Materi Vektor Lanjutan 2 (Kelas X Matematika Peminatan)

 $\text{K. Operasi Vektor}$

$\text{1. Penjumlahan}$

$\text{1. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Penjumlahan di atas adalah penjumlahan menurut aturan segitiga, 

perhatikan pula pemisalan berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Menurut aturan segitiga}\\ & \overline{AB}+\overline{BC}=\overline{a}+\overline{b}=\overline{AC},\text{Selanjutnya}\\ & \overline{AC}+\overline{CD}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{AD},\text{maka}\\ & \overline{AD}+\overline{DE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}=\overline{AE}\end{array}$

Pada penjumlahan dengan vektor adalah tetap (tidak berubah)

$\begin{array}{rl}& \bar{a}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{a}=\bar{a}\\ & \text{Sehingga vektor nol disebut sebagai}\\ & \mathbf{\text{elemen identitas}}\end{array}$

$\text{1. 2 Secara Aljabar}$

Misal  

$\begin{array}{rl}& \bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka secara aljabar}\\ & \bar{a}+\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)\end{array}$

Perhatikan kembali gambar berikut (lihat pada pembahasan sebelumnya) 

$\text{CONTOH SOAL}$.

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4\\ (-3)+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Dan untuk contoh yang lain adalah:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}\\ & =\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}1+4+(-4)\\ (-3)+3+(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\end{array}$

$\text{2. Pengurangan}$

$\text{2. 1 Secara Geometri}$

Pada pengurangan vektor $\bar{a}\text{oleh}\bar{b}$  dapat didefinisikan sebagai:

$\bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})$. Perhatikanlah ilustrasi secara geometri berikut:

$\text{2. 2 Secara Aljabar}$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\bar{a}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\text{dan}\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\\ & \text{maka}-\bar{b}=\left(\begin{array}{c}-x_2\\ -y_2\end{array}\right)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bar{a}-\bar{b}=\bar{a}+(-\bar{b})=\left(\begin{array}{c}{x}_1-x_2\\ y_1-y_2\end{array}\right)\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

Pada contoh soal bahasan penjumlahan di atas, perhatikan lagi bahwa

Titik  A(-3,4) , B(-2,1) , C(1,1) , D(5,4) , E(7,3) & F(3,1)

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\text{dan}\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \overline{AB}-\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-4\\ (-3)-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\end{array}\right)\end{array}$

$\text{3. Perkalian dengan Skalar}$

$\text{3. 1 Secara Geometri}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut!

$\text{3. 2 Secara Aljabar}$

Perkalian suatu skalar dengan suatu vektor tergantung pada skalarnya. Jika suatu skalar  k  dengan  $k>0$,  maka perkalian ini akan menghasilkan vektor baru yang besarnya sekian  k  kali dari vektor semula  atau  $k\left|\bar{a}\right|$   dan arahnya searah dengan vektor yang dikalikan. Demikian sebaliknya, jika nilai  $k<0$, maka besar vektor hasil perkaliannya adalah  $k\left|\bar{a}\right|$  dengan arah yang berlawanan dari vektor semula.

$\text{CONTOH SOAL}$.

Misalkan diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

$\begin{array}{rl}& \overline{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right),\overline{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\text{dan}\overline{EF}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & \text{maka penjumlahan secara Aljabar}\\ & \text{dengan muculnya skalar adalah}:\\ & 3\overline{AB}+4\overline{CD}-5\overline{EF}\\ & =3\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)-5\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}3.1+4.4+(-5).(-4)\\ 3.(-3)+4.3+(-5).(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}39\\ 13\end{array}\right)\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama