Lanjutan 3 (Barisan & Deret)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Hasil penjumlahan dari}\\ &\displaystyle \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+\frac{1}{9.11}+\cdots +\frac{1}{97.99}=\cdots \\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{A}.&\displaystyle \frac{98}{99}&&&\textrm{D}.&\displaystyle \frac{48}{99}\\\\ \textrm{B}.&\displaystyle \frac{50}{99}\qquad&\textrm{C}.&\color{red}\displaystyle \frac{49}{99}\qquad&\textrm{E}.&\displaystyle \frac{47}{99} \end{array}\\\\ &\textbf{Pembahasan}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Bentuk di atas memenuhi bentuk}\\ &\displaystyle \frac{1}{x(x+2)}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{(x+2)} \right ).\: \: \textrm{Bentuk ini pada}\\ &\textrm{bilangan dengan pola tertentu seperti di atas akan}\\ &\textrm{menghabiskan dengan bilangan sebelahnya}\\ &\textrm{atau lazim dikenal dengan}\: \: \textbf{prinsip teleskoping}\\ &\textrm{Sebagaimana bentuk penjumlahan dengan pola di atas}\\ &\textrm{maka}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +\frac{1}{97}-\frac{1}{99} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{99} \right )=\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{98}{99}=\color{red}\displaystyle \frac{49}{99} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui}\\ &x=\displaystyle \frac{1+p+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{n-1}}{1+p+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{n-2}+p^{n-1}+p^{n}} \\ &y=\displaystyle \frac{1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-1}}{1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-2}+q^{n-1}+q^{n}}\\\\ &\textrm{dan}\: \: p>q>0\\\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa}\: \: x<y \\\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}:\: \: p>q>0\\ &\textrm{sehingga}\\ &\displaystyle \frac{1}{p}< \frac{1}{q},\: \: \displaystyle \frac{1}{p^{2}}< \frac{1}{q^{2}},\cdots , \displaystyle \frac{1}{p^{n}}< \frac{1}{q^{n}}\\ &\textrm{Jika bentuk di atas dijumlahkan, maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\cdots +\frac{1}{p^{n}}< \frac{1}{q}+\frac{1}{q^{2}}+\cdots +\frac{1}{q^{n}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{p^{n-1}+\cdots +p^{2}+p+1}{p^{n}}< \displaystyle \frac{q^{n-1}+\cdots +q^{2}+q+1}{q^{n}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{p^{n}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}>\displaystyle \frac{q^{n}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{p^{n}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}\color{red}+1\color{black}>\displaystyle \frac{q^{n}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}\color{red}+1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}+p^{n}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}>\displaystyle \frac{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}}{1+p+p^{2}+\cdots +p^{n-1}+p^{n}}<\displaystyle \frac{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}{1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}}\\ &\Leftrightarrow x<y\qquad \blacksquare  \end{aligned}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Aziz, A. 2016. Rahasia Juara Olimpiade Matematika SMA. Yogyakarta: ANDI.
2. Baskoro, B.D. 2012. Aljabar dan Trigonometri Cespleng Olimpiade Matematika. Yogyakarta: BERLIAN.
3. Bintari, N., Gunarto, D. 2007. Panduan Menguasai Soal-Soal Olimpiade Nasional & Internasional. Yogyakarta: INDONESIA CERDAS.
4. Idris, M,. Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.
5. Sembiring, S. 2002. Olimpiade Matematika Untuk SMU. Bandung: YRAMA WIDYA.
6. Sembiring, S., Suparmin, S. 2015. Pena Emas OSN Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.