Vektor di Dimensi Tiga (Ruang)

 A. Letak Titik Dalam Ruang

Perhatikan titik P dalam ruang berikut


Kita ambil sistem ortogonal ruang yang terdiri atas tiga bidang yang saling berpotongan tegak lurus menurut tiga potong garis sebagaimana ilustrasi gambar di atas.Ketiga garis potong tersebut berturut-turut adalah sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. 
Letak suatu titik P terhadap bidang OYZ, OXZ, dan OXY. Titik P(a,b,c) berarti P berjarak a  terhadap OYZ  dan berjarak  b terhadap bidang OXZ, serta berjarak  c  terhadap bidang  OXY. Jadi, pasangan tiga buah bilangan riil berurutan menyatakan suatu titik dalam ruang dan demikian sebaliknya.

B. Vektor Dalam Ruang

Sebagaimana halnya vektor dalam bidang (dimensi dua), maka vektor dalam ruang atau R3   juga dapat dinyatakan dengan 3 bilangan riil yang berbeda.

Sebagai misal
P(x,y,z),maka vektor posisiOPdalam ruang adalahOP=(x,y,z)atauOP=(xyz)ataupun juga dengandengan vektor satuannya dalamhal ini adalah:i¯,j¯,&k¯adalah:OP=xi¯+yj¯+zk¯Selanjutnyavektor-vektor satuan di atasdalam ruang adalahi¯=(100)danj¯=(010),sertak¯=(001).

C. Vektor Basis Dalam Ruang

Perhatikan ilustrasi berikut 
Dengan penjelasan hampir kurang lebih sama pada poin B di atas, maka vektor basis suatu titik P adalah vektor yang dinyatakan dengan vektor satuan, yaitu: OP=xi¯+yj¯+zk¯.

Sebagai contoh titik P(3,5,8) jika ilustrasikan adalah sebagai berikut
dan jika dinyakatan dengan vektor basis adalah : OP=3i¯+5j¯+8k¯.

CONTOH SOAL.
Nyatakan vektor berikut dalam bentuk vektor baris, kolom dan basis
Jawab:Diktahui vektor adalahw,boleh jugadisebut sebagai vektor posisi, sehinggadapat tuliskan juga dengan:w=OWDan vektor posisi tersebut dapat dinyatakandengan:a.vektor baris=(8,6,13)b.vektor kolom=(8613)c.vektor basis=8i6j13k

D. Vektor Posisi dan Vektor Bebas dalam Ruang

Vektor posisi suatu titik adalah vektor yang titik pangkalnya terletak dititik pusat koordinat dan titik ujungntya pada titik tersebut. Sedangkan vektor bebas di sini adalah sembarang vektor yang titik pangkalnya tidak berada pada pusat koordinat dan berujung pada suatu titik. Perhatikanlah ilustrasi berikut ini
Pada ilustrasi gambar di atas ada dua vektor posisi yaitu OA=a¯  dan  OB=b¯, sedangkan vektor bebas atau vektor sembarangnya adalah AB.
Perhatikan bahwapada gambar di atasOA+AB=OBa¯+AB=b¯AB=b¯a¯.

E. Modulus Vektor Dalam Ruang

Pengertian modulus vektor dalam ruang memiliki pengertian yang sama dalam bidang cuma yang membedakan adalah kondisinya saja. Karena baik di dalam ruang maupun bidang dalam menentukan modulus/bebsar/panjang suatu vektor adalah sama saja.
Jika suatu titik  A(x1,y1,z1)  dan  B(x2,y2,z2), maka modulus dari dari kedua titik itu adalah jarak antara kedua titik tersebut, yaitu:
|AB|=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2.

CONTOH SOAL
1.Jika diR3diketahui titikA(0,0,0),B(1,2,3),danC(4,5,6)Tentukanlah panjanga.ABb.ACc.BCJawab:a.AB=(102030)=(123)|AB|=12+22+32=1+4+9=14b.AC=(405060)=(456)|AC|=42+52+62=16+25+36=77c.BC=(415263)=(333)|BC|=32+32+32=9+9+9=27.

2.Tentukanlah panjang dari vektorq¯=3i¯j¯7k¯Jawab:q¯=3i¯j¯7k¯=(317)|q¯|=32+(1)2+(7)2=9+1+49=59.

DAFTAR PUSTAKA
  1. Koesmartono, Rawuh (editor). 1973. Matematika Pendahuluan (Seri Matematika). Bandung: ITB












Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Informasi