Variabel Acak (Lanjutan Materi Distribusi Binomial)

$\text{C. Variabel Acak}$

Suatu besaran yang nilainya hanya tunggal dalam konsep matematis disebut sebagai konstanta, sedangkan besaran yang memungkinkan nilainya berbeda-beda disebut sebagai variabel/peubah.

Berkaitan dengan konsep variabel acak, pada contoh berikut akan diberikan contoh kejadian pelemparan sebuah uang koin sebanyak tiga kali dan didapatkan gambarannya sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$.

Ruang sampel yang kita dapatkan dari ilustrasi pelemparan sebuah koin sebanyak tiga kali di atas adalah: S={(A,A,A),(A,A,G),(A,G,A),(A,G,G),(G,A,A),(G,A,G),(G,G,A),(G,G,G)}, sehingga  $n(S)=8$.

Selanjutnya dalam fungsi atau pemetaan $S\to R$ yang memetakan setiap anggota S (ruang sampel) ke X (range=daerah hasil), jika X adalah kejadian munculnya nilai sisi A dari cara acak pelemparan uang koin di atas, maka kita akan memiliki data sebagaimana di bawah.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\mathbf{\text{Nilai}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\to \to \to X=3\\ G\to (A,A,G)\to \to \to X=2\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\to \to \to X=2\\ G\to (A,G,G)\to \to \to X=1\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\to \to \to X=2\\ G\to (G,A,G)\to \to \to X=1\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\to \to \to X=1\\ G\to (G,G,G)\to \to \to X=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\\ & \text{Jadi, nilai}X\text{yang mungkin}=0,1,2,\text{atau}3\end{array}$

Perhatikanlah contoh ilustrasi di atas, nilai  X  ternyata tidak memiliki nilai tunggal. Karena  X  tidak memiliki nilai tunggal, maka  X  selanjutnya disebut dengan variabel. Dan variabel seperti ini yang nilainya ditentukan oleh percobaan sehingga akan mendapatkan beberapa kemungkinan selanjutnya disebut dengan variabel acak. Sehingga  X  pada contoh di atas adalah salah satu contoh untuk variabel acak.

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula tabel berikut

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{No}& \text{Istilah}& \text{Penjelasan}\\ 8& \text{Cara}& \text{atau radom}.\text{yaitu setiap elemen populasi}\\ & \text{Acak}& \text{memiliki kesempatan yang yang sama}\\ & & \text{sehingga bersifat objektif}\\ 9& \text{Ruang}& \text{Himpunan dari semua hasil yang mungkin}\\ & \text{Sampel}& \text{dari sebuah percobaan}\\ 10& \text{Variabel}& \text{Suatu fungsi (aturan) yang memetakan }\\ & \text{Acak}& \text{setiap anggota ruang sampel dengan}\\ & (\text{VA})& \text{sebuah bilangan riil. Biasanya dinotasikan}\\ & & \text{dengan huruf besar, sedangkan nilai}\\ & & \text{variabel acaknya dinotasikan dengan}\\ & & \text{huruf kecil}\\ 11& (\text{VA})& \text{Jika VA tersebut memiliki sejumlah nilai}\\ & \text{Diskrit}& \text{yang dapat dihitung(berupa bilangan}\\ & & \text{bulat positif)}\\ 12& \text{VA}& \text{Sebaliknya yaitu berupa bilangan yang}\\ & \text{Kontinu}& \text{tidak bulat}\\ \hline\end{array}$.

Tabel di atas adalah tabel lanjutan dari tabel pada halaman ini.

Perlu untuk dimengerti pada kasus pemisalan di atas untuk kejadian $(X=0)$ adalah ekivalen dengan kejadian $\{(G,G,G)\}$ dengan nilai  $n\{(X=0)\}=1$, sehingga peluang untuk kejadian ini adalah:

$P\{(X=0)\}={\displaystyle \frac{n\{(X=0)\}}{n(S)}={\displaystyle \frac{1}{8}}}$.

Selanjutnya untuk penulisan singkat dari perhitungan di atas adalah:

$P(X=0)={\displaystyle \frac{n\{(X=0)\}}{n(S)}={\displaystyle \frac{1}{8}}}$.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah koin dilempar sebanyak tiga kali}\\ & \text{tentukan peluang mendapatkan tepat}\\ & \text{dua angka (contoh kasus variabel acak diskrit)}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan},X=\text{banyak kejadian muncul sisi angka}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan uraian sampel pada materi di atas}\\ & \text{ada 2 sisi angka : AAG,AGA,GAA}\\ & \text{sehingga peluangnya}=P(X=2),\text{dan nilainya}\\ & P(X=2)={\displaystyle \frac{n(X=2)}{n(S)}=\frac{3}{8}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tunjukkan bahwa total semua kejadian}\\ & \text{pada soal No.1 di atas, adalah 1}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan lagi ilustrasi nilai}X\text{yang}\\ & \text{mungkin, yaitu}:0,1,2,\text{dan}3\\ & \text{Karena semua kejadian saling lepas},\\ & \text{maka}\\ & P(X=0\cup X=1\cup X=2\cup X=3)\\ & =P(0\le X\le 3)\\ & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{8}=1\mathbf{\text{(terbukti)}}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Pada gambar berikut diberikan ilustrasi}\\ & \text{papan putar}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Jika}{X}_1\text{menyatakan perolehan angka pada}\\ & \text{papan catur A. dan}{X}_2\text{menyatakan perolehan}\\ & \text{angka pada catur B. Tunjukkan bahwa}\\ & Y=X_1+X_2\text{adalah}\mathbf{\text{variabel acak diskrit}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Pada papan putar A, peluang munculnya}\\ & \text{angka 2 dan 3 adalah sama, yaitu}:\\ & P(A2)=P(A3)={\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & catatan:\text{luas A1 = luas A2+A3}\\ & \text{Sedangkan pada papan putar B peluangnya}\\ & \text{sama yaitu}:P(B1)+P(B2)+P(B3)={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$.

$.\begin{array}{|lll|}\hline Y=X_1+X_2& \text{Hasil}& \text{Peluang}P(Y)\\ 2=1+1& (A1,B1)& {\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12}}\\ \begin{array}{rl}3& =1+2\\ & =2+1\end{array}& \begin{array}{rl}& (A1,B2)\\ & (A2,B1)\end{array}& \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}}\\ & +{\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{3}{12}}\end{array}\\ \begin{array}{rl}4& =1+3\\ & =2+2\\ & =3+1\end{array}& \begin{array}{rl}& (A1.B3)\\ & (A2,B2)\\ & (A3,B1)\end{array}& \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}}\\ & +\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{12}\end{array}\\ \begin{array}{rl}5& =2+3\\ & =3+2\end{array}& \begin{array}{rl}& (A2,B3)\\ & (A3,B2)\end{array}& \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}}\\ & +{\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{12}}\end{array}\\ 6=3+3& (A3,B3)& {\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}}\\ \hline\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Dari tabel di atas diperoleh bahwa}\\ & P(Y=2\cup Y=3\cup Y=4\cup Y=5\cup Y=6)\\ & =P(2\le Y\le 6)\\ & =P(Y=2)+P(Y=3)+\cdots +P(Y=6)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{12}{12}=1}\\ & \text{Dari hasil di atas, maka dapat disimpulkan}\\ & Y=X_1+X_2\text{dengan nilai numeriknya}\\ & \text{adalah}y=2,3,4,5,6\text{adalah bilangan}\\ & \text{bulat, maka}Y\text{adalah}\mathbf{\text{variabel acak}}\\ & \mathbf{\text{diskrit}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H, Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.