Lanjutan Materi (6) Turunan Pertama Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

MASALAH YANG MELIBATKAN TURUNAN PERTAMA FUNGSI

$\color{blue}\textrm{E. Persamaan Garis Singgung}$

1. Fungsi Aljabar

Perhatikanlah gambar berikut!

Perhatikanlah kurva di atas, yaitu sebuah gambar grafik fungsi kuadrat  $\color{blue}f(x)=x^{2}-2x+1$. Misalkan kita menginginkan garis mana yang merupakan persamaan garis singgung di titik $\color{black}\left ( 2,1 \right )$?

Ada 2 unsur penting dalam menentukan persamaan garis singgung, yaitu:

• titik singgung
• gradien (kemiringan) dari garis singgung itu sendiri, yaitu : $\color{blue}m=\displaystyle \frac{dy}{dx}$

Karena salah satu unsur penentuan persamaan garis singgung telah diketahui, yaitu sebuah titik singgung, langkah berikutnya kita tinggal mencari gradien. Dalam hal ini gradien dari garis singgung diperoleh dengan memasukkan absis seteleh kurva singgung itu diturunkan pertama dan kadang dituliskan dengan notasi  Leibniz  $\color{blue}m=\left ( \displaystyle \frac{dy}{dx} \right )_{\color{black}x=a}$ atau kadang juga dituliskan dengan bentuk notasi $\color{blue}m=\left.\begin{matrix} \displaystyle \frac{dy}{dx} \end{matrix}\right|_{\color{black}x=a}$. Untuk mempermudah, oerhatikanlah kurva di atas, dari keempat garis lurus yang ada, tidak semunya menyinggung. Karena sebagian bahkan berpotongan dengan kurva. Walaupun antara titik potong dan titik singgung sama, tetapi cara mendapatkannya berbeda. Sementara kita fokus pada aplikasi turunan pertama pada suatu kurva. Coba kita perjelas lagi dengan menyertakan persamaan keempat garis lurusnya berikut

Mari kita tentukan persamaan garis singgung kurva di atas dari keempat garis lurus itu, garis yang mana?

Persamaan Garis Singgung kurva dituliskan sebagai: $\color{blue}y=m(x-a)+b$, dengan  $\color{red}(a,b)$  adalah titik singgung. Kada titik singgung juga dituliskan dengan  $\color{red}\left (a,f(a) \right )$.

Sehingga persamaan garis singgung kurva di atas adalah:

$\color{blue}\begin{aligned}f(x)=y&=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\\ m&=\color{black}2x-2\\ \left (\displaystyle \frac{dy}{dx} \right )_{x=2}&=m=\color{black}2(2)-2=4-2=2\\ \color{red}\textrm{maka}&\: \color{purple}\textrm{persamaan garis singgung kurvanya}\\ y&=m(x-a)+b\\ &=2(x-2)+1\\ &=2x-4+1\\ y&=\color{black}2x-3 \end{aligned}$.

Jadi, garis pada gambar di atas yang merupakan garis singgung kurva yang dimaksud adalah garis $\color{red}g_{3}\: :\: \color{blue}y=2x-3$.

2. Fungsi Trigonometri

Tidak jauh berbeda dengan fungsi aljabra, maka pada fungsi trigonometri berlaku sifat yang sama yang membedakan hanyanya kurvanya serta sumbu X (letak absis).

Sebagai misal kita diberikan sebuah fungsi trigonometri  $\color{blue}f(x)=y=\sin 2x$. Jika dituntut untuk menunjukkan persamaan garis singgung di titik yang berabsis  $\color{blue}\displaystyle \frac{\pi }{2}$, maka kita juga dapat dengan mudah menentukannya.

Perhatikan uraian berikut sebagai pembahasan dari permasalahan di atas.

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \: x=a=\displaystyle \frac{\pi }{2}\\ \textrm{Kita men}&\textrm{cari titik singgungnya dulu, yaitu}\\ f(a)&=\sin 2\left ( \displaystyle \frac{\pi }{2} \right )=\sin \pi =0,\\ \color{red}\left ( a,f(a) \right )&=\left ( \displaystyle \frac{\pi }{2},0 \right )\\ f(x)=y&=\sin 2x\\ m&=\color{purple}2\cos 2x\quad ......(\textbf{turunan pertama})\\ \left (\displaystyle \frac{dy}{dx} \right )_{x=\frac{\pi }{2}}&=m=\color{black}2\cos 2\left ( \displaystyle \frac{\pi }{2} \right )\\ &=\color{black}2\cos \pi =2.(-1)=-2\\ \color{red}\textrm{maka}&\: \textrm{persamaan garis singgung kurvanya}\\ y&=m(x-a)+b\\ &=-2\left ( x-\displaystyle \frac{\pi }{2} \right )+0\\ &=\color{red}-2x+\pi \end{aligned}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kurnia, N. 2018. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: Yudhistira.
2. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Kelas 2. Jakarta: ERLANGGA
3. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.