Lanjutan Materi (2) Turunan fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\text{B. Turunan Fungsi Trigonometri}$

Fungsi trigonometri di sini adalah suatu fungsi yang mengandung perbandingan trigonometri serta perbandingan trigonometri tersebut bukan merupakan ekponen

Kita ingat sebelumnya untuk menentukan turunan pertama suatu fungsi  $f(x)$ yang selanjutnya di dinotasikan dengan  $f^{\prime }(x)$ adalah:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

Selanjutnya dalam menentukan turunan formula di atas dapat digunakan untuk menentukan turunan pertama fungsi trigonometri, sebagai mana contoh berikut:

Ambil contoh  $f(x)=\sin x$, maka kita akan menentukan turuan pertamanya, yaitu:

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\sin {\displaystyle \frac{1}{2}h}}}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+h).{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{1}{2}h}}{h}}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle 2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & =2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+0)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ & =\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(2x)}\\ & =\cos x\end{array}$

Pada salah satu langkah di antara langkah di atas ada beberapa rumus yang perlu diingat saat Anda duduk di kelas XI, yaitu penggunaan rumus

$\sin A-\sin B=2\cos {\displaystyle \frac{1}{2}(A+B)\sin {\displaystyle \frac{1}{2}(A-B)}}$.

Anda boleh juga menggunakan rumus yang lain. Karena di dalamnya ada $\sin (x+h)$, Anda dapat menggunakan rumus berikut:

$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$

Coba perhatikan penggunaanya berikut, tapi malah agak panjang dikit jadinya

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\cos x\sin h}{h}}}\\ & =\sin x.\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}+\cos x.\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}}\\ & =\sin x.\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{-2{\sin }^2{\displaystyle \frac{1}{2}h}}{h}+\cos x.1}\\ & =\sin x.0+\cos x\\ & =\cos x\end{array}$

Sampai di sini kita akan bisa coba lagi menentukan turunan pertama fungsi  kosinus, sebagaimana uraian berikut:

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle \frac{-2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\sin {\displaystyle \frac{1}{2}h}}}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle -2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+h).\frac{\sin {\displaystyle \frac{1}{2}h}}{h}}}\\ & =\underset{h\to 0}{\text{Lim}}{\displaystyle -2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+h)\times \frac{1}{2}}}\\ & =-2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}(2x+0)\times \frac{1}{2}}\\ & =-\sin {\displaystyle \frac{1}{2}(2x)}\\ & =-\sin x\end{array}$