Lingkaran

$\text{A. Definisi Lingkaran}$.

Secara definisi lingkaran adalah tempat kedudukam titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Selanjutnya titik tertentu disebut sebagai pusat lingkaran sedangkan jarak yang salalu sama terhadapa titik tertentu tersebut disebut sebagai jari-jari atau radius (r).

Sebagai ilustrasi berikut diberikan gambar berkaitan kedudukan titik-titik tersebut

$\text{B. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) }$.

Persamaan sebuah lingkaran dengan dengan jari-jari  $r$  dan berpusat di titik pusat koordinat dapat dilustrasikan sebagai berikut

Misalkan sebuah titik  $\text{P}(x,y)$  terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dan titik ${\text{P}}^{\prime }(x,0)$ adalah proyeksi titik  P  pada sumbu-X sehingga  $△{\text{OP}}^{\prime }\text{P}$   berupa sebuah segitiga siku-siku di ${\text{P}}^{\prime }$. Dengan rumus Pythagoras kita mendapatkan

$\begin{array}{rl}& O{P}^2=(O{P}^{\prime }{)}^2+(P{P}^{\prime }{)}^2\\ & \iff r^2=x^2+y^2\\ & \iff r=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$

Untuk lebih memudahkan pemahaman Anda, perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga dapat disimpulkan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline & & \\ & x^2+y^2=r^2& \\ & & \\ \hline\end{array}$.

$\text{C. Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b)}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada ilustrasi gambar di atas ditunjukkan sebuah lingkaran berpusat di $N(a,b)$ dengan jari-jari  $r$, misalkan kita ambil sebuah titik $P(x,y)$ pada keliling lingkaran, maka $NP=r$.

$\begin{array}{rl}& \sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r^2\\ & (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\\ & \text{persamaan di atas adalah}\mathbf{\text{Bentuk Umum}}\\ & \text{dari}\mathbf{\text{Persamaan Lingkaran}}\text{yang}\\ & \text{berpusat di}(a,b)\end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah rangkuman berikut

$\begin{array}{|lcc|}\hline \text{Lingkaran}& x^2+y^2=r^2& (x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2\\ \text{Pusat}& (0,0)& (p,q)\\ \text{Jari-jari}& r& r\\ \begin{array}{rl}& \text{Pesamaan garis}\\ & \text{singgung melalui}\\ & \text{titik}(x_1,y_1)\\ & \text{pada lingkaran}\end{array}& x_{1}x+y_{1}y=r^2& \begin{array}{rl}& (x_1-p)(x-p)\\ & +(y_1-q)(y-q)=r^2\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis}\\ & \text{singgung dengan}\\ & \text{gradien}m\end{array}& \begin{array}{rl}& y=mx\\ & \pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}& \begin{array}{rl}& (y-q)=m(x-a)\\ & \pm r\sqrt{m^2+1}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Kusus untuk yang pusat  $(a,b)$ adalah:

$\begin{array}{|lc|}\hline \text{Lingkaran}& x^2+y^2+Ax+By+C=0\\ \text{Pusat}& (-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)\\ \text{Jari-jari}& r=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}(A^2+B^2)-C}}\\ \begin{array}{rl}& \text{Pesamaan garis}\\ & \text{singgung melalui}\\ & \text{titik}(x_1,y_1)\\ & \text{pada lingkaran}\end{array}& \begin{array}{rl}& x_{1}x+y_{1}y\\ & +{\displaystyle \frac{A}{2}(x_1+x)}\\ & +{\displaystyle \frac{B}{2}(y_1+y)+C=0}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Persamaan garis}\\ & \text{singgung dengan}\\ & \text{gradien}m\end{array}& \begin{array}{rl}& y+\frac{1}{2}B=m(x+\frac{1}{2}A)\\ & \pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}(A^2+B^2)-C}}.\sqrt{m^2+1}\end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{D. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran }$.

Kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di O(0,0) memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2<r^2$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2=r^2$, dan
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku  $x^2+y^2>r^2$.

Demikian juga kedudukan sebuah titik terhadap sebuah lingkaran yang berpusat di $(a,b)$ memiliki 3 kemungkinan, yaitu:

• jika titik A(x,y) di dalam lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C<0$.
• jika titik A(x,y) pada lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.
• jika titik A(x,y) di luar lingkaran, maka berlaku $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2>r^2$  atau  $x^2+y^2+Ax+By+C>0$.

$\text{E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran }$.

Posisi garis terhadap lingkaran tergantung nilai Diskriminan (D) hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran.

$\{\begin{array}{ll}\bullet & \text{memotong lingkaran di dua titik}(D>0)\\ & \text{ada garis dan titik polar}\\ \bullet & \text{menyinggung lingkaran}(D=0)\\ \bullet & \text{tidak memotong ataupun menyinggung}(D<0)\end{array}$.

Berikut Ilustrasi gambarnya

$\text{F. Jarak Garis ke Pusat Lingkaran}$.

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Jarak titik}M(p,q)\text{terhadap pusat}& \\ \text{lingkaran}N(a,b)& \left|MN\right|=r\\ r=\left|{\displaystyle \frac{Ap+Bq+C}{\sqrt{A^2+B^2}}}\right|& \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah lingkaran yang berpusat pada }\\ & \text{pangkal koordinat}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah persamaan lingkaran }\\ & \text{yang berjari-jari 5}\\ & \text{b}.\text{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) }\\ & \text{pada kertas grafiks}\\ & \text{c}.\text{Lukislah titik-titik dari},\\ & A(2,3),B(4,3),\text{dan}C(3,6).\\ & \text{d}.\text{Nyatakan kedudukan titik-titik}\\ & A,B,\text{dan}C\text{terhadap lingkaran. }\\ & \text{Di dalam, pada, atau}\\ & \text{beradakah di luar lingkaran}\\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi berikut}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Diketahui}r=5\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2=5^2\\ & \updownarrow \\ & x^2+y^2=25\\ & \text{atau}\\ & L\equiv \{(x,y)|x^2+y^2=25\}\end{array}\\ \text{b}.& \text{Lihat gambar di atas}\\ \text{c}.& \text{Lihat juga gambar di atas}\\ \text{d}.& \text{Dari gambar jelas bahwa}:\\ & \begin{array}{c}\bullet \text{Titik}A(2,3)\text{berada di dalam lingkaran}\\ \bullet \text{Titik}A(4,3)\text{berada pada lingkaran}\\ \bullet \text{Titik}A(3,6)\text{berada di luar lingkaran}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Diketahui}r=5\\ & \begin{array}{rl}& x^2+y^2=5^2\\ & \updownarrow \\ & x^2+y^2=25\\ & \text{atau}\\ & L\equiv \{(x,y)|x^2+y^2=25\}\end{array}\\ \text{b}.& \text{Lihat gambar di atas}\\ \text{c}.& \text{Lihat juga gambar di atas}\\ \text{d}.& \text{Dari gambar jelas bahwa}:\\ & \begin{array}{c}\bullet \text{Titik}A(2,3)\text{berada di dalam lingkaran}\\ \text{atau}:(2{)}^2+(3{)}^2=4+9=13<25\\ \bullet \text{Titik}A(4,3)\text{berada pada lingkaran}\\ \text{atau}:(4{)}^2+(3{)}^2=16+9=25=25\\ \bullet \text{Titik}A(3,6)\text{berada di luar lingkaran}\\ \text{atau}:(3{)}^2+(6{)}^2=9+36=45>25\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah persamaan lingkaran}\\ & \text{yang berpusat di pangkal koordinat}\\ & \text{dan melalui titik}P(5,-3)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Diketahui}& \text{pusat lingkaran di pangkal }\\ \text{koordinat}& O(0,0)\text{serta lingkaran}\\ \text{yang mela}& \text{lui titik}P(5,-3),\text{maka}\\ r& =\sqrt{(x_p-0{)}^2+(y_p-0{)}^2}\\ & =\sqrt{5^2+(-3{)}^2}\\ & =\sqrt{25+9}\\ & =\sqrt{34}\\ \text{Sehingga }& ,\text{persamaan lingkarannya adalah}\\ L& \equiv x^2+y^2=r^2\iff x^2+y^2=34\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di pangkal koordinat dan}\\ & \text{menyinggung}k\equiv 2x+y-5=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi berikut}\end{array}$.

menjadi

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\text{bahwa titik}O\text{ke garis}k\text{adalah}\\ & r=OA={\displaystyle \left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|}\\ & ={\displaystyle \left|\frac{2(0)+(0)-5}{\sqrt{2^2+1^2}}\right|}\\ & ={\displaystyle \left|\frac{-5}{\sqrt{5}}\right|}\\ & =|-\sqrt{5}|\\ & =-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}\\ & \text{(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)}\\ & \text{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ & L\equiv x^2+y^2=r^2\iff x^2+y^2=5\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?}\\ & \text{a}.L\equiv (x+1{)}^2+(y+2{)}^2=9\\ & \text{b}.L\equiv (x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9\\ & \text{c}.L\equiv (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9\\ & \text{d}.L\equiv (x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9\\ & \text{e}.L\equiv (x+3{)}^2+(y-3{)}^2=9\\ & \text{f}.L\equiv (x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25\\ & \text{g}.L\equiv (x-1{)}^2+y^2=27\\ & \text{h}.L\equiv x^2+(y-1{)}^2=27\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & L\equiv (x+1{)}^2+(y+2{)}^2=9,\text{pusat di}(-1,-2)\\ & \text{dan jari-jarinya adalah}\sqrt{9}=3\\ & \text{Soal yang belum dibahas silahkan }\\ & \text{diselesaikan sendiri sebagai latihan}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tentukanlah persamaan lingkaran yang }\\ & \text{berpusat di}A(2,-1)\text{dan menginggung}\\ & \text{garis}4y+3x-12=0\text{di titik}P\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi berikut}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Sehingga}\\ & r=AP=\left|\frac{3(2)+4(1)-12}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\ & =\left|\frac{-10}{5}\right|=|-2|=2\\ & \text{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}\\ & L\equiv (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tentukanlah pusat dan jari-jari dari }\\ & \text{persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ & \iff x^2+y^2-x+3y-{\displaystyle \frac{3}{2}=0\{\begin{array}{ll}A& =-1\\ B& =3\\ C& =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}}\\ & \text{maka}\{\begin{array}{ll}\text{Pusat}& =(-{\displaystyle \frac{-1}{2},-\frac{3}{2}})=\left({\displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2}}\right)\\ \text{Jari-jari}& =r=\sqrt{{\displaystyle \frac{(-1{)}^2}{4}+\frac{3^2}{4}-(-\frac{3}{2})}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{6}{4}}}=\sqrt{4}=2\end{array}\\ & \text{Jadi, lingkaran}2x^2+2y^2-2x+6y-3=0\\ & \text{berpusat di}\left({\displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2}}\right)\text{dan berjari-jari}2\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & L\equiv 2x^2+2y^2-4x+3py-30=0\\ & \text{dan melalui titik}(-2,1).\text{Tentukanlah }\\ & \text{persamaan lingkaran baru yang}\\ & \text{kosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinya}\\ & \text{dua kali panjang jari-jari lingkaran semula?}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & 2x^2+2y^2-4x+3py-30=0,\text{melalui}\\ & (-2,1),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}& \text{kita tentukan harga}p\text{dulu, yaitu}:\\ & 2(-2{)}^2+2(1{)}^2-4(-2)+3p(1)-30=0\\ & \iff 8+2+8+3p-30=0\\ & \iff 3p=12\\ & \iff p=4\end{array}\\ & \text{Akibatnya persamaan lingkaran menjadi}\\ & \begin{array}{rl}& 2x^2+2y^2-4x+12y-30=0\\ & \iff x^2+y^2-2x+6y-15=0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}\text{Pusat}:\\ (-{\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B})\\ =(-{\displaystyle \frac{1}{2}.(-2),-\frac{1}{2},6})\\ =(1,-3)\\ \\ \text{Jari-jari }:\\ \begin{array}{rl}r& =\sqrt{{(-\frac{1}{2}A)}^2+(-\frac{1}{2}B)-C}\\ & =\sqrt{1^2+(-3{)}^2-(-15)}\\ & =\sqrt{1+9+15}=5\end{array}\end{array}\\ & \end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Persamaan}\text{lingkaran baru }\\ & \text{dengan pusat}(1,-3)\text{dan jari-jari}\\ & r_{\text{baru}}=2r=2.5=10\\ & (x-1{)}^2+(y+3{)}^2=(10{)}^2\\ & \iff x^2-2x+1+y^2+6x+9=100\\ & \iff x^2+y^2-2x+6y-90=0\end{array}\end{array}\end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Tentukanlah nilai}p\text{supaya lingkaran}\\ & x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \text{a}.\text{menyinggung sumbu x}\\ & \text{b}.\text{memotong sumbu x di dua titik}\\ & \text{c}.\text{tidak memotong dan tidak menyinggung }\\ & \text{sumbu x}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{r}\\ & \text{Persamaan lingkaran}:\\ & x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \text{saat menyinggung}\text{sumbu x},\text{maka}y=0\\ & \text{adalah gar}\text{is yang sejajar sumbu x, maka}\\ & y=0\Rightarrow x^2+y^2-px-10y+4=0\\ & \iff x^2+0^2-px-0+4=0\\ & \iff x^2-px+4\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline \text{Menyinggung}& \text{memotong}& \text{Tidak keduanya}\\ \begin{array}{rl}D& =b^2-4ac=0\\ & \iff p^2-4.1.4=0\\ & \iff p^2=16\\ & \iff p=\pm 4\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}D& >0\\ & \iff b^2-4ac>0\\ & \iff p^2-16>0\\ & \iff (p+4)(p-4)>0\\ & \therefore p<-4\text{atau}p>4\end{array}& \begin{array}{rl}D& <0\\ & \iff b^2-4ac<0\\ & \iff p^2-16<0\\ & \iff (p+4)(p-4)<0\\ & \therefore -4<p<4\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.& \text{Tentukanlah nilai}a\text{supaya lingkaran}\\ & x^2+y^2=1\text{dan garis}y=ax+2\\ & \text{a}.\text{bersinggungan}\\ & \text{b}.\text{berpotongan}\\ & \text{c}.\text{tidak berpotongan maupun bersinggungan}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Di sini yang kita bahas adalah yang poin b, }\\ & \text{yaitu untuk}y=ax+2,\text{maka}\\ & x^2+y^2=1\\ & x^2+(ax+2{)}^2=1\\ & x^2+a^2{x}^2+4ax+4=1\\ & (1+a^2)x^2+4ax+3=0\\ & \text{syarat berpotongan}D=b^2-4ac\ge 0\\ & (\text{artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik})\\ & (4a{)}^2-4(1+a^2)(3)\ge 0\\ & 16a^2-12a^2-12\ge 0\\ & 4a^2-12\ge 0\\ & a^2-3\ge 0\\ & (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\ge 0\\ & \therefore a\le -\sqrt{3}\text{atau}a\ge \sqrt{3}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.& \text{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\\ & x^2+y^2=12\text{dan melalui titik}P(0,4)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui persamaan lingkaran}\\ & x^2+y^2=12\\ & \text{Persamaan garis singgung lingkaran}\\ & \text{melalui titik}(x_1,y_1)\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =12\\ xx+yy& =12\\ x_{1}x+y_{1}y& =12\\ \text{garis ini melalui}& \text{titik}\\ P(0,4)& ,\text{maka}\\ x_1.0+y_1.4& =12\\ y_1& =3......(1)\end{array}\\ & \text{Karena titik}(x_1,y_1)\text{pada lingkaran}\\ & \text{maka},\\ & x_1^2+y_1^2=12......(2)\\ & \text{Selanjutnya dari persamaan}(1)\mathrm{\&}(2)\\ & \text{akan diperoleh}\\ & \begin{array}{rl}& x_1^2+y_1^2=12\\ y_1=3\Rightarrow & x_1^2+(3{)}^2=12\\ \iff & x_1^2+9=12\\ \iff & x_1^2=3\\ \iff & x_1=\pm \sqrt{3}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Sehingga persa}\text{maan garis singgungnya}\\ & (x_{1}x+y_{1}y=12)\text{adalah}:\\ & \{\begin{array}{ll}\text{di titik}& (x_1,y_1)=(\sqrt{3},3)\Rightarrow \sqrt{3}x+3y=12\\ \text{di titik}& (x_1,y_1)=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow -\sqrt{3}x+3y=12\end{array}\\ & \end{array}\end{array}\end{array}$

Berikut ilustrasi gambarnya

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika SMA Kelas 2. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.
3. Wirodikromo, S. 2007. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI. Jakarta: ERLANGGA.