Tampilkan postingan dengan label Sequence and series. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Sequence and series. Tampilkan semua postingan

Lanjutan 2 Materi Barisan dan Deret (Deret Aritmetika-Geometri tak Berhingga)

Sebelum kita membahas materi seperti judul di atas, Anda dapat mengulik materi sebelumnya tentang barisan dan deret di link berikut:

Deret Aritmetika dan Geometri Sekaligus

Perhatikan barisan bilangan berikut
a,(a+b)r,(a+2b)r2,(a+3b)r3,,(a+(n1)b)rn1.
Jika deretnya berhingga maka jumlah deretnya adalah
Sn=a+(a+b)r+(a+2b)r2++(a+(n1)b)rn1rSn=ar+(a+b)r2+(a+2b)r3++(a+(n1)b)rn(1r)Sn=a(a+(n1)b)rn+br(1rn1)(1r)Sn=a(a+(n1)b)rn(1r)+br(1rn1)(1r)2.
Jika deretnya tak berhingga, maka nilai  Sn  bergantung pada nilai  limnrn
  • Jika  |r|<1, maka deretnya konvergen (memiliki jumlah atau jumlahnya dapat ditentukan), yaitu : S=a1r+br(1r)2 dengan suku awal deret geometrinya adalah 1.
  • Jika  |r|1, maka deret tak memiliki jumlah yang pas (jumlahnya tidak dapat ditentukan)

Bukti :
untuk |r|<1. Diketahui bahwa  Sn=a(a+(n1)b)rn(1r)+br(1rn1)(1r)2. Karena harga  limnrn=0, maka jumlah deretnya adalah:
limnS=limna(a+(n1)b)rn(1r)+br(1rn1)(1r)2=limna(a+(n1)b)rn(1r)+brbrn(1r)2=limna0(1r)+br0(1r)2=limna(1r)+br(1r)2=a(1r)+br(1r)2.

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah jumlah nilai dari01+12+24+38+416+532+Pembahasan:S=01+12+24+38+416+532+denganBagian aritmetikaBagian Geometri(lihat bagian pembilang)(bagian pembilang-penyebut){a=U1=0b=U2U1=10=1r=U2U1=121=12S=a(1r)+br(1r)2=0112+1×12(112)2=0+1214=0+42=2Jadi,01+12+24+38+416+532+=2.

2.Tentukanlah jumlah nilai dari12+34+58+716+932+Pembahasan:S=12+34+58+716+932+dengan suku awal geometri bukan 1, maka kita ubah menjadi2S=1+32+54+78+916+Bagian aritmetikaBagian Geometri(lihat bagian pembilang)(bagian pembilang-penyebut){a=U1=1b=U2U1=31=2r=U2U1=121=122S=a(1r)+br(1r)22S=1112+2×12(112)2=2+4=6S=3Jadi,12+34+58+716+932+=3.

3.Tentukanlah jumlah nilai dari2+52+822+1123+1424+1725+Pembahasan:S=2+52+822+1123+1424+1725+denganBagian aritmetikaBagian Geometri(lihat bagian pembilang)(bagian pembilang-penyebut){a=U1=2b=U2U1=52=3r=U2U1=121=12S=a(1r)+br(1r)2=2112+3×12(112)2=4+6=10Jadi,2+52+822+1123+1424+1725+=10.

LATIHAN SOAL.
Tentukan besar jumlah dari deret berikut
1.1+23+39+427+581+6243+2.1+33+59+727+981+11243+3.1+25+352+453+554+655+4.1+37+572+773+974+1175+5.23+39+427+581+6243+7729+6.33+59+727+981+11243+13729+7.25+352+453+554+655+756+8.37+572+773+974+1175+1376+.

DAFTAR PUSTAKA
  1. Thohir, A. 2013. Barisan dan Deret Materi Pendamping Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan: MA Futuhiyah.
SUMBER INTERNET
https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetico-geometric_sequence 



Lanjutan 3 (Barisan & Deret)

11.Hasil penjumlahan dari11.3+13.5+15.7+17.9+19.11++197.99=A.9899D.4899B.5099C.4999E.4799Pembahasan:Bentuk di atas memenuhi bentuk1x(x+2)=12(1x1(x+2)).Bentuk ini padabilangan dengan pola tertentu seperti di atas akanmenghabiskan dengan bilangan sebelahnyaatau lazim dikenal denganprinsip teleskopingSebagaimana bentuk penjumlahan dengan pola di atasmaka=12(113+1315+1517++197199)=12(1199)=12.9899=4999.

12.Diketahuix=1+p+p2+p3++pn11+p+p2+p3++pn2+pn1+pny=1+q+q2+q3++qn11+q+q2+q3++qn2+qn1+qndanp>q>0Tunjukkan bahwax<yBukti:Perhatikan bahwa:p>q>0sehingga1p<1q,1p2<1q2,,1pn<1qnJika bentuk di atas dijumlahkan, maka1p+1p2++1pn<1q+1q2++1qnpn1++p2+p+1pn<qn1++q2+q+1qnpn1+p+p2++pn1>qn1+q+q2++qn1pn1+p+p2++pn1+1>qn1+q+q2++qn1+11+p+p2++pn1+pn1+p+p2++pn1>1+q+q2++qn1+qn1+q+q2++qn11+p+p2++pn11+p+p2++pn1+pn<1+q+q2++qn11+q+q2++qn1+qnx<y.


DAFTAR PUSTAKA

  1. Aziz, A. 2016. Rahasia Juara Olimpiade Matematika SMA. Yogyakarta: ANDI.
  2. Baskoro, B.D. 2012. Aljabar dan Trigonometri Cespleng Olimpiade Matematika. Yogyakarta: BERLIAN.
  3. Bintari, N., Gunarto, D. 2007. Panduan Menguasai Soal-Soal Olimpiade Nasional & Internasional. Yogyakarta: INDONESIA CERDAS.
  4. Idris, M,. Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.
  5. Sembiring, S. 2002. Olimpiade Matematika Untuk SMU. Bandung: YRAMA WIDYA.
  6. Sembiring, S., Suparmin, S. 2015. Pena Emas OSN Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.


Lanjutan 2 (Barisan & Deret)

9.Tentukan hasil dari12+34+58+716+932+Pembahasan:Alternatif 1MisalkanS=12+34+58+716+932+maka12S=14+38+516+732+964+JikaS12S=12+24+28+216+232+264+12S=12+(12+14+18+116+132+)deret geometri12S=12+12112=12+1212=12+1=3212S=32S=3Alternatif 2S=12+34+58+716+932+dengan suku awal geometri bukan 1, maka kita ubah menjadi2S=1+32+54+78+916+Bagian aritmetikaBagian Geometri(lihat bagian pembilang)(bagian pembilang-penyebut){a=U1=1b=U2U1=31=2r=U2U1=121=122S=a(1r)+br(1r)22S=1112+2×12(112)2=2+4=6S=3Jadi,12+34+58+716+932+=3.

.Untuk link materi pada pembahasan alternatif 2. di sini

10.Hasil penjumlahan dari13+29+327+481+5243+=A.23D.43B.34C.1E.32Pembahasan:S=13+29+327+481+5243+dengan suku awal geometri bukan 1, maka kita ubah menjadi3S=1+23+39+427+581+Bagian aritmetikaBagian Geometri(lihat bagian pembilang)(bagian pembilang-penyebut){a=U1=1b=U2U1=21=1r=U2U1=131=133S=a(1r)+br(1r)23S=1113+1×13(113)2=32+34=94S=34Jadi,13+29+327+481+5243+=34 .



Lanjutan (Barisan & Deret)

5.(Lomba Matematika NasionalHIMATIKA UGM 2006)Jika bilanganA=11+1+11+2+11+3++11+100B=11+1+11+12+11+13++11+1100makaA+Bsama dengan....A.202D.100B.200C.101E.99Jawab:Perhatikan bahwaA=12+13+14++1101B=12+23+34++100101+A+B=1+1+1++1100=100.

6.(OSN tk. Kota/Kab 2002)Misalkana=121+223+325++100122001b=123+225+327++100122003Tentukanlah bilangan bulat yangnilainya paling dekat keabJawab:Perhatikan bahwaab=(121+223+325++100122001)(123+225+327++100122003)=121+(223123)+(325225)+(427327)++(100122001100022001)100122003=1+1+1++11001100122003=1001100122003=1001(200310012003)=1001×10022003>10012=500,5Jadi bilangan bulat yang paling dekatkeabadalah501.

 7.Misalkanan=n(n+1)2,tentukanlah jumlahdari1a1+1a2++1a2023Pembahasan:an=n(n+1)2,maka1an=2n(n+1)=2(1n1n+1)lihat pembahasan no.3 di atas1a1+1a2++1a2023=2((112)+(1213)++(1202212023))=2(112023)=2(20222023)=40442023.

8.Misalkannadalah bilangan aslidan{an}adalah barisan bilangan realdenganan=2n22n+12n+12n+1Tunjukkan bahwa  untuk setiap bilanganaslin,berlakua1+a2++an<1Bukti:an=2n22n+12n+12n+1=2n(2n+11)(2n1)=(12n+1112n1)a1=12111221=113a2=12211231=1317a3=12311241=17115an=12n112n+11+a1+a2+a3++an=112n+11<1.



Selingan (Barisan & Deret)

Lanjutan contoh soal dan pembahasannya terkait barisan dan deret

1.Hasil kali bilangan bentuk berikut(114)(115)(116)(11100)adalah....A.1100D.4100B.2100C.3100E.5100Jawab:Perhatikan bahwa(114)(115)(116)(11100)=(34)(45)(56)(99100)=(34)(45)(56)(99100)=3100.

2.Hasil kali bilangan bentuk berikut(123)(125)(127)(122023)adalah....A.12023D.42023B.22023C.32023E.52023Jawab:Dengan cara pembahasan pada no.1 di atas, maka(123)(125)(127)(122023)=(13)(35)(57)(20212023)=(13)(35)(57)(20212023)=12023.

 3.Bentuk sederhana dari11×2+12×3+13×4++12022×2023Pembahasan:=(112)+(1213)+(1314)+++(1202212023)=112023=20222023.

Sebagai pengingat kita1+2+3++n=n(n+1)21+3+5++(2n1)=n212+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)613+23+33++n3=(n(n+1)2)21+11+2+11+2+3++11+2+3++n=2nn+111×2+12×3+13×4++1n(n+1)=nn+111.2.3+12.3.4++1n(n+1)(n+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2).

4.Bentuk sederhana dari11+2+12+3+13+4++120232022Pembahasan:11+2=11+2×1212=1212(2)2=1212=121=2112+3=12+3×2323=23(2)2(3)2=2323=231=3213+4=13+4×3434=34(3)2(4)2=3434=341=43Sehingga=21+32+43++20232022=20231

Lanjutan 6 Contoh Soal Barisan dan Deret

26.Syarat untuk deret geometri tak hingga dengan suku pertamaakonvergen dengan jumlah 2 adalah.....A.2<a<0B.4<a<0C.0<a<2D.0<a<4E.4<a<4Jawab:Diketahui bahwaS=2,denganS=a1r1r=aSr=1aS1<1aS<12<aS<00<aS<2⇔⇔0<a2<20<a<4.

27.Tiga bilangan membentuk barisan geometridengan jumlah26.Jika suku tengah ditambah4 , maka terbentuklah barisan aritmetika, sukusuku tengah dari barisan geometri tersebut.....A.2B.4C.6D.10E.18Jawab:Barisan Geometri:U1+U2+U3=26U1+U3=26U2U22=U1.U3Barisan Aritmetika:U1,U2+4,U3U1+U3=2(U2+4)=2U2+8maka26U2=2U2+82U2U2=8263U2=18U2=183=6.

28.Selish suku tengah pada barisan aritmetikadengan suku pertama dan terakhir masing-masing 1 dan 25 dengan barisan geometriyang suku-sukunya positif dengan suku-sukupertama dan terakhir juga 1 dan 25 adalah.....A.5B.sekitar7,1C.8D.13E.18Jawab:Ut=Suku tengahBarisan Aritmetika (BA):UtBA=12(U1+Un)UtBA=12(1+25)=13Barisan Geometri (BG):Ut2=U1.UnUtBG=U1.Un=1×25=5(ambil nilai yang positif)makaUtBAUtBG=135=8.

29.UM UGMJumlah deret geometri tak hingga adalah 6Jika tiap suku dikuadratkan, maka jumlahnyaadalah4.Suku pertama deret ini adalah....A.25D.56B.35C.45E.65Jawab:DG=Deret Geometria+ar+ar2+=S=a1r=6a=6(1r)=66r............(1)Saat dikuadratkan masing-masing sukunyaa2+a2r2+a2r4+=S=a21r2=4a2=4(1r2)=44r2.......(2)Substitusi (1) ke (2), makaa2=a2(66r)2=44r23672r+36r2=44r240r272r+32=0(5r4)(r1)=0r=45(memenuhi)ataur=1(tidak)Selanjutnya kita tentukan nilaia,a=66(45)=6(15)=65.

30.Soal Mat SNMPTNAgar deret geometrix1x,1x,1x(x1)jumlahnya memiliki limit, maka nilaixharus memenuhi....A.x>0B.x<1C.0<x<1D.x>2E.x<0ataux>2Jawab:Deret Geometri (DG):x1x,1x,1x(x1)r=1xx1x=1x1Syarat DG memiliki limit (konvergen):|r|<11<r<11<1x1<1Selesaian 11<1x11x1+1>01x1+x1x1>0xx1>0Selesaian 21x1<11x11<01x1x1x1<0x+2x1<0HP:{x<0ataux>2}Berikut ilustrasi garis bilangannya(1)+++++++01(2)++++12.

Lanjutan 5 Contoh Soal Barisan dan Deret

21.Jika jumlahnsuku pertama suatu barisanadalahSn=n3+2n,maka suku keempatadalah....A.33D.63B.39C.49E.72Jawab:Diketahui jumlah dari suatu barisan bilanganadalahSn=n3+2n,makaUn=SnSn1U4=(43+2(4))(33+2(3))=(64+8)(27+6)=7233=39

22.Dari suatu deret diketahuiSn=3n215nUn=0saatn=....A.1D.4B.2C.3E.5Jawab:Perhatikan hal yang diketahui di atasUn=SnSn10=(3n215n)(3(n1)215(n1))0=3(n2(n1)2)+15(n1n)0=3(2n1)(1)+15(1)0=6n3150=6n183=n.

23.Diketahui sebuah deretUn=2an+b+4danSn=3bn2+an,maka nilaiadanbadalah....A.12dan4B.12dan4C.12dan4D.12dan4E.4dan12Jawab:Diketahui bahwaUn=2an+b+4danSn=3bn2+an,makaUn=SnSn1U2=S2S12a(2)+b+4=(3b.22+a.2)(3b.12+a.1)4a+b+4=9b+a3a8b=4........(1)Dan jugaU1=S12a(1)+b+4=3b.12+a.12a+b+4=3b+aa2b=43a6b=12........(2)Persamaan (2) disubstitusikan ke (1)3a8b=43a6b2b=4(12)2b=42b=4+12=8b=4........(3)Selanjutnya dikembalikan ke (1), maka3a8b=43a8(4)=43a+32=43a=432=36a=12.

24.Jumlahnsuku pertam sebuah barisanadalahSn=16(4n363n2n),suku kenakan mempunyai nilai terkecil untukn=....A.3D.6B.4E.7C.5Jawab:Dengan menggunakan rumusUn=SnSn1denganU1=S1,makaakan didapatkan nilaiU1=10,U2=27,U3=40,U4=49U5=54,U6=55,U7=52Kesemuanya membentuk barisan aritmetikatingkat ke-2.Berikut ilustrasinya102740495455521713951+3+4+4+4+4+4.

25.Jika suku pertama dan kedua sebuah deretgeometri masing-masing adalaha4danaxserta suku kedelapan ialaha52,maka nilaixadalah....A.32D.8B.16C.12E.4Jawab:U8=ar7=U1r7=a52U8=a4r7=a52r7=a52a4=a52+4=a56r=a.567=a8Maka nilaixnya adalahU2=U1r=ax(a4)(a8)=a4+8=axx=4.

Lanjutan 4 Contoh Soal Barisan dan Deret

 16.Carilah semua barisan bilangan yang berupa barisan aritmetika dan sekaligus juga barisan geometriJawab:Perhatikanlah bentuk barisan bilangan berikut:U1aa,U2(a+b)ar,U3(a+2b)ar2,U4(a+3b)ar3,U5(a+4b)ar4,,Un(a+(n1)b)arn1MisalkanPada BA berlaku2U2=U1+U3yaitu{2(a+b)=a+(a+2b),atau2(ar)=a+(ar2)2ar=a+ar2,dibagi a masing-masing ruasr22r+1=0(r22r+1)=0(r1)2=0r=1Sehingga barisannya akan menjadia,a,a,a,Pada BG juga berlakuU22=U1×U3yaitu{(a+b)2=a×(a+2b),atau(ar)2=a×(ar2)ambil saja(a+b)2=a×(a+2b)a2+2ab+b2=a2+2abb2=0b=0dan barisannya juga sama, yaitua,a,a,a,Jadi, semua bilangan memenuhia0saatr=1ataub=0.

17.Pada waktu yang sama Anton mulai menabung Rp10.000.000,00dan Budi menabungRp8.000.000,00.SelanjutnyaAnton menabung Rp100.000,00tiapbulan dan Budi menabung Rp150.000,00Setelah berapa bulan tabungan keduanyatepat sama....Jawab:Soal di atas adalah aplikasi dari deretaritmetikabarisan pertamau1=a=10.000.000,b=100.000barisan keduau1=a=8.000.000,b=150.000Selanjutnya adalahu1+(n1)b=u1+(n1)b10.000.000+(n1)×100.000=8.000.000+(n1)×150.000(100.000150.000)×(n1)=8.000.00010.000.00050.000(n1)=2.000.000(n1)=2.000.00050.000=40n=40+1=41Jadi, tabungan keduanya akan sama setelah40 bulan.

18.Tentukan jumlah semua bilangan asliantara 1 dan 150 yang habis dibagi 4tetapi tidak habis dibagi 7?Jawab:Soal di atas adalah aplikasi dari deretaritmetikabarisan pertama adalah bilangan asliyang habis dibagi 4u1=a=4,b=4,Un=148Un=a+(n1)b=4+(n1)4=148didapatkan nilain=37Sn=n2(a+un)=372(4+148)=2812barisan kedua adalah bilangan asliyang habis dibagi=4×7=28u1=a=28,b=28,Un=140didapatkan nilain=5Sn=n2(a+un)=52(28+140)=420Jadi, jumlah bilangan yang dimaksudadalah2812420=2392.

19.Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagiandengan panjang membentuk suatubarisan geometri. Jika panjang taliterpendek adalah 3 cm dan yangterpanjang 96 cm, berapakah panjangtali sebelum terpotong?Jawab:Misalkan panjang tali yang dimaksuda,ar,ar2,ar3,ar4,ar5Dan diketahui juga bahwa{a=3 cmar5=96 cmmakaar5=963.r5=96r5=32r5=25r=2Sn=a(rn1)r1,r1=3(261)21=3×(641)=3×63=189cmJadi, panjang talinya sebelum dipotongadalah189 cm.

20.Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi dua kali lipat.Jika menurut perhitungan pada tahun2030 nanti akan mencapai 3,2 juta jiwaberapakah jumlah penduduk kota tersebutpada tahun 1980?Jawab:Dari soal diketahui bahwa1980a,1990ar,2000ar2,2010ar3,2020ar4,2030ar5?3,2jutadengan{r=2n=6makaU6=ar5=3.200.000a.25=3.200.000a.32=3.200.000a=3.200.00032=100.000Jadi, jumlah penduduk pada tahun 1980sejumlah100.000 jiwa.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Kuntarti,Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA Standar Isi 2006. Jakarta: ESIS.
  2. Mauludin, U. 2005. Matematika Program Ilmu Sosial dan Bahasa untuk SMA dan MA Kelas XII. Bandung: SARANA PANCA KARYA NUSA.

Lanjutan 3 Contoh Soal Barisan dan Deret

 11.(UN 2014)Diketahui seutas kawat dipotong menjadi 5 bagian dan hasil potongannya membentuk deret geometri. Jika panjang kawat terpendek16 cm dan terpanjang 81 cm, maka panjang kawat semula adalah....cmA.121D.211B.130C.133E.242Jawab:Diketahui{a=U1=16Un=a.rn1Sn=a(rn1)r1U5U1=ar4a=8116r4=3424r=32,(r>1)Sehingga,S5=16((32)51)321=16(352525)12=32(2433232)=211.

12.(UMPTN 2001)Diketahui sepotong kawat dengan panjang 124 cm akan dipotong menjadi 5 bagian dan hasil potongan kawatnya membentuk barisan geometri. Jika pajang potongan kawat yang terpendek adalah 4 cm, makapotongan kawat yang terpanjang adalah....cmA.60D.72B.64C.68E.76Jawab:Perhatikan hal yang diketahui di atasS5=U1+U2+U3+U4+U5S5=a+ar+ar2+ar3+ar4124=4+4r+4r2+4r3+4r431=1+r+r2+r3+r430=r+r2+r3+r4r4+r3+r2+r30=0Perhatikanlah bahwa pada polinomr4+r3+r2+r30=0faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5.Dan faktor yang memenuhi adalah r = 2Sehingga,U5sebagai potongan kawat terpanjang;U5=ar4=4.24=4.16=64.

13.(UMPTN 2001)Diketahui rasio sebuah deret geometri tak hingga adalah3log(2x1).Jika deret tersebut memiliki jumlah (konvergen), maka nilaixyang memenuhi adalah.....A.12<x<23B.12<x<2C.23<x<2D.23x2E.12x32Jawab:Syaratkonvergen adalah|r|<1atau:1<r<1maka1<3log(2x1)<1(1).(3log3)<3log(2x1)<1.(3log3)3log31<3log(2x1)<3log3131<(2x1)<313<2x1<313+1<2x1+1<3+143<2x<423<x<2.

14.(UN 2010)Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah deret geometri dengan jumlah 14.Rasio barisan tersebut adalah ... .A.4D.12B.2C.12E.2Jawab:Barisan Aritmetika (BA){U1=aU2=a+3U3=a+6Barisan Geometri (BG){U1=aU2=a+31=a+2U3=a+6dan untuk deret geometri (DG)U1+U2+U3=14a+(a+2)+(a+6)=143a+8=143a=6a=2sehingga,r=U2U1=a+2a=42=2.

15.(UN 2009)Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketigaditambah 5, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebutadalah....A.12D.2B.34C.112E.3Jawab:Ada 2 pilihan, yaitu A dan DDiketahui bahwa{U1+U2+U3=45(DA)a+(a+b)+(a+2b)=45a+b=15a=15bU1,(U21),(U3+5)(BG)a,(a+b1),(a+2b+5)a,(14),(20+b)Pada BG berlaku142=a.(20+b)196=(15b)(20+b)196=3005bb2b2+5b104=0(b+13)(b8)=0b=13ataub=8untukb=13a=15(13)=28{BA1:28,15,2BG1:28,14,7untukb=8a=15(8)=7{BA2:7,15,23BG2:7,14,28Jadi, rasio dari barisan geometrianya ada 2 yaitu:r1=12,danr2=2.

Lanjutan 2 Contoh Soal Barisan dan Deret

6.(EBTANAS 2000)Diketahuik=525(2pk)=0,maka nilaik=525pk=....A.20D.42B.28C.30E.112Jawab:k=525(2pk)=k=5252k=525pk=0k=542542k=525pk=0k=525pk=k=1212=21.2=42.

7.(EBTANAS 2000)Nilai darik=17(12)k+1=....A.1271024D.127128B.127256C.255512E.255256Jawab:k=17(12)k+1=(12)2+(12)3+(12)4+(12)5+(12)6+(12)7+(12)8=14+18+116+132+164+1128+1256=64+32+16+8+4+2+1256=127256.

8.(UN 2013)Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ketiga  adalah 4 dan suku ketujuhnya adalah 16.Jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah....A.115D.135B.125C.130E.140Jawab:Dari soal diketahui bahwaU3=a+2b=4U7=a+6b=164b=12b=3Sehinggadidapatkannilaia=42b=42.3=2Makajumlah 10 suku pertama deret tersebut adalahSn=n2(2a+(n1)b)S10=102(2.(2)+(101).3)=5(4+27)=5(23)=115.

9.(UN 2014)Diketahui tempat duduk gedung pertunjukanfilm diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak banyak baris dibelakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Jika dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi danbaris terdepan ada 20 kursi, maka kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah....kursiA.1200D.600B.800C.720E.300Jawab:Diketahui{a=U1=20b=4n=15Sn=n2(2a+(n1)b)Sn=n2(2a+(n1)b)=152(2(20)+(151).4)=15(20+28)=15(48)=750.

10.(UN 2015)Diketahui suatu barisan aritmetika dengan sukuke-3 adalah 2 dan suku ke-8 adalah -13. Jumlah20 suku pertama dari deret tersebut adalah....A.580D.410B.490C.440E.380Jawab:Dari soal di atas diketahui bahwaU3=a+2b=2U8=a+7b=135b=15b=3Sehinggadidapatkannilaia=22b=22.(3)=8Makajumlah 20 suku pertama deret tersebut adalahSn=n2(2a+(n1)b)S20=202(2.(8)+(201).(3))=10(1657)=10(41)=410.

Contoh Soal Barisan dan Deret

 1.(EBTANAS 1999)Diketahui jumlah n suku pertama deretaritmetika dinyatakan sebagaiSn=n2+2nBeda dari deret tersebut adalah....a.3d.2b.2c.1e.3Jawab:Diketahui bahwaSn=n2+2n,dengan{S1=U1=aS2=U1+U2S3=U1+U2+U3Sn=U1+U2+U3++UnBeda=b=U2U1=(S2S1)S1=S22S1=(22+2.(2))2(12+2.(1))=(4+4)2(1+2)=86=2.

2.(UMPTN 1994)Diketahui jumlah n suku pertama suatuderet dinyatakan sebagaiSn=12nn2.Suku kelima dari deret tersebut adalah....a.1d.3b.1c.3e.0Jawab:Diketahui bahwaSn=12nn2U5=S5S4=(12.(5)(5)2)(12.(4)(4)2)=(6025)(4816)=3.

3.(EBTANAS 2000)Diketahui suku tengah suatu deret aritmetika adalah 32. Jika jumlah nsuku pertama deret itu adalah 672, maka banyak suku deret itu adalah....a.17d.23b.19c.21e.25Jawab:DiketahuiSuku tengah=Ut=U1+Un2=32danSn=n2(U1+Un)=672n(U1+U22)=67232n=672n=21.

4.(UMPTN 1997)DiketahuiUnadalah suku ke - n deret aritmetika denganU1+U2+U3=9danU3+U4+U5=15Maka jumlah lima suku pertamaderet aritmetika tersebut adalah....a.4d.15b.5c.6e.24Jawab:Diketahui bahwaU1+U2+U3=9,a+(a+b)+(a+2b)=3a+3b=9U3+U4+U5=15,(a+2b)+(a+3b)+(a+4b)=3a+9b=156b=24b=4a=7MakaS5=52(U1+U5)=52(a+a+(51)b)=52(77+4.4)=52(2)=5.

5.(EBTANAS 1999)Nilai darik=11005kk=1100(2k1)adalah....a.30.900d.15.450b.30.500c.16.250e.15.250Jawab:Diketahik=11005kk=1100(2k1)=k=1100(5k2k+1)=k=1100(3k+1)=3k=1100k+1.100=3(1002(1+100))+100=3.(5.050)+100=15.150+100=15.250.

Lanjutan Materi Barisan dan Deret

 E. Barisan Geometri

Perhatikan susunan bilangan-bilangan berikut 

1,12,14,18,116,.

dengan rincian

1u1,12u2,14u3,18u4,116u5,.

Dari pola di atas kita dapat tuliskan menjadi

1,12,12×12,12×14,12×18,.

Dari pola yang tersusun di atas terdapat hal yang menarik yaitu:

u2u1=u3u2=u4u3==unun1=12.

Selanjutnya perhatikan

u1=a=1u2=u1×12=1×12u2=a.ru3=u2×12=1×12×12=1×14u3=a.r2u4=u3×12=1×12×12×12=1×18u4=a.r3...=...un=a.rn1.

Selanjutnya pembanding yang selalu tetap dinamakan rasio atau disingkat dengan huruf  r.

F. Deret Geometri

Perhatikan bahwa pada barisan suku-suku barisan geometri jika dijumlahkan akn terbentuk deret geometri atau deret ukur

Misalkan

Sn=a+ar+ar2+ar3+ar4++arn1.

Untuk mencari besar Sn adalah dengan mensiasatinya yaitu mengalikan  r  ke  Sn sehingga menjadi bentuk

rSn=ar+ar2+ar3+ar4+ar5++arn.

Selanjutnya kita kondisikan sebagai berikut

SnrSn=(a+ar+ar2+ar3+ar4+...+arn2+arn1)(ar+ar2+ar3+ar4+ar5+...+arn1+arn)(1r)Sn=aarn=a(1rn)Sn=a(1rn)1r.

Sebagai rangkuman dari materi barisan dan deret geometri ini, perhatikan tabel berikut

NoBarisan GeometriDeret Geometri (Ukur)Syarat1U1,U2,U3,U4,...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaU1+U2+U3+U4+...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaRasio=r=U2U1=U3U2=U4U3==UnU(n1)2Un=a.r(n1)Un=a.r(n1)Ut=a.Un=Suku tengah.

NoBarisanGeometriDeret Geometri (Ukur)Syarat3Sn=a(rn1)r1atauSn=a(1rn)1rsisipankbilanganmisalU1Umingin disisipkankbilanganRasio baru=r=UmU1k+1.

NoBarisanGeometriDeret Geometri (Ukur)SyaratDeret tak HinggaDeret tak HinggaHubungan4KonvergenDivergensuku dan jumlahS=a1r,|r|<1r1ataur1U1=S1=aUn=SnS(n1).

CONTOH SOAL.

1.Tentukan suku ke12dari barisanberikut4,1,14,116,Jawab:Diketahui bahwa{u1=a=4r=u2u1=u3u2==14Untuk mencari suku ke12,makau12=a.r(121)=ar11=4.(14)11=41.411=4111=410=1410.

2.Tentukan jumlah 12 suku pertamadari4+1+14+116++1410Jawab:Diketahui bahwaSn=a(1rn)1rS12=4(1(14)12)114=4(1(14)12)34=163(1(14)12).

3.Suatu deret geometri dengan jumlahSn=3.2n1,maka suku ke2022dari deret tersebut adalah....Jawab:Diketahui bahwaSn=3.2n1,makau2022=S2022S2021Sehinggau2022=S2022S2021=(3.220221)(3.220211)=3.220223.22021=3.22021(21)=2.32021.

4.Diketahui deret geometri denganu4u6=kdanu2×u8=1k,maka suku pertamaderet geometri ini adalah....Jawab:Diketahui bahwa{u4u6=ku2×u8=1kSelanjutnyau6u4=ar5ar3=r2=1kdanu2×u8=ar×ar7=a2r8=(ar4)2=1k(u5)2=1ku5=1ksehinggau5=ar4=a(r2)21k=a(1k)2a=k2×1k=k×k×k12=k×k.12=kk.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Waji, J., Linggih, S., Syahrudin,Y.R. 1981. Ringkasan Materi IPA. Bandung: GANECA EXACT.






Barisan dan Deret

 A. Pola Bilangan

Pola bilangan dalam kaitannya dengan matematika adalah suatu susunan bilangan dengan susunan tertentu.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kue donat dalam disusun dan dikelompokkan berbentuk persegi sebagaimana ilustrasi berikut 

Jika kita cermati susunan susunan kue donat dalam kotak terkecil ke terbesar atau begitu seterusnya pada tiap-tiap terisi sejumlah : 1, 4, 9, 16, 25. Sehingga saat kita rinci 

Dapatkan Anda menentukan kelompok kotak berikutnya setelah kotak ke-5, misalnya ketak ke-6, 7, 8, dan seterusnya
Jika kue donat dalam kotak kita tabelkan akan berupa ilustrasi berikut
KelompokKue Donat dalam KotakPolaK111=1×1K244=2×2K399=3×3K41616=4×4K52525=5×5Kn??=n×n.
Dengan memperhatikan pola yang ada di atas, maka akan dengan mudah kita menentukan isi kotak ke-6, yaitu berisi 6x6 = 36 buah kue donat dean demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret suatu Bilangan

Misalkan diberikan susunan bilangan berikut
12,16,112,120,130,,19900.
Andai kita tabelkan akan berupa
Suku ke-NilaiPolaU11212=11×2U21616=12×3U3112112=13×4U4120120=14×5U5130130=15×6U991990019900=199×100.
Sehingga dari pola bilangan di atas kita dengan mudah menentukan urutan suku ke-n atau  Un  yaitu 1n×(n+1) dan andai kita diminta menentukan besar suku ke-2022 adalah 12022×2023=14090506.

C. Barisan Aritmetika

Secara definisi barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku dengan tepat suku setelahnya memiliki selisih tetap.
Sebagai ilustrasinya misalkan u1=au2=a+b, dan untuk suku ke-3 adalah u3=a+b+b=a+2b, demikian seterusnya akan selalu ditambahkan b dan selanjutnya nilai b=u2u1=u3u2=u4u3=.

Perhatikan ilustrasi berikut
u1=au2=u1+b=u1+bu3=u2+b=u1+2bu4=u3+b=u1+3bu5=u4+b=u1+4bun=u(n1)+b=u1+(n1)b.

CONTOH SOAL.

1.Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut5,2,9,16,Jawab:Diketahui bahwa5u1,2u2,9u3,16u4,,u1+(n1)bunJelas bahwab=u2u1=25=7makaU50=u1+(501).(7)=5+49.(7)=5343=338.

2.Jika diketahui barisan aritmetika dengansuku ke3=412dan suku ke8=2Tentukan suku pertama, beda serta rumussuku kenJawab:Perhatikan tabel berikutu3=412=a+2bu8=2=a+7b412(2)=5b212=5b5b=52b=12u3=a+2b=412a+2(12)=412a+1=412a=4121a=512makaun=a+(n1)bun=512+(n1).12=512+12n12=12n6.

D. Deret Aritmetika

Jika pada barisan aritmetika di atas dijumlahkan semua sukunya, maka akan terbentuklah sebuah deret hitung yang selanjutnya adalah nama lain dari deret aritmetika
Sn=a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+.
dan
Sn=a+(a+b)+(a+2b)++a+(n1)bSn=a+(n1)b++(a+2b)+(a+b)+a+2Sn=2a+(n1)b++2a+(n1)b2Sn=n(2a+(n1)b)Sn=n2(2a+(n1)b)atauSn=n2(a+a+(n1)b)=n2(u1+un).

CONTOH SOAL.

Pada contoh soal no.1 di atas tentukanlah jumlah 50 suku pertema deret aritmetika tersebut

Jawab:
DiketahuiS50=5+(2)+(9)+(16)++(338)DenganSn=12n(u1+un)S50=12.50.(5+(338))=25.(333)=8325.

Sebagai rangkumannya perhatikan tabel berikut terkait barisan dan deret aritmetika
NoBarisan AritmetikaDeret Aritmetika (Hitung)Syarat1U1,U2,U3,U4,...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaU1+U2+U3+U4+...SelanjutnyaU1,U2,U3,disebut suku-sukudanU1=a=suku pertamaBeda=b=U2U1=U3U2=U4U3==UnU(n1)2Un=a+(n1)bUn=a+(n1)bUt=U1+Un2=Suku tengah3Sn=12n(a+Un)sisipankbilanganmisal,U1Umingin disisipkankbilanganbeda baru=b=UmU1k+1

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
  2. Susanto, D., dkk. 2021. Matematika untuk SMA/SMK Kelas X. Klaten: MACANANJAYA CEMERLANG.