Lingkaran (Matematika Peminatan Kelas XI)

 $\text{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\text{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\text{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik ${\text{P}}^{\prime }(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $△{\text{OP}}^{\prime }\text{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di ${\text{P}}^{\prime }$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{array}{rl}& O{P}^2=(O{P}^{\prime }{)}^2+(P{P}^{\prime }{)}^2\\ & \iff r^2=x^2+y^2\\ & \iff r=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline & & \\ & x^2+y^2=r^2& \\ & & \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di O dan berjari-jari}{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui pusat lingkaran di O}\\ & \text{dengan jarijari}r={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\\ & \text{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \iff x^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10}}\right)}^2\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{10}{4},\text{atau}}\\ & \iff x^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & \text{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ & \text{adalah}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}\\ & \text{yang memenuhi persamaan}\\ & x^2+y^2=6\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2=6\\ & \text{maka }\\ & \bullet \text{pusat lingkaran adalah O}\\ & x^2+y^2=r^2\\ & \bullet \text{dengan jari-jarinya adalah}\\ & r^2=6\Rightarrow r=\sqrt{6}\\ & \text{Jadi, pusat lingkaran di O dengan}\\ & \text{jari-jari sebesar}r=\sqrt{6}\end{array}\end{array}$.

$\text{C. Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b)}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada ilustrasi gambar di atas ditunjukkan sebuah lingkaran berpusat di $N(a,b)$ dengan jari-jari  $r$, misalkan kita ambil sebuah titik $P(x,y)$ pada keliling lingkaran, maka $NP=r$.

$\begin{array}{rl}& \sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r^2\\ & (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\\ & \text{persamaan di atas adalah}\mathbf{\text{Bentuk Umum}}\\ & \text{dari}\mathbf{\text{Persamaan Lingkaran}}\text{yang}\\ & \text{berpusat di}(a,b)\end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah rangkuman berikut

$\begin{array}{|lcc|}\hline \text{Lingkaran}& x^2+y^2=r^2& (x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2\\ \text{Pusat}& (0,0)& (p,q)\\ \text{Jari-jari}& r& r\\ \begin{array}{rl}& \text{Pesamaan garis}\\ & \text{singgung melalui}\\ & \text{titik}(x_1,y_1)\\ & \text{pada lingkaran}\end{array}& x_{1}x+y_{1}y=r^2& \begin{array}{rl}& (x_1-p)(x-p)\\ & +(y_1-q)(y-q)=r^2\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis}\\ & \text{singgung dengan}\\ & \text{gradien}m\end{array}& \begin{array}{rl}& y=mx\\ & \pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}& \begin{array}{rl}& (y-q)=m(x-a)\\ & \pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Kusus untuk yang pusat  $(a,b)$ adalah:

$\begin{array}{|lc|}\hline \text{Lingkaran}& x^2+y^2+Ax+By+C=0\\ \text{Pusat}& (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)\\ \text{Jari-jari}& r=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}(A^2+B^2)-C}}\\ \begin{array}{rl}& \text{Pesamaan garis}\\ & \text{singgung melalui}\\ & \text{titik}(x_1,y_1)\\ & \text{pada lingkaran}\end{array}& \begin{array}{rl}& x_{1}x+y_{1}y\\ & +{\displaystyle \frac{A}{2}(x_1+x)}\\ & +{\displaystyle \frac{B}{2}(y_1+y)+C=0}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis}\\ & \text{singgung dengan}\\ & \text{gradien}m\end{array}& \begin{array}{rl}& y+\frac{1}{2}B=m(x+\frac{1}{2}A)\\ & \pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}(A^2+B^2)-C}}.\sqrt{m^2+1}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di (0,-2) dan berjari-jari}5\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui pusat lingkaran berpusat}\\ & \text{di}(0,-2)\text{dan berjari-jari}r=5\\ & \text{Persamaan lingkarannya adalah}:\\ & (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\\ & \iff (x-0{)}^2+(y-(-2){)}^2={\left(5\right)}^2\\ & \iff x^2+(y+2{)}^2=25,\text{atau}\\ & \iff x^2+y^2+4y+4=25\\ & \text{Jadi, persamaan lingkarannya}\\ & \text{adalah}{x}^2+y^2+4y-21=0\end{array}\end{array}$,

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan persamaan lingkaran}\\ & \text{yang berpusat di titik}M(1,3)\\ & \text{dan melalui titik}N(-2,5)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui jari-jari lingkaran}\\ & r=MN=\sqrt{(x_M-x_N{)}^2+({)}^2}\\ & \iff =\sqrt{(-2-1{)}^2+(5-3{)}^2}\\ & \iff =\sqrt{(-3{)}^2+2^2}\\ & \iff =\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ & \text{maka}\\ & \text{persamaan lingkarannya adalah}\\ & (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=r^2\\ & \iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2\\ & \iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=13\\ & \text{Jadi, jari-jari lingkarannya}\\ & \text{adalah}\sqrt{13}.\text{Dan persamaan}\\ & \text{lingkarannya adalah}:(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=13\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?}\\ & \text{a}.L\equiv (x+1{)}^2+(y+2{)}^2=9\\ & \text{b}.L\equiv (x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9\\ & \text{c}.L\equiv (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9\\ & \text{d}.L\equiv (x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9\\ & \text{e}.L\equiv (x+3{)}^2+(y-3{)}^2=9\\ & \text{f}.L\equiv (x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25\\ & \text{g}.L\equiv (x-1{)}^2+y^2=27\\ & \text{h}.L\equiv x^2+(y-1{)}^2=27\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & L\equiv (x+1{)}^2+(y+2{)}^2=9,\text{pusat di}(-1,-2)\\ & \text{dan jari-jarinya adalah}\sqrt{9}=3\\ & \text{Soal yang belum dibahas silahkan }\\ & \text{diselesaikan sendiri sebagai latihan}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukanlah pusat dan jari-jari dari }\\ & \text{persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ & \iff x^2+y^2-x+3y-{\displaystyle \frac{3}{2}=0\{\begin{array}{ll}A& =-1\\ B& =3\\ C& =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}}\\ & \text{maka}\{\begin{array}{ll}\text{Pusat}& =(-{\displaystyle \frac{-1}{2},-\frac{3}{2}})=\left({\displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2}}\right)\\ \text{Jari-jari}& =r=\sqrt{{\displaystyle \frac{(-1{)}^2}{4}+\frac{3^2}{4}-(-\frac{3}{2})}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{6}{4}}}=\sqrt{4}=2\end{array}\\ & \text{Jadi, lingkaran}2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ & \text{berpusat di}\left({\displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2}}\right)\text{dan berjari-jari}2\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-4x+3py-30=0\\ & \text{dan melalui titik}(-2,1).\text{Tentukanlah }\\ & \text{persamaan lingkaran baru yang}\\ & \text{kosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinya}\\ & \text{dua kali panjang jari-jari lingkaran semula?}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & 2x^2+2y^2-4x+3py-30=0,\text{melalui}\\ & (-2,1),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}& \text{kita tentukan harga}p\text{dulu, yaitu}:\\ & 2(-2{)}^2+2(1{)}^2-4(-2)+3p(1)-30=0\\ & \iff 8+2+8+3p-30=0\\ & \iff 3p=12\\ & \iff p=4\end{array}\\ & \text{Akibatnya persamaan lingkaran menjadi}\\ & \begin{array}{rl}& 2x^2+2y^2-4x+12y-30=0\\ & \iff x^2+y^2-2x+6y-15=0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}\text{Pusat}:\\ (-{\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B})\\ =(-{\displaystyle \frac{1}{2}.(-2),-\frac{1}{2},6})\\ =(1,-3)\\ \\ \text{Jari-jari }:\\ \begin{array}{rl}r& =\sqrt{{(-\frac{1}{2}A)}^2+(-\frac{1}{2}B)-C}\\ & =\sqrt{1^2+(-3{)}^2-(-15)}\\ & =\sqrt{1+9+15}=5\end{array}\end{array}\\ & \end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan}\text{lingkaran baru }\\ & \text{dengan pusat}(1,-3)\text{dan jari-jari}\\ & r_{\text{baru}}=2r=2.5=10\\ & (x-1{)}^2+(y+3{)}^2=(10{)}^2\\ & \iff x^2-2x+1+y^2+6x+9=100\\ & \iff x^2+y^2-2x+6y-90=0\end{array}\end{array}\end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya