Materi Vektor Lanjutan (Kelas X Matematika Peminatan)

 

$\text{D. Modulus Vektor}$

Modulus suatu vektor adalah ukuran (panjang) suatu vektor. Dalam hal ini modulus suatu vektor adalah besar/panjang suatu vektor.

Lihat pada pembahasan sebelumnya tentang panjang vektor di  ${\text{R}}^2$  di sini.

Dalam menuliskan modulus/panjang vektor ini digunakan notasi  $\left|\bar{a}\right|$  jika vektornya $\bar{a}$. 

Bila  $\bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),\text{maka}\left|\bar{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

$\text{CONTOH SOAL}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

Tentukanlah modulus/panjang vektor  $\bar{u}$ ?

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa vektor}\bar{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\\ & \text{maka modulus vektor}\bar{u}\\ & =\left|\bar{u}\right|\\ & =\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\\ & =2\sqrt{13}\end{array}$

$\text{E. Vektor Posisi dan Vektor Bebas}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Vektor yang titik pangkalnya berada di titik O(0,0), maka vektor tersebut dinamakan vektor posisi. Pada gambar di atas titik A rekatif terhadapa O(0,0), maka  $\overline{OA}$ disebut vektor posisi A terhadap titik O(0,0) dan vektor yang lainnya dinamakan vektor bebas. Pada gambar di atas  $\overline{BC}\mathrm{\&}\overline{DF}$  adalah contoh vektor bebasnya.

$\text{F. Kesamaan Dua Vektor}$

Perhatikanlah dua vektor bebas pada gambar di atas, cukup jelas secara geometri tampak panjang vektor $\overline{BC}\mathrm{\&}\overline{DF}$  sama. Dan secara aljabar dapat ditunjukkan juga bahwa:

$\overline{BC}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\mathrm{\&}\overline{DF}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Secara aljabar}}\text{pula dua vektor}\\ & \text{dikatakan sama, jika komponen}\\ & \text{komponen yang bersesuaian sama}\\ & \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{a}_1& =b_1\\ a_2& =b_2\end{array}\end{array}$.

Secara definisi

$\bar{a}=\bar{b}\{\begin{array}{ll}\bullet & \left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|\\ \\ \bullet & \text{arah}\bar{a}=\text{arah}\bar{b}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{rl}1.& \text{Tentukan nilai}x\text{dan}y\text{jika}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)\\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Jelas bahwa jawabannya adalah}\\ & x=2,\text{dan}y=5\end{array}$.

$\begin{array}{rl}2.& \text{Tentukan nilai}x\text{dan}y\text{jika}\left(\begin{array}{c}x+y\\ x-y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}\right)\\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Jelas bahwa jawabannya adalah}\\ & x+y=9\\ & x-y=1\\ & ------+\\ & 2x=10\\ & x={\displaystyle \frac{10}{2}=5}\\ & \text{dan}x+y=9\iff 5+y=9\iff v=9-5=4\\ & \text{Jadi},x=5,\text{dan}y=4\end{array}$.

$\text{G. Vektor Negatif}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

$\bar{a}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)\mathrm{\&}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -6\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

Vektor  $-\bar{a}=\bar{b}$ memiliki ukuran yang sama dengan   $\bar{a}$.

Selanjutnya vektor  $\bar{a}=-\bar{b}\text{maka}\left|\bar{a}\right|=\left|\bar{b}\right|$

$\text{H. Vektor Satuan}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika diketahui  $\bar{a}\mathrm{\&}\bar{b}$ seperti gambar di atas, maka

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}}& \text{adalah vektor satuan dari vektor}\bar{a}\\ \\ {\displaystyle \frac{\bar{b}}{\left|\bar{b}\right|}}& \text{adalah vektor satuan dari vektor}\bar{b}\end{array}$ 

Dan panjang dari vektor satuan ini adalah selalu satu satuan.

$\text{CONTOH SOAL}$.

Tentukanlah vektor satuan dari dua vektor pada gambar di atas?

Jawab:

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|}}& ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)}{\sqrt{(-2{)}^2+5^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{29}}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{29}\sqrt{29}\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\bar{b}}{\left|\bar{b}\right|}}& ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)}{\sqrt{6^2+4^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{52}}\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{26}\sqrt{52}\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)}}\end{array}$

$\text{I. Vektor Basis}$

Vektor satuan yang saling tegak lurus. Didalam ruang dimensi dua terdapat dua vektir basis., yaitu:

$\overline{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{dan}\overline{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan vektor}\overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)\\ & \text{dapat dinyatakan dalam kombinasi linear}\\ & \text{vektor basis}\overline{i}\text{dan}\overline{j}\text{di atas, yaitu}\\ & \overline{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=u_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+u_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\\ & \text{maka akan menjadi}\\ & \overline{u}=u_1\overline{i}+u_2\overline{j}\\ & \text{SEBAGAI CONTOH}\\ & \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)\text{dalam vektor basis menjadi}\\ & \overline{AB}=5\overline{i}+8\overline{j}\\ & \text{Demikian juga jika}\\ & \overline{CD}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\end{array}\right)\text{dalam vektor basis menjadi}\\ & \overline{AB}=-3\overline{i}-8\overline{j}\end{array}$

$\text{J. Vektor Nol}$

Jika vektor  $\bar{a}=\bar{b}$ , maka $\bar{a}-\bar{b}=0$.

$\mathbf{\text{0}}$  disebut sebagai vektor ol.

Sebagai tabahan penjelasan vektor  $\mathbf{\text{0}}$  tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.