Vektor (Kelas X Matematika Peminatan)

 $\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

Vektor adalah besaran yang memiliki panjang/besar sekaligus memiliki arah. Secara geometri, vektor digambarkan dengan anak panah (ruas garis berarah) yang mana memiliki titik pangkal dan titik ujung.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Perhatikanlah vektor  b  pada gambar di atas. Vektor tersebut dilambangkan dengan sebuah huruf  b  kecil tebal yang memiliki titik pangkal pada koordinat kartesius di titik  $\left ( \displaystyle -\frac{5}{2},-\frac{3}{2} \right )$  dan berujung di titik $\left ( \displaystyle -1,2 \right )$ . Selain vektor b dituliskan dengan sebuah huruf kecil tercetak tebal dapat juga dituliskan dengan sebuah huruf kecil tanpa tercetak tebal tapi diberi anak panah kecil  atau ruas garis di atasnya, yaitu :  $\vec{a},\: \bar{a}$.

$\color{red}\textrm{Berikut cara penulisan notasi vektor}$

1. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya ada anak panah, misalnya  $\overline{PQ},\: \overline{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overline{AZ}$
2. Menggunakan dua huruf kapital yang di atasnya diberikan anak panah, seperti  $\overrightarrow{PQ},\: \overrightarrow{RS},\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{AZ}$
3. Menggunakan sebauah huruf kecil tercetak tebal seperti pembahasan sebelumnya di atas, yaitu :  $\textbf{a},\: \textbf{b},\: \textbf{c},\: \textbf{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \textbf{e}$
4. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atsnya diberikan anak panah, misalnya:  $\vec{a},\: \vec{b},\: \vec{c},\: \vec{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{e}$
5. Menggunakan sebuah huruf kecil yang bawahnya diberi garis
6. Menggunakan sebuah huruf kecil yang di atasnya diberi ruas garis, seperti  $\bar{a},\: \bar{b},\: \bar{c},\: \bar{d},\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{e}$

$\color{blue}\textrm{B. Vektor pada}\: \: \textrm{R}^{2}$

Vektor di  $\color{blue}\textrm{R}^{2}$ adalah sebuah vektor yang diwakili oleh sebuah garis berarah dalam sebuah bidang datar atau Cartesius.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan pada salah satu vektor pada gambar di atas, ambil contoh $\overline{AB}$ . Vektor tersebut dilambangkan secara geometri dengan $\overline{AB}$  dan dibaca "vektor AB" yang berarti "vektor dari titik A ke titik B", dengan titik A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujung. Sedangkan penulisan vektor secara aljabar dapat dinyatakan dalam matriks kolom atau matrik baris.

Pada   $\color{blue}\textrm{R}^{2}$  (penulisan vektor pada ruang dimensi dua) penulisan vektor ini dituliskan dengan  $\overline{AB}$, dengan 

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} \textrm{komponen horisontal}\\ \textrm{komponen vertikal} \end{pmatrix}$

Sehingga pada ilustrasi gambar di atas vektor-vektorya dapat dituliskan sebagai:

$\overline{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{pmatrix} -4\\ -2 \end{pmatrix}$

atau

$\overline{AB}=\begin{bmatrix} 1, & -3 \end{bmatrix},\: \: \overline{CD}=\begin{bmatrix} 4, & 3 \end{bmatrix},\: \: \&\: \: \overline{EF}=\begin{bmatrix} -4, & -2 \end{bmatrix}$

$\color{blue}\textrm{C. Panjang Vektor}$

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda harga mutlak. Misal pada gambar di atas pada bahasan vekor di  $\color{blue}\textrm{R}^{2}$, yaitu:

$\left | \overline{AB} \right |,\: \left | \overline{CD} \right |,\: \: \&\: \: \left | \overline{EF} \right |$.

Misalkan suatu vektor  $\bar{u}$ dengan  $\bar{u}=\begin{pmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{pmatrix}$, maka panjang dari vektor  $\bar{u}$  ini dapat ditentukan dengan 

= $\left | \bar{u} \right |=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}$.

Sehingga pada gambar di atas, panjang/besar vektornya dapat kita tentukan, yaitu:

$\begin{aligned}\bullet \: \left | \overline{AB} \right |&=\color{red}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+9}\\ &=\sqrt{10}\\ \bullet \: \left | \overline{CD} \right |&=\color{red}\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}=5\\ \bullet \: \left | \overline{EF} \right |&=\color{red}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

1. Perhatikanlah gambar berikut

$\begin{array}{ll}\\ . &\textrm{Nyatakan vektor pada gambar di atas}\\ &\textrm{secara aljabar dan tentukan panjangnya}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ \bullet &\textrm{Secara aljabar dinyatakan}\\ &\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 6\\  -1 \end{pmatrix}=(6,-1)\\ &\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 10\\  5 \end{pmatrix}=(10,5)\\ &\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix}=(-3,-6)\\ \bullet &\textrm{Besar/panjang vektornya adalah}\\ &\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{6^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}\\ &\left | \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}\\ &\left | \overrightarrow{c} \right |=\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+36}\\ &\quad =\sqrt{45}=3\sqrt{5} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan panjang vektor berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \begin{pmatrix} 3\\  4 \end{pmatrix},\qquad\qquad\qquad \textrm{b}.\quad\begin{pmatrix} 6\\  9 \end{pmatrix}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\left | \begin{pmatrix} 3\\  4 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\ &\left | \begin{pmatrix} 6\\  9    \end{pmatrix} \right |=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117} \end{array}$