Perkalian Skalar Dua Vektor di Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

 $\color{blue}\textrm{L. Operasi Perkalian Dua Buah Vektor}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Bentuk perkalian dari ilustrasi dua vektor di atas dinotasikan dengan  $\color{black}\bar{a}\bullet \bar{b}$. Dimisalkan sebuah vektor  $\color{black}\bar{a}$  dan  vektor  $\color{black}\bar{b}$  membentuk sudut  $\theta$ , maka perkalian skalar dua vektor didefinisikan dengan

$\color{black}\bar{a}\bullet \bar{b}=\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta ,\: \: \color{blue}\textrm{dengan}\: \: \color{black}0^{\circ}\leq \theta \leq 180^{\circ}$

Misalkan diberikan dua vektor   

$\begin{aligned}&\bar{a}=\color{red}\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}\: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \bar{b}=\color{blue}\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}\\ &\textrm{Sesuai definisi, maka}\\ &\bar{a}\bullet \bar{b}=\color{red}\bar{a_{1}}\color{blue}\bar{b_{1}}\color{black}+\color{red}\bar{a_{2}}\color{blue}\bar{b_{2}} \end{aligned}$

Sebagai bukti diberikan uraian berikut

Perhatikanlah   $\triangle \textbf{AOB}$   di atas, saat kita menentukan ruas garis  AB  yang terbentuk dari vektor posisi  $\color{black}\bar{a}$  dan  $\color{black}\bar{b}$ dengan sudut pengapitnya adalah  $\theta$, maka kita dapat menggunakan aturan COSINUS, yaitu:

$\color{purple}\begin{aligned}\left | \overline{AB} \right |^{2}&=\left | \overline{OA} \right |^{2}+\left | \overline{OB} \right |^{2}-2\left | \overline{OA} \right |\left | \overline{OB} \right |\cos \theta \\ (b_{1}-a_{1})^{2}&+(b_{2}-a_{2})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}-2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta \\ -2a_{1}b_{1}-&2a_{2}b_{2}=-2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta \\ \displaystyle 2a_{1}b_{1}+&2a_{2}b_{2}=\displaystyle 2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta\\ &\textbf{Karena}\\ &\color{blue}\bar{a}\bullet \bar{b}=\displaystyle 2\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \theta\\ \displaystyle 2a_{1}b_{1}+&2a_{2}b_{2}=\bar{a}\bullet \bar{b}\: \: \: \color{black}\blacksquare \end{aligned}$

Dan dari bentuk di atas kita juga akan mendapatkan bentuk:

$\cos \theta =\displaystyle \frac{\bar{a}\bullet \bar{b}}{\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika diketahui}\: \: \left | \bar{a} \right |=5,\: \: \textrm{dan}\: \: \left | \bar{b} \right |=8\\ &\textrm{dan kedua vektor itu membentuk sudut}\: \: 60^{\circ}\\ &\textrm{maka nilai}\: \: \bar{a}\bullet \bar{b}=....\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\begin{aligned}\bar{a}\bullet \bar{b}&=\left | \bar{a} \right |\left | \bar{b} \right |\cos \angle \left ( \bar{a},\bar{b} \right )\\ &=5.8.\cos 60^{\circ}\\ &=40\times \displaystyle \frac{1}{2}\\ &=20 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika diketahui vektor}\: \: \bar{a} =\begin{pmatrix} 15\\ -11 \end{pmatrix},\: \: \textrm{dan}\: \: \bar{b}=\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \bar{a}\bullet \bar{b}\\\\ &\textrm{Jawab}\\ &\color{blue}\begin{aligned}\bar{a}\bullet \bar{b}&=\begin{pmatrix} 15\\ -11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=(15)(-2)+(-11)(1)\\ &=-30+(-11)\\ &=-30-11\\ &=-41 \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{M. Perbandingan Vektor}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut!

Dari gambar tersebut di atas diketahui bahwa titik P dan Q dengan koordinat masing-masing adalah  $(x_{1},y_{1})$  dan  $(x_{1},y_{1})$, dan  $\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}=m:n$ , mak vektor posisi titik T adalah $\vec{t}=\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n}$.

Berikut paparan buktinya

$\begin{aligned}\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}&=m:n\\ \displaystyle \frac{\overrightarrow{PT}}{\overrightarrow{TQ}}&=\frac{m}{n}\\ \displaystyle \frac{\vec{t}-\vec{p}}{\vec{q}-\vec{t}}&=\frac{m}{n}\\ n\left ( \vec{t}-\vec{p} \right )&=m\left ( \vec{q}-\vec{t} \right )\\ n\vec{t}-n\vec{p}&=m\vec{q}-m\vec{t}\\ m\vec{t}+n\vec{t}&=m\vec{q}+n\vec{p}\\ \vec{t}\left ( m+n \right )&=n\vec{p}+m\vec{q}\\ \vec{t}&=\color{red}\displaystyle \frac{n\vec{p}+m\vec{q}}{m+n}\qquad\quad \color{black}\blacksquare \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas. }\\ &\textrm{Jika titik T terletak pada}\: \overrightarrow{SP},\: \textrm{sehingga}\\&\: \: \overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=1:3,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah koordinat titik T}\:\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\: \: \overrightarrow{SP},\\ &\qquad \textrm{tentukanlah koordinat titik M}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline \begin{aligned}\textrm{a}.\quad \vec{t}&=\displaystyle \frac{3\vec{s}+\vec{p}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{3\begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}}{3+1}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \begin{pmatrix} -9\\ 21 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -4\\ 24 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ 6 \end{pmatrix}\\ \textrm{jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: \color{red}T(-1,6) \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \vec{m}&=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \vec{s}+\vec{p} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \begin{pmatrix} -3\\ 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2\\ 10 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{koordinat titik}\: \color{red}M(1,5)\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}\: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}.\\ &\textrm{Tentukan}\: \: m\: \: \textrm{jika}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\overrightarrow{u}&=k\vec{v}\\ &\quad (\textrm{vektor}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah})\\ \begin{pmatrix} -8\\ 2 \end{pmatrix}&=k\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4k\\ mk \end{pmatrix}\\ -8&=-4m\: \: \Rightarrow \: \: m=\displaystyle \frac{-8}{-4}=2\\ \textrm{Jadi}\: &\: \color{red}m=2\\ \end{aligned} \end{array}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ .\quad &\textrm{Nyatakan vektor-vektor pada gambar }\\ &\textrm{di atas ke dalam bentuk}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Vektor kolom}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Vektor baris}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Vektor basis} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada soal No. 1 di atas, gambarkanlah }\\ &\textrm{vektor-vektor berikut pada kertas berpetak}\\ &\textrm{a}.\quad \vec{a}+\vec{b}\\ &\textrm{b}.\quad \vec{b}+\vec{c}\\ &\textrm{c}.\quad \vec{c}+\vec{d}\\ &\textrm{d}.\quad (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\\ &\textrm{e}.\quad \vec{b}+(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{f}.\quad (\vec{a}+\vec{b})+(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{g}.\quad (\vec{a}+\vec{b})-(\vec{c}+\vec{d})\\ &\textrm{h}.\quad \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}\\ &\textrm{i}.\quad \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}+\vec{e}-\vec{f}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas.}\\ &\textrm{Jika titik T terletak pada}\: \: \overrightarrow{SP},\: \textrm{sehingga}\\ &\overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=2:3,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah koordinat titik T}\:\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\: \: \overrightarrow{SP},\\ &\qquad \textrm{tentukanlah koordinat titik M}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{u}=\begin{pmatrix} 16\\ -2 \end{pmatrix}\: \textrm{dan}\: \: \vec{v}=\begin{pmatrix} -4\\ m \end{pmatrix}.\\ &\textrm{Tentukan}\: \: m\: \: \textrm{jika}\: \: \vec{u}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{v}\: \: \textrm{sejajar dan searah}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.
2. Yuana, R. A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.