Notasi Faktorial, Permutasi dan Kombinasi

 $\text{C. Faktorial}$

Perhatikanlah tabel berikut yang berisi perkalian bilangan terurut pada bilangan asli

$\begin{array}{|c|}\hline n!=1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\\ \mathbf{\text{atau}}\\ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\ \text{dengan}\\ (n+1)!=(n+1)\times n!\text{untuk}n\ge 1,n\in \mathbb{N}\\ \text{serta didefinisikan bahwa}\\ 0!=1!=1\\ \text{CONTOH}\\ 0!=1\\ 1!=1\\ 2!=2\times 1=2\\ 3!=3\times 2\times 1=6\\ 4!=4\times 3\times 2\times 1=24\\ 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\\ 6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\\ \\ ⋮\\ \\ n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 4\times 3\times 2\times 1\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.3!& \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}}& \text{i}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{b}.5!& \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}}& \text{j}.{\displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}}\\ \text{c}.0!+1!+2!+3!& \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}}& \text{k}.{\displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}}\\ \text{d}.(2!)!+(3!)!& \text{h}.{\displaystyle \frac{13!}{12!+12!}}& \text{l}.{\displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.3!=3.2.1=6\\ \text{b}.5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{array}{rl}\text{c}.0!+1!+2!+3!& =1+1+2+6\\ & =10\end{array}\\ \begin{array}{rl}\text{d}.(2!)!+(3!)!& =2!+6!\\ & =2+720\\ & =722\end{array}\\ \text{e}.{\displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\text{atau}{\displaystyle \frac{6!}{4!}={\displaystyle \frac{6.5.\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}{\text{⧸}4.\text{⧸}3.\text{⧸}2.\text{⧸}1}=6.5=30}}}\\ \text{f}.{\displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=....(\text{silahkan diselesaikan sendiri})}\\ \text{g}.{\displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=....(\text{silahkan juga diselesaikan sendiri})}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri})\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Sederhanakanlah}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}}& \text{e}.{\displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}}& \text{f}.{\displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}}& \text{g}.{\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^2+3n+2)}}& \text{h}.1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ \\ & \begin{array}{c}\\ \text{a}.{\displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n}\\ \text{b}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2}\\ \text{c}.{\displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}}\\ \text{d}.{\displaystyle \frac{(n+2)!}{n^2+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!}\\ ⋮\\ (\text{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ ⋮\\ \begin{array}{rl}\text{h}.& 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\\ & =(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ & =2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ & =2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-(1!+2!+3!+4!+...+n!)\\ & =(n+1)!-1\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +{\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ \\ & \begin{array}{rl}\text{Perhatikan}& \text{bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}}\\ & \text{sehingga}\\ & \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ & {\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}}\\ & {\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}}\\ & ⋮\\ & {\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}}\\ & ---------------------------\\ & =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!}\end{array}\end{array}$

$\text{D. Permutasi dan Kombinasi}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{Istilah}& \text{Permutasi}& \text{Kombinasi}\\ \text{Definisi}& \begin{array}{rl}& \text{Permutasi r unsur dari n unsur adalah}\\ & \text{banyaknya kemungkinan urutan r buah}\\ & \text{unsur yang dipilih dari n unsur}\\ & \text{yang tersedia}.\text{Tiap unsur berbeda dan}\\ & r\le n\end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Kombinasi r unsur dan n unsur adalah}\\ & \text{banyaknya kemungkinan tidak terurut}\\ & \text{dalam pemilihan r unsur yang diambil}\\ & \text{dari n unsur yang tersedia}.\text{Tiap unsur}\\ & \text{berbeda dan}r\le n\end{array}\\ \text{Tipe}& \text{Bentuk khusus kaidah perkalian}& \text{Bentuk khusus permutasi}\\ \text{Notasi}& {}_n{P}_r,P_n^r,\text{atau}P(n,k)& {}_n{C}_r,C_r^n,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}),\text{atau}C(n,r)\\ \text{Rumus}& P(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=C(n,r)={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ \hline\end{array}$

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Permutasi}& \text{Permutasi}\\ \text{dengan unsur yang sama}& \text{Siklis}\\ \begin{array}{rl}& P(n;n_1,n_2,n_3,...,n_k)\\ & ={\displaystyle \frac{P(n,n)}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}}\\ & ={\displaystyle \frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}}\end{array}& \begin{array}{rl}& \{\begin{array}{ll}\text{Siklis}& =(n-1)!\\ \\ \text{Kalung}& ={\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}}\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}$

dan

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Kombinasi}& \text{Kombinasi dalam}\\ \text{dengan pengulangan}& \text{Binom Newton}\\ \begin{array}{rl}& C(n+r-1,r)\\ & =C(n+r-1,n-1)\\ & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r})\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{n-1})\end{array}& \begin{array}{rl}& (x+y{)}^n\\ & =\sum _{k=o}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^{n-k}{y}^k\\ \\ & \text{Koefisien untuk}\\ & x^{n-k}{y}^k,\text{yaitu}\\ & \text{suku ke}-(k+1)\\ & \text{adalah}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\end{array}\\ \hline\end{array}$

serta

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang }\\ & \text{untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ & \text{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang}\\ & \text{akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi}\\ & \text{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal}\\ & \text{buat permutasinya, yaitu posisi ketua dapat dipilih }\\ & \text{dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara},\\ & \text{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau}\\ & P(4,3)={\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\text{cara}}\\ & \text{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon}\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \{\begin{array}{ll}C& \to ABC\\ D& \to ABD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}B& \to ACB\\ D& \to ACD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}B& \to ADB\\ C& \to ADC\end{array}\end{array}\\ \\ B& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}C& \to BAC\\ D& \to BAD\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to BCA\\ D& \to BCD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to BDA\\ C& \to BDC\end{array}\end{array}\\ \\ C& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to CAB\\ D& \to CAD\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to CBA\\ D& \to CBD\end{array}\\ D& \{\begin{array}{ll}A& \to CDA\\ B& \to CDB\end{array}\end{array}\\ \\ D& \{\begin{array}{ll}A& \{\begin{array}{ll}B& \to DAB\\ C& \to DAC\end{array}\\ B& \{\begin{array}{ll}A& \to DBA\\ C& \to DBC\end{array}\\ C& \{\begin{array}{ll}A& \to DCA\\ B& \to DCB\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Seorang anak akan mengambil 4 buah bola dari}\\ & \text{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ & \text{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ & \text{oleh Andi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}n=10& \text{dan}r=4\\ C(n,r)& ={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}\\ C(10,4)& ={\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}}\\ & =420\text{kombinasi warna bola berbeda}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ & \text{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ & \text{kelompok, jika}\\ & \text{a. tanpa perlakuan khusus}\\ & \text{b. salah seorang harus terpilih}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tanpa perlakuan}\\ & \text{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ & C(10,3)={\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=120}\\ \text{b}.& \text{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ & (\text{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ & \text{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ & C(9,2)={\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=36}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ & \text{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ & \text{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ & \text{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ & \text{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ & =C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}}\\ & =3675375\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johnaes, Kastolan, & Sulasim. 2004. Kompetensi Matematika SMA Kelas 2 Semester 1 Program Ilmu Sosial KBK 2004. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, & Setiyadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sobirin. 2006. Kompas Matematika Strategi Praktis Menguasai Tes Matematika. Jakarta: KAWAN PUSTAKA.