Aturan Pencacahan

 $\color{blue}\textrm{A. Pendahuluan}$

$\color{blue}\textrm{A. 1 Kombiatorial}$

Dalam matematika ada cabang ilmu yang mengkhususkan mempelajari tentang pengaturan objek-objek. Cabang matematika ini selanjutnya dinamakan Kombinatorial. Hasil dari mempelajari bagian ini adalah diperoleh jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. 

Sebagai contoh nomor plat mobil di negara X terdiri atas 4 angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?

Sebagai contoh yang lain sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter sendiri boleh berupa angka atau huruf, dengan huruf besar maupun huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi-lewat (password) yang dapat dibuat?

$\color{blue}\textrm{A. 2 Percobaan}$

Hasil dari Kombinatorial ini diperoleh dari percobaan(experiment). Percobaan dalam pengertian di sini adalah Proses yang berupa tindakan yang dapat diamati. Sebagai misal dalam percobaan melempar sebuah dadu, maka hasil yang mungkin adalah munculnya salah satu muka dadu yang enam, yaitu: 1,2,3,4,5, dan 6. Setiap kali kita melempar dapat dipastikan salah satu muka dadu akan muncul

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada saat melempar sebuah koin, maka akan}\\ &\textrm{didapatkan 2 kemungkinan, yaitu muka}\\ &\textrm{gambar (G) atau muka angka (A)}\\ 2.&\textrm{Ketika melempar dua koin sekaligus, maka }\\ &\textrm{akan didapatkan kemungkinan 4 muka koin}\\ &\textrm{4 kemungkinan itu yaitu: AA, AG, GA, dan GG}\\ 3.&\textrm{Selanjutnya saat kita melempar 3 koin sekaligus}\\ &\textrm{maka kita akan mendapatkan 8 kemungkinan}\\ &\textrm{muka koin, yaitu}:\\ &\textrm{AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA,}\\ &\textrm{dan GGG}\\ 4.&\textrm{Contoh yang lain saat kita melempar dua buah}\\ &\textrm{dadu, maka kita akan mendapatkan 36 kemungkinan}\\ &\textrm{muka dadu} \end{array}$

Untuk uraian contoh pada no.3 dan 4 disertakan tabel berikut

$\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{3}&\textrm{4}\\\hline \color{red}\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\color{blue}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array}$

Sebagai catatan kemungkinan-kemungkinan yang muncul dalam setaip tindakan pada 4 contoh di atas selanjutnya akan disebut sebagai titik sampel. Titik sampel sampel sendiri adalah semua anggota dalam ruang sampel.

$\color{blue}\textrm{A. 3 Ruang sampel}$

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari dari suatu percobaan. Jika dalam ruangnya sampel hanya terdapat satu titik sampel saja, maka disebut kejadian sederhana, tetapi jika titik sampelnya lebih dari satu, maka disebutlah dengan istilah kejadian majmuk. Ruang sampel dilambangkan dengan huruf S dan banyaknya anggota (titik sampel) dalam ruang sampel ini dituliskan dengan n(S). Adapun cara menentukan ruang sampel ini dapat dilakukan dengan beberapa cara di antaranya, yaitu: dengan mendaftar, dengan tabel, dan dengan diagram pohon.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikan lagi tabel di atas}\\ &\textrm{Tuliskan lagi ruang sampelnya}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Pada tabel kolom 3, anggota}\\&\textrm{ruang sampelnya adalah sebagai berikut}\\ &\left \{AAA,AAG,AGA,AGG,GAA,GAG,GGA,GGG \right \}\\ &\textrm{Jadi},\: \: n(S)=\color{red}8 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Pada tabel kolom 4, anggota}\\&\textrm{ruang sampelnya adalah sebagai berikut}\\ &\left \{ (1,1),(1,2),(1,3),\cdots ,(6,4),(6,5),(6,6) \right \}\\ &\textrm{Jadi},\: \: n(S)=\color{red}36 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada pelemparan dua buah koin}\\ &\textrm{uang logam tentukan banyaknya }\\ &\textrm{ruang sampel dengan tabel dan}\\ &\textrm{tentukan jumlahnya}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan tabel yaitu}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline A&AA&AG\\\hline G&GA&GG\\\hline \end{array}\\ &S=\left \{ AA,AG,GA,GG \right \}\\  &\textrm{Jadi},\: \: n(S)=\color{red}4 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: IMFORMATIKA.