Distribusi Binomial

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Binomial Newton}\end{array}$

 $\begin{array}{rl}\text{E. 1}.& \text{Binomial Newton}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah susunan bilangan berikut}\\ \\ & \begin{array}{|cl|}\hline & \\ 1=C_0^{1}1=C_1^1& (a+b{)}^1\\ & \\ 1=C_0^{2}2=C_1^{2}1=C_2^2& (a+b{)}^2\\ & \\ 1=C_0^{3}3=C_1^{3}3=C_2^{3}1=C_3^3& (a+b{)}^3\\ & \\ 1=C_0^{4}4=C_1^{4}6=C_2^{4}4=C_3^{4}1=C_4^4& (a+b{)}^4\\ ⋮& ⋮\\ dst& (a+b{)}^{\cdots }\\ & \\ ⋮& ⋮\\ & (a+b{)}^n\\ \hline\end{array}\\ \\ & \text{Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya}\\ & \text{dinamakan}\mathbf{\text{Segitiga Pascal}}\\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Bilangan}{C}_r^n=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)\text{merupakan koefisien}\\ & \text{dari binomial}(a+b{)}^n\\ & \text{Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk}\\ & n=1,2,3,4,\cdots \text{berlaku}\\ & \begin{array}{rl}(a+b{)}^n=& C_0^n{a}^n{b}^0+C_1^n{a}^{n-1}{b}^1+C_2^n{a}^{n-2}{b}^2\\ & +C_3^n{a}^{n-3}{b}^3+\cdots +C_{n-3}^n{a}^3{b}^{n-3}\\ & +C_{n-2}^n{a}^2{b}^{n-2}+C_{n-1}^n{a}^1{b}^{n-1}+C_n^n{a}^0{b}^n\\ & ={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{a}^{n-r}{b}^r}\end{array}\\ & \end{array}$

$\text{E. 2 Perluasan Binomial Newton}$

$\begin{array}{rl}& \text{Untuk bilangan real}n\text{dan bilangan}\\ & \text{non negatif}r,\text{serta}\left|A\right|<1,\text{berlaku}:\\ & (1+A{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{A}^r}\end{array}$

$\text{E. 3 Teorema Multinomial}$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi  $(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_r{)}^n$  dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari  $x_1^{n_1}{x}_2^{n_2}{x}_3^{n_3}\cdots x_r^{n_r}$   adalah  ${\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_r!}}$  dinotasikan dengan  $\left(\begin{array}{c}n\\ \\ n_1,n_2,n_3,\cdots ,n_r\end{array}\right)$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Misalkan untuk}n\text{bilangan bulat}\\ & \text{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \text{a}.(1+x{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n{C}_r^n{x}^r={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^r}}\\ & \text{b}.\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=2^n\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.(1+x)& {}^n\\ =& C_0^n{1}^n{x}^0+C_1^n{1}^{n-1}{x}^1+C_2^n{1}^{n-2}{x}^2\\ & +C_3^n{1}^{n-3}{x}^3+\cdots +C_{n-3}^n{1}^3{x}^{n-3}\\ & +C_{n-2}^n{1}^2{x}^{n-2}+C_{n-1}^n{1}^1{x}^{n-1}+C_n^n{1}^0{x}^n\\ =& C_0^n+C_1^{n}x+C_2^n{x}^2+C_3^n{x}^3+\cdots \\ & +C_{n-3}^n{x}^{n-3}+C_{n-2}^n{x}^{n-2}+C_{n-1}^n{x}^{n-1}\\ & +C_n^n{x}^n\\ \text{atau}& \text{dengan bentuk lain}\\ =& \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)x^3\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-3\end{array}\right)x^{n-3}+\left(\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right)x^{n-2}\\ & +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)x^n\\ =& {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^r}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.(1+x)& {}^n\text{lihat jawaban poin}a,\text{saat}x=1\\ (1+1)& {}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)1+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)1^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)1^3\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-3\end{array}\right)1^{n-3}+\left(\begin{array}{c}n\\ n-2\end{array}\right)1^{n-2}\\ & +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)1^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)1^n\\ (2)& {}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)\\ & +\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)\\ =& {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}\\ \text{Sehing}& \text{ga}\\ 2^n& ={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Misalkan untuk}n\text{bilangan bulat}\\ & \text{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-\cdots +(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=0\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Sebelumnya diketahui bahwa}\\ & \begin{array}{rl}& (a+b{)}^n={\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)a^{n-r}{b}^r}\\ & \text{atau}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)a^{n-r}{b}^r=(a+b{)}^n}\\ & ⧫\text{saat}a=b=1,\text{maka}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)1^{n-r}{1}^r=(1+1{)}^n}\\ & \iff {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=2^n...(\text{bukti no. 1.b})}\\ & ⧫\text{saat}a=1\mathrm{\&}b=-1\text{maka}\\ & {\displaystyle \sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)1^{n-r}(-1{)}^r=(1-1{)}^n=0}\\ & \text{Sehingga}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-\cdots +(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=0◼\end{array}\end{array}$

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Distribusi Binomial}\end{array}$

Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja  $a$  dan  $b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $G$ atau muncul sisi angka $A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.

Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $Bernoulli$. Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $n$ kali dinamakan dengan  $\text{percobaan}\text{Binomial}$.

Variabel acak $X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai  Variabel Acak Binomial. 

Berikut ciri-ciri percobaan binomial

• Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak  $n$  kali, dengan  $n$ bilangan bulat positif
• Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
• Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses  sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah  $p$, maka peluang gagalnya adalah  $q=1-p$
• Setiap percobaan bebas $(independent)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.

Secara umum rumus fungsi  $\text{distribusi binomial}$ adalah:

$\begin{array}{rl}& f(x)=P(x;n;p)=C(n,x)p^x{q}^{n-x}=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\\ & \mathbf{\text{Keterangan}}:\\ & \bullet C(n,x)=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)=\text{koefisien bibonial}\\ & \bullet x=\text{banyak kejadian yang diharapkan},\\ & \text{dengan nilai}x=0,1,2,3,\cdots ,n\\ & \bullet p=\text{peluang kejadian yang diharapkan}\\ & \bullet q=\text{peluang kejadian yang tidak diharapkan}\end{array}$

Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka

$\begin{array}{rl}F(t)& =P(X\le t)\\ & ={\displaystyle \sum _{x=0}^{x=t}\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}}\\ & =\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)p^0{q}^{n-0}+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)+p^1{q}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)p^2{q}^{n-2}+\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ t\end{array}\right)p^t{q}^{n-t}\end{array}$

Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai  $n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.

Hasil perhitungan $f(x)=P(x;n;p)$  juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $P(2;4;0,05)$ yang berarti  $x=2$, $n=4$,  dan  $p=0,05$ berikut tabelnya:

(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)

Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan  $F(2)=P(X\le 2)$  dari  $P(2;4;0,05)$  perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom  $p=0,05$  , lalu perhatikan baris  $x=2$  untuk  $n=2$. Berikut tabelnya

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dari sebuah survei didapatkan bahwa}\\ & \text{1 dari 5 orang berkata bah dia telah}\\ & \text{mengunjungi dokter dalam sembarang}\\ & \text{bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak}\\ & \text{maka peluang 3 orang telah berkunjung}\\ & \text{ke dokter pada bulan kemaren adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& n=10,x=3,p={\displaystyle \frac{1}{5},q=\frac{4}{5}}\\ & \text{maka}\\ & P(3;10;{\displaystyle \frac{1}{5})=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^7}\end{array}\\ & =0,201\end{array}$

$\text{TAMBAHAN}$

$\begin{array}{rl}\text{F}.& \text{Dsitribusi Poisson}\end{array}$

Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut

$\begin{array}{rl}& f(x)=P(x;n;p)\\ & =C(n,x)p^x{q}^{n-x}=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x{q}^{n-x}\end{array}$

Saat harga  $p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan  $p\to 0$, dan percobaan dilakukan banyak sekali atau  $n\to \mathrm{\infty }$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:

$f(x)=P(X=x)=P(x;\lambda )={\displaystyle \frac{{\lambda }^x}{x!}.e^{-\lambda }}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada tiap 100 lembarkertas produksi}\\ & \text{suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1}\\ & \text{lembar yang rusak. Tentukanlah}\\ & \text{kemungkinan mendapat selembar kertas}\\ & \text{dari 20 lembar yang diambil secara acak}\\ & \text{dari hasil produksi tersebut}!\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& n=10,x=1,p={\displaystyle \frac{1}{100},q=\frac{99}{100}}\\ & \text{maka penghitungan dengan}\\ & \text{rumus}\mathbf{\text{Distribusi Binomial}}\\ & P(1;20;{\displaystyle \frac{1}{100})=\left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{100}}\right)}^1{\left({\displaystyle \frac{99}{100}}\right)}^{19}}\\ & =\cdots \\ \text{b}.& \text{Dengan rumus}\mathbf{\text{Distribusi poisson}}\\ & \bullet n=20\to \text{terlalu besar, dan}\\ & \bullet p={\displaystyle \frac{1}{100}\to \text{terlalu kecil, maka}}\\ & \text{dengan}\lambda =np=20\times {\displaystyle \frac{1}{100}=0,2}\\ & \text{dan}e=2,7183(\text{bilangan Euler})\\ & f(x)=P(X=x)={\displaystyle \frac{{\lambda }^x}{x!}.e^{-\lambda }}\\ & f(1)={\displaystyle \frac{(0,2{)}^1.e^{-0,2}}{1!}}\\ & =0,2\times 0,409\\ & =0,0818\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
3. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
4. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
5. Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
6. Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA