Lanjutan 1 Contoh Soal Kombinasi (Distribusi Binomial)

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Bentuk sederhana dari}\\ & \text{a}.{\displaystyle 5!+6!+7!}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}}\\ & \text{d}.{\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& 5!+6!+7!=5!+6.5!+7.6.5!\\ & =(1+6+42).5!\\ & =49.5!=49.120=5880\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}}\\ & =(n+1)n=n^2+n\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+1)(n+1)n!}{n!}}\\ & =(n+2)(n+1)\\ & =n^2+3n+2\\ \text{d}.& {\displaystyle \frac{(n-2)!}{(n+1)!}=\frac{(n-2)!}{(n+1)n(n-1)(n-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{(n+1)n(n-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n^3-n}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.{\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \text{b}.{\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \text{c}.{\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& {\displaystyle \frac{n!3!}{6!(n-3)!}=\frac{33}{4}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)\text{⧸}(n-3)!.\text{⧸}3!}{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3!\text{⧸}(n-3)!}=\frac{33}{\text{⧸}4}}\\ & \iff n(n-1)(n-2)=33.6.5=11.10.9\\ & \iff n(n-1)(n-2)=11.(11-1).(11-2)\\ & \iff n=11\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{8!}-\frac{2}{7!}+\frac{1}{6!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{3-2.8+56}{8!}=\frac{5n+3}{8!}}\\ & \iff \frac{43}{8!}=\frac{5n+3}{8!}\\ & \iff 43=5n+3\iff 5n=40\iff n=8\\ \text{c}.& {\displaystyle \frac{7!}{5!2!}:\frac{10!}{5!5!}=1:4n}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{5!2!10!}{7!5!5!}}\\ & \iff 4n={\displaystyle \frac{\text{⧸}5!2!10.9.8.\text{⧸}7!}{\text{⧸}7!5!\text{⧸}5!}}\\ & \iff n=3\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tentukanlah nilai}n\text{yang memenuhi}\\ & \text{persamaan berikut}\\ & \text{a}.P(n,2)=42\\ & \text{b}.7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & \text{c}.3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& P(n,2)=42\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}=42}\\ & \iff {\displaystyle \frac{n!}{(n-2)!}={\displaystyle \frac{n\times (n-1)\times (n-2)!}{(n-2)!}=42}}\\ & \iff {\displaystyle n\times (n-1)=7.6=7.(7-1)}\\ & \iff n=7\\ \text{b}.& 7.P(n,3)=6.P(n+1,3)\\ & {\displaystyle \frac{7.n!}{(n-3)!}=\frac{6(n+1)!}{(n+1-3)!}}\\ & {\displaystyle \frac{7\text{⧸}n!}{(n-3)!}=\frac{6.(n+1).\text{⧸}n!}{(n-2)!}}\\ & \iff \frac{7}{\text{⧸}(n-3)!}=\frac{6n+6}{(n-1)\text{⧸}(n-3)!}\\ & \iff 7(n-2)=6n+6\\ & \iff 7n-6n=6+14\iff n=20\\ \text{c}.& 3.P(n,4)=P(n-1,5)\\ & \iff {\displaystyle \frac{3.n!}{(n-4)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1-5)!}}\\ & \iff \frac{3.n.\text{⧸}(n-1)!}{(n-4)!}=\frac{\text{⧸}(n-1)!}{(n-6)!}\\ & \iff \frac{3n}{(n-4)(n-5).\text{⧸}(n-6)!}=\frac{1}{\text{⧸}(n-6)!}\\ & \iff 3n=(n-4)(n-5)\\ & \iff 3n=n^2-9n+20\\ & \iff n^2-12n+20=0\\ & \iff (n-2)(n-10)=0\\ & \iff n=2\text{tidak memenuhi}\text{atau}n=10\\ & \text{jadi},n=10\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Jika 10 siswa akan dipilih 4 orang untuk}\\ & \text{menjadi ketua kelas, wakil, sekretaris dan}\\ & \text{seorang bendahara, maka banyak susunan}\\ & \text{terjadi adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Penyusunan memerlukan urutan}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \iff P(10,4)={\displaystyle \frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times \text{⧸}6!}{\text{⧸}6!}}\\ & \iff =5040\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Jika dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur.}\\ & \text{Dan dari kota B ke kota C terdapat 4 jalur,}\\ & \text{serta dari kota C sampai ke kota D ada 5 jalur}\\ & \text{Banyak jalan dari kota A ke kota D adalah}....\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Jalur yang ada semuanya berbeda}\\ & \text{maka perlu digunakan permutasi, yaitu}:\\ & P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}& \text{dari A ke B ada 3 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(3,1)={\displaystyle \frac{3!}{(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=3}\\ \text{b}& \text{dari B ke C ada 4 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(4,1)={\displaystyle \frac{4!}{(4-1)!}=\frac{4!}{3!}=4}\\ \text{c}& \text{dari C ke D ada 5 jalur cukup pilih satu, maka}\\ & \bullet P(5,1)={\displaystyle \frac{5!}{(5-1)!}=\frac{5!}{4!}=5}\end{array}\\ & \text{Jadi, total jalur yang dapat di lalui dari A sampai D adalah}:\\ & P(3,1)\times P(4,1)\times P(5,1)=3\times 4\times 5=60\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang }\\ & \text{untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ & \text{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang}\\ & \text{akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi}\\ & \text{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal}\\ & \text{buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih }\\ & \text{dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara},\\ & \text{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau}\\ & P(4,3)={\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\text{cara}}\\ & \text{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon}\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \{\begin{array}{ll}C& \to ABC\\ D& \to ABD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}B& \to ACB\\ D& \to ACD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}B& \to ADB\\ C& \to ADC\end{array}\end{array}\\ \\ B& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}C& \to BAC\\ D& \to BAD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to BCA\\ D& \to BCD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to BDA\\ C& \to BDC\end{array}\end{array}\\ \\ C& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to CAB\\ D& \to CAD\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to CBA\\ D& \to CBD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to CDA\\ B& \to CDB\end{array}\end{array}\\ \\ D& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to DAB\\ C& \to DAC\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to DBA\\ C& \to DBC\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to DCA\\ B& \to DCB\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 11.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 3 tas}\\ & \text{dan 4 dompet serta 5 kunci kotak motor}\\ & \text{di atas meja yang di atasnya telah tersedia}\\ & \text{10 tas, 11 dompet serta 12 kunci kontak}\\ & \text{motor}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Banyak}\text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,3)\times C(11,4)\times C(12,5)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\times \frac{11!}{4!\times 7!}\times \frac{12!}{5!\times 7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}}\\ & =120\times 330\times 792\\ & =31363200\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.