Lanjutan 2 Contoh Soal Kombinasi (Dsitribusi Binomial)

 $\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 3 tas}\\ & \text{dan 4 dompet serta 5 kunci kotak motor}\\ & \text{di atas meja yang di atasnya telah tersedia}\\ & \text{10 tas, 11 dompet serta 12 kunci kontak}\\ & \text{motor}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,3)\times C(11,4)\times C(12,5)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\times \frac{11!}{4!\times 7!}\times \frac{12!}{5!\times 7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}}\\ & =120\times 330\times 792\\ & =31363200\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Suatu kelompok yang terdiri dari 20 remaja}\\ & \text{a}.\text{Jika mereka saling berjabat tangan}\\ & \text{seseorang dengan lainnya hanya satu kali}\\ & \text{maka banyak jabat tangan yang terjadi}?\\ & \text{b}.\text{Jika mereka membentuk regu voly, maka}\\ & \text{berapa banyak regu voly yang terbentuk}?\\ & \text{c}.\text{Jika mereka membentuk regu sepak bola},\\ & \text{maka banyak regu sepak bola yang terbentuk}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa}n=20\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Karena jabat tangan dilakukan hanya hanya}\\ & \text{pada dua remaja yang berbeda dan urutan}\\ & \text{tidak diperlukan, maka hal ini persoalan}\\ & \text{kombinasi. Sehingga banyaknya jabat tangan}\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{2!(20-2)!}=\frac{20!}{2!\times 18!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20.19.\text{⧸}18!}{2.\text{⧸}18!}=190}\\ \text{b}.& \text{Karena satu regu voli ada 6 orang, maka}\\ & \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{6!(20-6)!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{6!\times 14!}}\\ & \iff \left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20.19.18.17.16.15.\text{⧸}14!}{720\times \text{⧸}14!}}\\ \text{c}.& \text{Karena satu regu terdiri dari 11 orang},\\ & \text{maka}\\ & \left(\begin{array}{c}20\\ 11\end{array}\right)={\displaystyle \frac{20!}{11!(20-11)!}=\frac{20!}{11!\times 9!}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Jajargenjang yang dapat dibuat oleh}\\ & \text{himpunan empat garis sejajar yang}\\ & \text{berpotongan dengan garis yang terhimpun}\\ & \text{dalam 7 garis sejajar adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui bahwa kombinasi dari dua himpunan}\\ & \text{garis sejajar yang masing-masing berjumlah}\\ & \text{4 dan 7 garis, maka}\text{banyak jajar genjang}\\ & \begin{array}{rl}& =\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{7!}{2!\times (7-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\times 3\times \text{⧸}2!}{2\times \text{⧸}2!}\times \frac{7\times 6\times \text{⧸}5!}{2\times \text{⧸}5!}}\\ & =6\times 21\\ & =126\text{jajar genjang}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Diketahui segi enam beraturan. Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{Banyak diagonal dapat dibentuk}?\\ & \text{b}.\text{Banyak segi tiga di dalamnya}?\\ & \text{c}.\text{Banyak perpotongan diagonal-diagonal}\\ & \text{jika tidak ada titik-titik perpotongan}\\ & \text{yang sama}?\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Diketahui segi}-n\text{dengan}n=6\\ & \text{Dan perlu diingat bahwa di sini tidak diperlukan}\\ & \text{urutan mana yang perlu didahulukan, maka}\\ & \text{rumus kombinasi yang perlu digunakan, yaitu}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Banyak diagonalnya adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)-n={\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{6.(6-3)}{2}=\frac{6.3}{2}=9}\\ \text{b}.& \text{Banyaknya segi tiga, berarti melibatkan}\\ & \text{tiga garis, maka}\\ & \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{6!}{3!\times (6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times \text{⧸}3!}{6\times \text{⧸}3!}=20}\\ \text{c}.& \text{Satu buah titik potong dapat dibentuk}\\ & \text{dengan dua garis ekuivalen dengan empat}\\ & \text{buah titik sudut, maka banyaknya titik}\\ & \text{potong adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{6!}{4!\times (6-4)!}=\frac{6!}{4!\times 2!}=15}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut}\end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ & \text{pada gambar (1)}\\ & \text{b}.\text{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ & \text{pada gambar (2)}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ & \text{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ & \text{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ & \text{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ & \text{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ & \text{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ & \text{dan terpendek adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)\text{atau}\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right).\text{Misal kita hitung salah}\\ & \text{satunya saja}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\text{⧸}5!}{6.\text{⧸}5!}=56}\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ & \text{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ & \text{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ & \text{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ & \text{pada gambar berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}.& \text{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ & \text{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ & \text{dapat dipastikan akan melewati}\\ & \text{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ & \text{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ & \text{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ & \text{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ & \text{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ & \text{simbolkan dengan}\mathrm{\#}PQ\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\mathrm{\#}PQ& =\mathrm{\#}PAQ+\mathrm{\#}PBQ+\mathrm{\#}PCQ+\mathrm{\#}PDQ\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\#}PECQ+\mathrm{\#}PFCQ+\mathrm{\#}PFDQ\\ & =1.1+4.5+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\\ & =1+20+3.1.3+3.3.3+3.1.1\\ & =1+20+9+27+3\\ & =60\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Berapa banyak cara memilih 3 dari}\\ & \text{7 hari yang disediakan}\\ & \text{(penglangan diperbolehkan)}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\{\begin{array}{ll}n& =7\text{(hari)}\\ r& =3(\text{hari})\\ \bullet & \text{Pengulangan dibolehkan}\end{array}\\ & =\left(\begin{array}{c}n+r-1\\ r\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}7+3-1\\ 3\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}9\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{9!}{3!(9-3)!}={\displaystyle \frac{9!}{3!\times 6!}={\displaystyle \frac{9\times 8\times 7}{1\times 2\times 3}}}}\\ & =84\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Sebuah toko roti menjual 8 jenis roti}\\ & \text{Jika seseorang membeli 12 buah roti}\\ & \text{dengan setiap jenis minimal 1 buah}\\ & \text{berapa banyak kemungkinannya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\{\begin{array}{ll}n& =12\text{(buah)}\\ r& =8(\text{jenis roti})\\ \bullet & \text{Pengulangan dibolehkan}\\ \bullet & \text{minimal 1 jenis roti}\end{array}\\ & =\left(\begin{array}{c}n-r+(r-1)\\ (r-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1\\ r-1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}12-1\\ 8-1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)={\displaystyle \frac{11!}{7!(11-7)!}={\displaystyle \frac{11!}{7!\times 4!}}}\\ & ={\displaystyle \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =330\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
2. Ibrahim, Mussafi, N, S, M. 2013. Pengantar Kombinatorika dan Teori Graf. Yogyakarta: GRAHA ILMU.
3. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
4. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
5. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
6. Sobirin. 2006. Kompas Matematika: Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika (SMA Kelas XI IPA). Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
7. Sukino. 2011. Maestro Olimpiade Matematika SMP Seri B. Jakarta: ERLANGGA.
8. Susyanto, N, 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
9. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 2 Kelas 2 Berdasarkan Kurikulum 1994 Suplemen CBPP 1999. Jakarta: ERLANGGA.