Lanjutan Materi (2) Turunan fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\color{blue}\textrm{B. Turunan Fungsi Trigonometri}$

Fungsi trigonometri di sini adalah suatu fungsi yang mengandung perbandingan trigonometri serta perbandingan trigonometri tersebut bukan merupakan ekponen

Kita ingat sebelumnya untuk menentukan turunan pertama suatu fungsi  $f(x)$ yang selanjutnya di dinotasikan dengan  $f'(x)$ adalah:

$\color{blue}f'(x)=\underset{h\rightarrow 0 }{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Selanjutnya dalam menentukan turunan formula di atas dapat digunakan untuk menentukan turunan pertama fungsi trigonometri, sebagai mana contoh berikut:

Ambil contoh  $\color{purple}f(x)=\sin x$, maka kita akan menentukan turuan pertamanya, yaitu:

$\color{purple}\begin{aligned}f'(x)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: 2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2x+h).\displaystyle \frac{\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle 2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2x+0)\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=\cos \displaystyle \frac{1}{2}(2x)\\ &=\cos x \end{aligned}$

Pada salah satu langkah di antara langkah di atas ada beberapa rumus yang perlu diingat saat Anda duduk di kelas XI, yaitu penggunaan rumus

$\color{blue}\sin A-\sin B=2\cos \displaystyle \frac{1}{2}(A+B)\sin \displaystyle \frac{1}{2}(A-B)$.

Anda boleh juga menggunakan rumus yang lain. Karena di dalamnya ada $\sin (x+h)$, Anda dapat menggunakan rumus berikut:

$\color{blue}\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$

Coba perhatikan penggunaanya berikut, tapi malah agak panjang dikit jadinya

$\color{purple}\begin{aligned}f'(x)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin x\left ( \cos h-1 \right )+\cos x\sin h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin x\left ( \cos h-1 \right )}{h}+\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\cos x\sin h}{h}\\ &=\sin x.\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\cos h-1}{h}+\cos x.\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin h}{h}\\ &=\sin x.\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{-2\sin ^{2}\displaystyle \frac{1}{2}h}{h}+\cos x.1\\ &=\sin x.0+\cos x\\ &=\cos x \end{aligned}$

Sampai di sini kita akan bisa coba lagi menentukan turunan pertama fungsi  kosinus, sebagaimana uraian berikut:

$\color{purple}\begin{aligned}f'(x)&=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{-2\sin \displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle -2\sin \displaystyle \frac{1}{2}(2x+h).\frac{\sin \displaystyle \frac{1}{2}h}{h}\\ &=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle -2\sin \displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\times \frac{1}{2}\\ &=-2\sin \displaystyle \frac{1}{2}(2x+0)\times \frac{1}{2}\\ &=-\sin \displaystyle \frac{1}{2}(2x)\\ &=-\sin x \end{aligned}$