Lanjutan Materi (7) Turunan Pertama Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

MASALAH YANG MELIBATKAN TURUNAN PERTAMA FUNGSI TRIGONOMETRI

$\text{F. Fungsi Naik dan Fungsi Turun}$

Dalam menentukan interval-interval di mana fungsi naik atau turun perhatikan dulu ilustrasi berikut ini

Fungsi di atas adalah fungsi $y=f(x)=\sin x$  untuk  $0<x<\pi$  yang memepunya sumbu simetri di  $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}=0,5\pi }$. Semua garis singgung yang berada di sebelah kiri sumbu simetri akan mempunyai nilai positif dan semunya garis singgung yang berada di sebelah kanan sumbu simetri bernilai negatif tetapi garis singgung yang tepat pada sumbu simetri memiliki nilai nol.

Pada bahasan sebelumnya-lihat di sini-telah dijelaskan bahwa gradien suatu garis singgung seperti disinggung di atas merupakan nilai dari turunan fungsi pada titik singgung tersebut.

Perhatikanlah gambar ilustrasi berikut

Untuk  

$\bullet m=f^{\prime }(x)>0(\text{tanda positif})$

$\bullet m=f^{\prime }(x)=0$

$\bullet m=f^{\prime }(x)<0(\text{tanda negatif})$

Selanjutnya perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|cll|}\hline \text{Interval}& \text{Nilai}& \text{Keterangan}\\ x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}& f^{\prime }(x)>0& \text{fungsi}f\text{naik}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}& f^{\prime }(x)=0& \text{tidak naik/turun}\\ x>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}& f^{\prime }(x)<0& \text{fungsi}f\text{turun}\\ \hline\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah interval ketika fungsi}\\ & f(x)=\sin x+\cos x\text{dengan}\\ & 0<x<2\pi \\ & \text{a}.\text{naik}\\ & \text{b}.\text{turun}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & f(x)=\sin x+\cos x\\ & f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x\\ & \text{Saat}{f}^{\prime }(x)=0,\\ & f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x=0\cos x=\sin x\\ & \cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}-x}\right)\\ & x=\pm \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}-x}\right)+k.2\pi \\ & \{\begin{array}{ll}x+x& ={\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi ,\text{atau}}\\ x-x& =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi }\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \{\begin{array}{ll}x& ={\displaystyle \frac{\pi }{4}+k.\pi ,\text{atau}}\\ 0& =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi (\text{tidak memenuhi})}\end{array}\\ & \text{Sehingga nilai}x\text{yang memenuhi}:\\ & x={\displaystyle \frac{\pi }{4}\text{dan}x={\displaystyle \frac{5}{4}\pi }}\\ & \begin{array}{c}\\ & & & & & & & \\ 0& & {\displaystyle \frac{\pi }{4}}& & & {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}& & 2\pi \end{array}\\ & \text{Pilih titik uji bebas, misalkan}\\ & x={\displaystyle \frac{\pi }{6},x=\frac{\pi }{3},\text{dan}x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}}\\ & \text{untuk}x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\\ & f^{\prime }(x)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}(\text{positif})}\\ & \text{untuk}x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ & f^{\prime }(x)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}(\text{negatif})}\\ & \text{dan untuk}x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\\ & f^{\prime }(x)=\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)-\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)\\ & =0-(-1)=1(\text{positif})\\ & \begin{array}{c}\\ & & & & & & & \\ & ++& & -& -& & ++& \\ 0& & {\displaystyle \frac{\pi }{4}}& & & {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}& & 2\pi \end{array}\\ & \text{Berdasarkan garis bilangan di atas}\\ & \bullet f\text{naik pada}:0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\\ & \text{atau}{\displaystyle \frac{5\pi }{4}<x<2\pi }\\ & \bullet f\text{turun pada}:{\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah interval ketika fungsi}\\ & f(x)={\cos }^{2}x\text{dengan}\\ & 0^{\circ }<x<{360}^{\circ }\\ & \text{a}.\text{naik}\\ & \text{b}.\text{turun}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& f(x)={\cos }^{2}x\\ & f^{\prime }(x)=2\cos x(-\sin x)=-2\sin x\cos x\\ & =-\sin 2x\\ & \text{Saat}{f}^{\prime }(x)=0\\ & -\sin 2x=0\\ & \sin 2x=0\\ & \sin 2x=\sin 0^{\circ }\\ & \begin{array}{ll}\begin{array}{rl}2x& =0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& =0^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ k& =0\Rightarrow x_1={180}^{\circ }\\ k& =1\Rightarrow x_2={360}^{\circ }\end{array}& \begin{array}{rl}2x& ={180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={90}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ k& =0\Rightarrow x_3={90}^{\circ }\\ k& =1\Rightarrow x_4={270}^{\circ }\end{array}\end{array}\\ & \text{Lalau kita buat diagram nilai}{f}^{\prime }(x)\text{nya}\\ & \begin{array}{c}\\ & & & & & & & & & & & \\ & --& & ++& & & --& & & ++& \\ 0^{\circ }& & {90}^{\circ }& & & {180}^{\circ }& & & {270}^{\circ }& & {360}^{\circ }\end{array}\\ & \text{Berdasar garis bilangan di atas}\\ & (\text{untuk mengecek gunakan titik uji})\\ & \text{maka fungsi}f(x)\\ & \bullet \text{naik}{90}^{\circ }<x<{180}^{\circ }\text{dan}{270}^{\circ }<x<{360}^{\circ }\\ & \bullet \text{turun}{0}^{\circ }<x<{90}^{\circ }\text{dan}{180}^{\circ }<x<{270}^{\circ }\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA