Vektor (Kelas X Matematika Peminatan)

 $\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut


Perhatikanlah vektor   pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf  b  kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik  $\left ( \displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2} \right )$  dan berujung di titik $\left ( \displaystyle -1,2 \right )$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil  atau ruas garis di atasnya, yaitu :  $\vec{a},\: \bar{a}$.

$\color{red}\textrm{Berikut cara penulisan notasi vektor}$
  1. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya  $\overline{PQ},\: \overline{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{AZ}$
  2. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti  $\overrightarrow{PQ},\: \overrightarrow{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{AZ}$
  3. Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu :  $\textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \textbf{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \textbf{e}$
  4. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya:  $\vec{a},\: \vec{b},\: \vec{c},\: \vec{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{e}$
  5. Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
  6. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti  $\bar{a},\: \bar{b},\: \bar{c},\: \bar{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{e}$
$\color{blue}\textrm{B. Vektor pada}\: \: \textrm{R}^{2}$

Vektor di  $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.
Perhatikanlah ilustrasi berikut
Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$  dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada   $\color{blue}\textrm{R}^{2}$  (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan  $\overline{AB}$, dengan 

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} \textrm{komponen horisontal}\\ \textrm{komponen vertikal} \end{pmatrix}$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}$
atau
$\overline{AB}=\begin{bmatrix} 1, & -3 \end{bmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{bmatrix} 4, & 3 \end{bmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{bmatrix} -4, & -2 \end{bmatrix}$

$\color{blue}\textrm{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di  $\color{blue}\textrm{R}^{2}$, yaitu:
$\left | \overline{AB} \right |,\: \left | \overline{CD} \right |,\: \: \&\: \: \left | \overline{EF} \right |$.
Misalkan suatu vektor  $\bar{u}$ dengan  $\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}$, maka panjang dari vektor  $\bar{u}$  ini dapat ditentukan dengan 
= $\left | \bar{u} \right |=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}$.
Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:
$\begin{aligned}\bullet \: \left | \overline{AB} \right |&=\color{red}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+9}\\ &=\sqrt{10}\\ \bullet \: \left | \overline{CD} \right |&=\color{red}\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}=5\\ \bullet \: \left | \overline{EF} \right |&=\color{red}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

1. Perhatikanlah gambar berikut

$\begin{array}{ll}\\ . &\textrm{Nyatakan vektor pada gambar di atas}\\ &\textrm{secara aljabar dan tentukan panjangnya}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ \bullet &\textrm{Secara aljabar dinyatakan}\\ &\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 6\\  -1 \end{pmatrix}=(6,-1)\\ &\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 10\\  5 \end{pmatrix}=(10,5)\\ &\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix}=(-3,-6)\\ \bullet &\textrm{Besar/panjang vektornya adalah}\\ &\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{6^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}\\ &\left | \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}\\ &\left | \overrightarrow{c} \right |=\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+36}\\ &\quad =\sqrt{45}=3\sqrt{5} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan panjang vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 3\\  4 \end{pmatrix},\qquad\qquad\qquad \textrm{b}.\quad\begin{pmatrix} 6\\  9 \end{pmatrix}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\left | \begin{pmatrix} 3\\  4 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\ &\left | \begin{pmatrix} 6\\  9    \end{pmatrix} \right |=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117} \end{array}$


Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Informasi