Lanjutan 2 Contoh Soal Kombinasi (Dsitribusi Binomial)

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ &\textrm{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ &\textrm{kelompok, jika}\\ &\textrm{a. tanpa perlakuan khusus}\\ &\textrm{b. salah seorang harus terpilih}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tanpa perlakuan}\\ &\textrm{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ &C(10,3)=\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=\color{blue}120\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ &\color{red}(\textrm{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ &\textrm{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ &C(9,2)=\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=\color{blue}36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ &\textrm{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ &\textrm{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ &\textrm{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ &\textrm{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Banyak}\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}\\ &=\color{red}3675375 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 3 tas}\\ &\textrm{dan 4 dompet serta 5 kunci kotak motor}\\ &\textrm{di atas meja yang di atasnya telah tersedia}\\ &\textrm{10 tas, 11 dompet serta 12 kunci kontak}\\ &\textrm{motor}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Banyak}\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,3)\times C(11,4)\times C(12,5)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\times \frac{11!}{4!\times 7!}\times \frac{12!}{5!\times 7!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}\\ &=120\times 330\times 792\\ &=\color{red}31363200 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Jika mereka saling berjabat tangan}\\ &\qquad \textrm{seseorang dengan lainnya hanya satu kali}\\ &\qquad \textrm{maka banyak jabat tangan yang terjadi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Jika mereka membentuk regu voly, maka}\\ &\qquad \textrm{berapa banyak regu voly yang terbentuk}?\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Jika mereka membentuk regu sepak bola},\\ &\qquad \textrm{maka banyak regu sepak bola yang terbentuk}?\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\: \: n=20\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya}\\ &\textrm{pada dua remaja yang berbeda dan urutan}\\ &\textrm{tidak diperlukan, maka hal ini persoalan}\\ &\textrm{kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan}\\ &\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20!}{2!\times 18!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 2 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20.19.\not{18!}}{2.\not{18!}}=\color{red}190\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Karena satu regu voli ada 6 orang, maka}\\ &\begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{6!(20-6)!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{6!\times 14!}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 20\\ 6 \end{pmatrix}=\color{red}\displaystyle \frac{20.19.18.17.16.15.\not{14!}}{720\times \not{14!}}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Karena satu regu terdiri dari 11 orang},\\ &\textrm{maka}\\ &\begin{pmatrix} 20\\ 11 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{20!}{11!(20-11)!}=\color{red}\frac{20!}{11!\times 9!} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Jajargenjang yang dapat dibuat oleh}\\ &\textrm{himpunan empat garis sejajar yang}\\ &\textrm{berpotongan dengan garis yang terhimpun}\\ &\textrm{dalam 7 garis sejajar adalah}\: ....\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan}\\ &\textrm{garis sejajar yang masing-masing berjumlah}\\ &\textrm{4 dan 7 garis, maka}\: \color{red}\textrm{banyak jajar genjang}\\ &\begin{aligned}&=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 7\\ 2 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{7!}{2!\times (7-2)!}\\ &=\displaystyle \frac{4\times 3\times \not{2!}}{2\times \not{2!}}\times \frac{7\times 6\times \not{5!}}{2\times \not{5!}}\\ &=6\times 21\\ &=\color{red}126\: \: \color{black}\textrm{jajar genjang} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Banyak diagonal dapat dibentuk}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Banyak segi tiga di dalamnya}?\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Banyak perpotongan diagonal-diagonal}\\ &\qquad \textrm{jika tidak ada titik-titik perpotongan}\\ &\qquad \textrm{yang sama}?\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui segi}-n\: \: \textrm{dengan}\: \: n=6\\ &\textrm{Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan}\\ &\textrm{urutan mana yang perlu didahulukan, maka}\\ &\textrm{rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Banyak diagonalnya adalah}:\\ &\begin{pmatrix} n\\ 2\end{pmatrix}-n=\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}\\ &\Leftrightarrow \qquad\quad=\displaystyle \frac{6.(6-3)}{2}=\frac{6.3}{2}=\color{red}9\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan}\\ &\textrm{tiga garis, maka}\\ &\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{6!}{3!\times (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times \not{3!}}{6\times \not{3!}}=\color{red}20\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Satu buah titik potong dapat dibentuk}\\ &\textrm{dengan dua garis ekuivalen dengan empat}\\ &\textrm{buah titik sudut, maka banyaknya titik}\\ &\textrm{potong adalah}:\\ &\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{6!}{4!\times (6-4)!}=\frac{6!}{4!\times 2!}=\color{red}15 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut} \end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{ll}\\ .\quad\: \, &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ &\qquad \textrm{pada gambar (1)}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ &\qquad \textrm{pada gambar (2)}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ &\textrm{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ &\textrm{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ &\textrm{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ &\textrm{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ &\textrm{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ &\textrm{dan terpendek adalah}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \color{red}\textrm{atau}\: \: \color{black}\begin{pmatrix} 8\\ 5 \end{pmatrix}.\: \textrm{Misal kita hitung salah}\\ &\textrm{satunya saja}:\\ &\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\not{5!}}{6.\not{5!}}=\color{red}56 \end{aligned} \end{array}$

$.\qquad\: \, \begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ &\textrm{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ &\textrm{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ &\textrm{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ &\textrm{pada gambar berikut} \end{aligned}$

$.\qquad\: \, \begin{aligned}.\quad&\textrm{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ &\textrm{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ &\textrm{dapat dipastikan akan melewati}\\ &\textrm{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ &\textrm{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ &\textrm{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ &\textrm{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ &\textrm{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ &\textrm{simbolkan dengan}\: \: \color{red}\#PQ\: \: \color{black}\textrm{adalah}:\\ &\begin{aligned}\color{red}\#PQ&=\#PAQ+\#PBQ+\#PCQ+\#PDQ\\ &=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}+\color{magenta}\#PECQ+\#PFCQ+\#PFDQ\\ &=1.1+4.5+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\color{black}+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\color{black}+\color{magenta}\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\\ &=1+20+\color{magenta}3.1.3\color{black}+\color{magenta}3.3.3\color{black}+\color{magenta}3.1.1\\ &=1+20+9+27+3\\ &=\color{red}60 \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Berapa banyak cara memilih 3 dari}\\ &\textrm{7 hari yang disediakan}\\ &\textrm{(penglangan diperbolehkan)}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\begin{cases} n & =7\: \: \textrm{(hari)} \\  r & =3\: \:(\textrm{hari} ) \\ \bullet   & \textrm{Pengulangan dibolehkan} \end{cases}\\ &=\begin{pmatrix} n+r-1\\ r \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 7+3-1\\  3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 9\\  3 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{9!}{3!(9-3)!}=\displaystyle \frac{9!}{3!\times 6!}=\displaystyle \frac{9\times 8\times 7}{1\times 2\times 3}\\  &=\color{red}84 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Sebuah toko roti menjual 8 jenis roti}\\ &\textrm{Jika seseorang membeli 12 buah roti}\\ &\textrm{dengan setiap jenis minimal 1 buah}\\ &\textrm{berapa banyak kemungkinannya}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\begin{cases} n & =12\: \: \textrm{(buah)} \\  r & =8\: \:(\textrm{jenis roti} ) \\ \bullet   & \textrm{Pengulangan dibolehkan} \\ \bullet   & \textrm{minimal 1 jenis roti} \end{cases}\\ &=\begin{pmatrix} n-r+(r-1)\\ (r-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n-1\\  r-1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 12-1\\  8-1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 11\\  7 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{11!}{7!(11-7)!}=\displaystyle \frac{11!}{7!\times 4!}\\&=\displaystyle \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\\  &=\color{red}330 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
3. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
4. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
5. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
6. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
7. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
8. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
9. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.