.000+(n-1)\times 150.000\\ & \iff (100.000-150.000)\times (n-1)\\ & =8.000.000-10.000.000\\ & \iff -50.000(n-1)=-2.000.000\\ & \iff (n-1)={\displaystyle \frac{-2.000.000}{-50.000}=40}\\ & n=40+1=41\end{array}\\ & \text{Jadi, tabungan keduanya akan sama setelah}\\ & \text{40 bulan}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Tentukan jumlah semua bilangan asli}\\ & \text{antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4}\\ & \text{tetapi tidak habis dibagi 7}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Soal di atas adalah aplikasi dari deret}\\ & \text{aritmetika}\\ & \bullet \text{barisan pertama adalah bilangan asli}\\ & \text{yang habis dibagi 4}\\ & u_1=a=4,b=4,U_n=148\\ & U_n=a+(n-1)b=4+(n-1)4=148\\ & \text{didapatkan nilai}n=37\\ & S_n={\displaystyle \frac{n}{2}(a+u_n)=\frac{37}{2}(4+148)=2812}\\ & \bullet \text{barisan kedua adalah bilangan asli}\\ & \text{yang habis dibagi}=4\times 7=28\\ & u_1=a=28,b=28,U_n=140\\ & \text{didapatkan nilai}n=5\\ & S_n={\displaystyle \frac{n}{2}(a+u_n)=\frac{5}{2}(28+140)=420}\end{array}\\ & \text{Jadi, jumlah bilangan yang dimaksud}\\ & \text{adalah}\text{2812}-420=2392\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian}\\ & \text{dengan panjang membentuk suatu}\\ & \text{barisan geometri. Jika panjang tali}\\ & \text{terpendek adalah 3 cm dan yang}\\ & \text{terpanjang 96 cm, berapakah panjang}\\ & \text{tali sebelum terpotong}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan panjang tali yang dimaksud}\\ & a,ar,a{r}^2,a{r}^3,a{r}^4,a{r}^5\\ & \text{Dan diketahui juga bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}a& =\text{3 cm}\\ a{r}^5& =\text{96 cm}\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{rl}a{r}^5& =96\\ \iff & 3.r^5=96\\ \iff & r^5=32\\ \iff & r^5=2^5\\ \iff & r=2\\ S_n& ={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1},r\ge 1}\\ & ={\displaystyle \frac{3(2^6-1)}{2-1}=3\times (64-1)}\\ & =3\times 63=189\text{cm}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, panjang talinya sebelum dipotong}\\ & \text{adalah}\text{189 cm}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 20.& \text{Jumlah penduduk suatu kota setiap }\\ & \text{10 tahun menjadi dua kali lipat}.\\ & \text{Jika menurut perhitungan pada tahun}\\ & \text{2030 nanti akan mencapai 3,2 juta jiwa}\\ & \text{berapakah jumlah penduduk kota tersebut}\\ & \text{pada tahun 1980}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dari soal diketahui bahwa}\\ & \underset{a}{\begin{array}{c}1980\\ \downarrow \end{array}},\underset{ar}{\begin{array}{c}1990\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^2}{\begin{array}{c}2000\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^3}{\begin{array}{c}2010\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^4}{\begin{array}{c}2020\\ \downarrow \end{array}},\underset{a{r}^5}{\begin{array}{c}2030\\ \downarrow \end{array}}\\ & ?3,2\text{juta}\\ & \text{dengan}\\ & \{\begin{array}{ll}r& =2\\ n& =6\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{rlr}{U}_6=a{r}^5& =3.200.000& \\ a{.2}^5& =3.200.000\\ a.32& =3.200.000\\ a& ={\displaystyle \frac{3.200.000}{32}}\\ & =100.000\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, jumlah penduduk pada tahun 1980}\\ & \text{sejumlah}\text{100.000 jiwa}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti,Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
2. Mauludin, U. 2005. Matematika Program Ilmu Sosial dan Bahasa untuk SMA dan MA Kelas XII. Bandung: SARANA PANCA KARYA NUSA.