Variabel Acak (Lanjutan Materi Distribusi Binomial)

$\color{blue}\textrm{C. Variabel Acak}$

Suatu besaran yang nilainya hanya tunggal dalam konsep matematis disebut sebagai konstanta, sedangkan besaran yang memungkinkan nilainya berbeda-beda disebut sebagai variabel/peubah.

Berkaitan dengan konsep variabel acak, pada contoh berikut akan diberikan contoh kejadian pelemparan sebuah uang koin sebanyak tiga kali dan didapatkan gambarannya sebagai berikut:

$\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \color{red}\textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned}$.

Ruang sampel yang kita dapatkan dari ilustrasi pelemparan sebuah koin sebanyak tiga kali di atas adalah: S={(A,A,A),(A,A,G),(A,G,A),(A,G,G),(G,A,A),(G,A,G),(G,G,A),(G,G,G)}, sehingga  $n(S)=8$.

Selanjutnya dalam fungsi atau pemetaan $S\rightarrow R$ yang memetakan setiap anggota S (ruang sampel) ke X (range=daerah hasil), jika X adalah kejadian munculnya nilai sisi A dari cara acak pelemparan uang koin di atas, maka kita akan memiliki data sebagaimana di bawah.

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\quad \textbf{Nilai}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow \color{magenta}(A,A,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=3\\ G\rightarrow (A,A,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2 \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2\\ G\rightarrow (A,G,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=2\\ G\rightarrow (G,A,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1 \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=1\\ G\rightarrow \color{red}(G,G,G)\rightarrow \rightarrow \rightarrow X=0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, nilai}\: \: X\: \: \textrm{yang mungkin}=\color{red}0,1,2,\: \color{black}\textrm{atau}\: \color{red}3 \end{aligned}$

Perhatikanlah contoh ilustrasi di atas, nilai  X  ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena  X  tidak memiliki nilai tunggal, maka  X  selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga  X  pada contoh di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak.

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \textrm{No}&\textrm{Istilah}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Penjelasan}\\\hline 8&\textrm{Cara}&\color{blue}\textrm{atau radom}.\: \textrm{yaitu setiap elemen populasi}\\ &\textrm{Acak}&\textrm{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ &&\textrm{sehingga bersifat objektif}\\\hline 9&\textrm{Ruang}&\textrm{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ &\textrm{Sampel}&\textrm{dari sebuah percobaan}\\\hline 10&\textrm{Variabel}&\textrm{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ &\textrm{Acak}&\textrm{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ &(\textrm{VA})&\textrm{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ &&\textrm{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ &&\textrm{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ &&\textrm{huruf kecil}\\\hline 11&(\textrm{VA})&\textrm{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ &\textrm{Diskrit}&\textrm{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ &&\textrm{bulat positif)}\\\hline 12&\textrm{VA}&\textrm{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ &\textrm{Kontinu}&\textrm{tidak bulat}\\\hline \end{array}$.

Tabel di atas adalah tabel lanjutan dari tabel pada halaman ini.

Perlu untuk dimengerti pada kasus pemisalan di atas untuk kejadian $(X=0)$ adalah ekivalen dengan kejadian $\left \{ (G,G,G) \right \}$ dengan nilai  $n\left \{ (X=0) \right \}=1$, sehingga peluang untuk kejadian ini adalah:

$P\left \{ (X=0) \right \}=\displaystyle \frac{n\left \{ (X=0) \right \}}{n(S)}=\displaystyle \frac{1}{8}$.

Selanjutnya untuk penulisan singkat dari perhitungan di atas adalah:

$P(X=0) =\displaystyle \frac{n\left \{ (X=0) \right \}}{n(S)}=\displaystyle \frac{1}{8}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ &\textrm{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ &\textrm{dua angka (contoh kasus variabel acak diskrit)}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan},\: X=\textrm{banyak kejadian muncul sisi angka}  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan uraian sampel pada materi di atas}\\ &\textrm{ada 2 sisi angka : AAG,AGA,GAA}\\ &\textrm{sehingga peluangnya}=P(X=2),\: \: \textrm{dan nilainya}\\ &P(X=2)=\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}=\color{red}\frac{3}{8} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tunjukkan bahwa total semua kejadian}\\ &\textrm{pada soal No.1 di atas, adalah 1}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan lagi ilustrasi nilai}\: \: X\: \: \textrm{yang}\\ &\textrm{mungkin, yaitu}:\: 0,1,2,\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{Karena semua kejadian saling lepas},\\ &\textrm{maka}\\ &P(X=0\cup X=1\cup X=2\cup X=3)\\ &=P(0\leq X\leq 3)\\ &=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\\ &=\displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\\ &=\displaystyle \frac{8}{8}=\color{red}1\qquad \color{black}\textbf{(terbukti)}   \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada gambar berikut diberikan ilustrasi}\\ &\textrm{papan putar} ​\end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: X_{1}\: \: \textrm{menyatakan perolehan angka pada}\\&\textrm{papan catur A. dan}\: \: X_{2}\: \: \textrm{menyatakan perolehan}\\ &\textrm{angka pada catur B. Tunjukkan bahwa}\\ &Y=X_{1}+X_{2}\: \: \textrm{adalah}\:  \textbf{variabel acak diskrit}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Pada papan putar A, peluang munculnya}\\ &\textrm{angka 2 dan 3 adalah sama, yaitu}:\\ &P(A2)=P(A3)=\displaystyle \frac{1}{4}\\ &catatan: \: \textrm{luas A1 = luas A2+A3}\\ &\textrm{Sedangkan pada papan putar B peluangnya}\\ &\textrm{sama yaitu}:P(B1)+P(B2)+P(B3)=\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned}$.

$.\qquad\begin{array}{|l|l|l|}\hline Y=X_{1}+X_{2}&\textrm{Hasil}&\textrm{Peluang}\: P(Y)\\\hline 2=1+1&(A1,B1)&\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12}\\\hline \begin{aligned}3&=1+2\\ &=2+1 \end{aligned}&\begin{aligned}&(A1,B2)\\ &(A2,B1) \end{aligned}&\begin{aligned}&\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}\\ &+\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{3}{12} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}4&=1+3\\ &=2+2\\ &=3+1 \end{aligned}&\begin{aligned}&(A1.B3)\\ &(A2,B2)\\ &(A3,B1)\end{aligned}&\begin{aligned}&\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\\ &+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{12} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}5&=2+3\\ &=3+2 \end{aligned}&\begin{aligned}&(A2,B3)\\ &(A3,B2) \end{aligned}&\begin{aligned}&\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\\ &+\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12} \end{aligned}\\\hline 6=3+3&(A3,B3)&\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}\\\hline  \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Dari tabel di atas diperoleh bahwa}\\ &P(Y=2\cup Y=3\cup Y=4\cup Y=5\cup Y=6)\\ &=P(2\leq Y\leq 6)\\ &=P(Y=2)+P(Y=3)+\cdots +P(Y=6)\\ &=\displaystyle \frac{2}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{12}{12}=1\\ &\textrm{Dari hasil di atas, maka dapat disimpulkan}\\ &Y=X_{1}+X_{2}\: \: \textrm{dengan nilai numeriknya}\\ &\textrm{adalah}\: y=2,3,4,5,6\: \: \textrm{adalah bilangan}\\ &\textrm{bulat, maka}\: \: Y\: \: \textrm{adalah}\: \:  \textbf{variabel acak}\\ &\textbf{diskrit} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H, Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.