Lanjutan 3 Materi Matriks (Matematika Wajib Kelas XI)

$\text{E. Determinan Matriks}$

$\text{1. Ordo 2x2}$

Misalkan A adalah matriks persegi berordo 2x2 dan dituliskan dengan  $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$  dengan  $a_{11}\text{dan}{a}_{22}$ sebagai elemen dari diagonal utama dan $a_{12}\text{dan}{a}_{21}$ adalah elemen yang menempati diagonal samping, perhatikan lagi matriks A berikut:

$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$

maka determinan dari matriks A yang berordo 2x2 adalah perkalian elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali perkalian diagonal samping dan di tuliskan dengan det A atau tanda |...|. Sehingga dari pengertian tersebut kita dapat menuliskan  bahwa determinan dari matriks A dalah:

$\text{det}.A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$ sama dengan

$\text{det}.A=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\times a_{22}-a_{12}\times a_{21}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Sebagai}}\text{CONTOH}\\ & \text{Diketahui sebuah matrik ordo}2x2,\text{yaitu}:\\ & A=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ -1& 4\end{array}\right),\text{maka}detA\text{adalah}:\\ & detA=\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ -1& 4\end{array}\right|=(-3)\times (-4)-(-1)\times (2)\\ & =12-(-2)=12+2=14\end{array}$

$\text{2. Ordo 3x3}$

Ada dua buah cara minimal dalam menentukan determinan matriks ordo 3x3, yaitu:

• cara menjabarkan mengikuti baris atau kolom(ekspansi kofaktor)
• aturan Sarrus

Adapun penjelasan lebih lanjut adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan diberikan matriks ordo}3x3\\ & A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\end{array}$

$\text{2.1 Menjabarkan mengikuti baris atau kolom}$

$\begin{array}{rl}\text{det A}& =a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ & \\ & \mathbf{\text{Catatan}}:\\ & \text{tanda}{a}_{ij}=\text{positif jika}i+j\text{genap}\\ & \text{tanda}{a}_{ij}=\text{negatif jika}i+j\text{ganjil}\end{array}$

Anda juga bisa menjabarkan mengikuti baris yang lain termasuk juga menjabarkan mengikuti kolom. Sehingga total cara menjabarkan ini, karena ada 3 baris dan 3 kolom total akan ada sebanyak 6 cara menentukan determinan dari matriks A tersebut.

$\text{2.2 Aturan Sarrus}$

$\begin{array}{rl}\text{det A}& =a_{11}.a_{22}.a_{33}\\ & +a_{12}.a_{23}.a_{31}\\ & +a_{13}.a_{21}.a_{32}\\ & -a_{31}{a}_{22}.a_{13}\\ & -a_{32}.a_{23}.a_{11}\\ & -a_{33}.a_{21}.a_{12}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Sebagai}}\text{CONTOH MENJABARKAN}\\ & \text{Diketahui sebuah matrik ordo}3x3,\text{yaitu}:\\ & A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 4\\ 1& 4& 3\end{array}\right),\text{maka}detA\text{dengan}\\ & \text{menjabarkan baris pertama adalah}:\\ & detA=1\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& 3\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 3\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 4\end{array}\right|\\ & =(9-16)-2(3-4)+3(4-3)\\ & =-7+2+3\\ & =-2\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Dan berikut}}\text{CONTOH aturan SARRUS}\\ & \text{Diketahui sebuah matrik ordo}3x3,\text{yaitu}:\\ & B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 3\end{array}\right),\text{maka}detB\text{dengan}\\ & \text{metode SARRUS adalah}:\\ & detB=(2.1.3)+(1.4.4)+(3.1.3)\\ & -(4.1.3)-(1.4.2)-(3.1.3)\\ & =6+16+9-12-8-9=2\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui matriks-matriks persegi berikut}\\ & \text{a}.\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 7\end{array}\right)\text{c}.\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 6& 7\end{array}\right)\\ & \text{b}.\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -3& 6\end{array}\right)\text{d}.\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2}& -2\sqrt{2}\end{array}\right)\\ & \\ & \text{Tentukanlah determinan dari}\\ & \text{matriks-matriks persegi di atas}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\text{a}.& \left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 7\end{array}\right|\\ & =(2).(7)-(3).(6)\\ & =14-18\\ & =-4\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}\text{b}.& \left|\begin{array}{cc}0& 4\\ -3& 6\end{array}\right|\\ & =(0).(6)-(4).(-3)\\ & =0-(-12)\\ & =12\\ & \end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{c}.& \left|\begin{array}{cc}-2& -3\\ 6& 7\end{array}\right|\\ & =(-2).(7)-(-3).(6)\\ & =(-14)-(-18)\\ & =-14+18\\ & =4\end{array}& \begin{array}{rl}\text{d}.& \left|\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2}& -2\sqrt{2}\end{array}\right|\\ & =(\sqrt{3}).(-2\sqrt{2})\\ & -(3\sqrt{3}).(\sqrt{2})\\ & =-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}\\ & =-5\sqrt{6}\\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah nilai}x\text{yang memenuhi persamaan}\\ & \left|\begin{array}{cc}1-x& 3\\ 2& 3-x\end{array}\right|=2\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}1-x& 3\\ 2& 3-x\end{array}\right|& =2\\ (1-x)(3-x)-(3)(2)& =2\\ 3-x-3x+x^2-6& =2\\ x^2-4x-3& =2\\ x^2-4x-5& =0\\ (x-5)(x+1)& =0\\ x-5=0\text{atau}x+1& =0\\ x=5\text{atau}x=-1& \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui matriks-matriks persegi berikut}\\ & (\text{i}).\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 4\end{array}\right)(\text{iii}).\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\\ & (\text{ii}).\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -3\\ -2& 6& 0\\ -3& 0& 6\end{array}\right)(\text{iv}).\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\\ & \\ & \text{Tentukanlah determinan matriks-matriks}\\ & \text{di atas dengan cara}\\ & \text{a}.Sarrus\\ & \text{b}.\text{Menjabarkan baris pertama}\\ & \text{c}.\text{Menjabarkan baris kedua}\\ & \text{d}.\text{Menjabarkan baris ketiga}\\ & \text{e}.\text{Menjabarkan kolom pertama}\\ & \text{f}.\text{Menjabarkan kolom kedua}\\ & \text{g}.\text{Menjabarkan kolom ketiga}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|ll|}\hline (\text{i}).\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 4\end{array}\right)& (\text{ii}).\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -3\\ -2& 6& 0\\ -3& 0& 6\end{array}\right)\\ (\text{iii}).\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)& (\text{iv}).\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\\ \begin{array}{rl}(\text{i}).& \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 4\end{array}\right|\\ & =(1)(4)(4)+\\ & (1)(5)(3)+\\ & (3)(2)(5)+\\ & -(3)(4)(3)\\ & -(5)(5)(1)\\ & -(4)(2)(1)\\ & =16+15+30\\ & -36-25-8\\ & =-8\end{array}& \begin{array}{rl}(\text{ii}).& \left|\begin{array}{ccc}-1& -2& -3\\ -2& 6& 0\\ -3& 0& 6\end{array}\right|\\ & =(-1)(6)(6)+\\ & (-2)(0)(-3)+\\ & (-3)(-2)(0)+\\ & -(-3)(6)(-3)\\ & -(0)(0)(-1)\\ & -(6)(-2)(-2)\\ & =-36+0+0\\ & -54-0-24\\ & =-114\end{array}\\ \begin{array}{rl}(\text{iii}).& \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|\\ & =(1)(5)(9)+\\ & (2)(6)(7)+\\ & (3)(4)(8)+\\ & -(7)(5)(3)\\ & -(8)(6)(1)\\ & -(9)(4)(2)\\ & =45+84+96\\ & -105-48-72\\ & =0\end{array}& \begin{array}{rl}(\text{iv}).& \left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|\\ & =(2)(2)(2)+\\ & (1)(1)(1)+\\ & (1)(1)(1)+\\ & -(1)(2)(1)\\ & -(1)(1)(2)\\ & -(2)(1)(1)\\ & =8+1+1\\ & -2-2-2\\ & =4\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \text{yang belum dibahas silahkan dibuat latihan}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Wirodikromo, S. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 2 Kelas 1 Semester 2. Jakarta: ERLANGGA