$\color{blue}\textrm{H. Turunan Kedua Fungsi Trigonometri}$
Definisi dari bahasan ini adalah jika turunan pertama dari suatu fungsi $f$ dan dinyatakan dengan $f'$ ada dan terdefinisi untuk setiap nilai $x$ dalam daerah terdefinisi $f$, maka turunan kedua dari fungsi $f$ dinyatakan dengan $f''$ adalah:
$\color{blue}f''(x)=\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}=\displaystyle \frac{d}{dx}\left ( f'(x) \right )$
$\LARGE\color{purple}\fbox{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\sin x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\sin x\\ y'&=\cos x\\ y''&=-\sin x \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\sin 2x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\sin 2x\\ y'&=2\cos 2x\\ y''&=-4\sin 2x \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\sin^{2} x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\sin^{2} x\\ y'&=2\sin x(-\cos x)=-\sin 2x\\ y''&=-2\cos 2x \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\cos x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\cos x\\ y'&=-\sin x\\ y''&=-\cos x \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\tan x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\tan x\\ y'&=\sec^{2} x\\ y''&=2\sec x(\sec x \tan x)=2\sec ^{2}x\tan x \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\cot x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\cot x\\ y'&=-\csc ^{2}x\\ y''&=-2\csc x(-\csc x\cot x)=2\csc ^{2}x\cot x \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\sec x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\sec x\\ y'&=\sec x\tan x\\ y''&=\sec x\tan x(\tan x)+\sec x\left ( \sec ^{2}x \right )\\ &=\sec x\tan ^{2}x+\sec ^{3}x \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Tentukan turunan kedua dari}\\ &y=\csc x\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}y&=\csc x\\ y'&=-\csc x\cot x\\ y''&=-(-\csc x\cot x)\cot x+(-\csc x)(-\csc ^{2}x)\\ &=\csc x\cot ^{2}x+\csc ^{3}x \end{aligned} \end{array}$
$\color{blue}\textrm{I. Fungsi Naik dan Fungsi Turun}$
Sebelumnya telah diketahui bahwa pada selang terbuka
$\begin{array}{ll}\\ &\bullet \: \textrm{untuk}\: \: \color{blue}f'(x)>0\: \: \textrm{maka fungsi naik}\\ &\bullet \: \textrm{untuk}\: \: \color{red}f'(x)<0\: \: \textrm{maka fungsi turun} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Misalkan}\: \: f'\: \: \textrm{dan}\: \: f''\: \: \textrm{ada untuk setiap}\\ &\textrm{titik pada suatu interval yang memuat}\\ &c\: \: \textrm{dengan}\: \: f'(c)=0\\ &\bullet \quad \textrm{jika}\: \: \color{blue}f''(c)>0\: \: \textrm{maka}\: \: f(c)\: \: \textrm{adalah}\\ &\: \, \quad \textrm{nilai minimum lokal (titik minimum)}\\ &\bullet \quad \textrm{jika}\: \: \color{red}f'(c)<0\: \: \textrm{maka}\: \: f(c)\: \: \textrm{adalah}\\ &\, \: \quad \textrm{nilai maksimum lokal (titik maksimum)}\\ &\bullet \quad \color{purple}\textrm{jika}\: \: f''(c)=0\: \: \textrm{maka nilai stasioner}\\ &\, \: \quad \textrm{belum dapat ditentukan} \end{array}$
$\color{black}\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Titik Belok}\\\\ &\textrm{Jika}\: \: (c,f(c))\: \: \textrm{adalah titik belok grafik}\\ &f,\: \: \textrm{maka}\: \: f''(x)=0\: \: \textrm{atau}\: \: f''\: \: \textrm{tidak ada}\\ &\textrm{pada} \: \: x=c \end{array}$
$\LARGE\color{black}\fbox{CONTOH SOAL}$
Perhatikan lagi contoh pada bagian ini LANJUTAN MATERI 8 berikut
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah semua titik stasioner}\\ &\textrm{berikut jenisnya dari fungsi}\\ &f(x)=\sin x+\cos x\: \: \textrm{dengan}\\ &0\leq x\leq 2\pi\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan Turunan Pertama}\\ &\textrm{Diketahui}\\ &f(x)=\sin x+\cos x\\ &f'(x)=\cos x-\sin x\\ &\textrm{Saat}\quad \color{black}f'(x)=0,\\ &\color{black}f'(x)=\cos x-\sin x=0 \: \: \cos x=\sin x\\ &\cos x=\cos \left ( \displaystyle \frac{\pi }{2}-x \right )\\ &\: \: \: \quad x=\pm \left ( \displaystyle \frac{\pi }{2}-x \right )+k.2\pi \\ &\: \: \: \quad \begin{cases} x+x &=\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi ,\: \: \color{red}\textrm{atau} \\ x-x &=-\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &\: \: \: \quad \begin{cases} x &=\displaystyle \frac{\pi }{4}+k.\pi ,\: \: \color{red}\textrm{atau} \\ 0&=-\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi\: \: (\color{black}\textrm{tidak memenuhi}) \end{cases}\\ &\textrm{Sehingga ada dua absis yang memenuhi}\\ &\color{red}\textrm{sebagai titik STASIONER},\: \: \color{black}\textrm{yaitu}\\ &\color{black}x=\displaystyle \frac{\pi }{4}\: \: \textrm{dan}\: \: \quad x=\frac{5\pi }{4}\\ &\textrm{untuk}\: \: \: \color{black}x=\displaystyle \frac{\pi }{4}\\ &f\left ( \displaystyle \frac{\pi }{4} \right )=\sin \left ( \displaystyle \frac{\pi }{4} \right )-\cos \left (\displaystyle \frac{\pi }{4} \right )\\ &\qquad=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sqrt{2}\\ &\textrm{untuk}\: \: \: \color{black}x=\displaystyle \frac{5\pi }{4}\\ &f\left ( \displaystyle \frac{5\pi }{4} \right )=\sin \left ( \displaystyle \frac{5\pi }{4} \right )+\cos \left (\displaystyle \frac{5\pi }{4} \right )\\ &\qquad=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}=-\sqrt{2}\\ &\textrm{Jadi titik stasionernya}:\: \: \left ( \displaystyle \frac{\pi }{4},2 \right )\: \&\: \: \left ( \displaystyle \frac{5\pi }{4},-\sqrt{2} \right )\\ &\color{black}\textrm{Langkah berikutnya gunakanlah titik}\\ &\color{black}\textrm{uji di sekitar nilai stasioner yaitu}:\\ &\begin{array}{ccccccccc} &&&&&&&&\\\hline \color{red}0&&\displaystyle \frac{\pi }{4}&&\color{red}\pi &&\displaystyle \frac{5\pi }{4}&&\color{red}2\pi \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{Untuk}\: \: f'(x)=\cos x-\sin x\\ &x=0\Rightarrow f'(0)=\cos 0-\sin 0\\ &\quad=1+0=1>0\quad (\color{black}\textrm{positif})\\ &x=\pi \Rightarrow f'(\pi )=\cos \pi -\sin \pi \\ &\quad=-1+0=-1<0\quad (\color{red}\textrm{negatif})\\ &x=0\Rightarrow f'(2\pi )=\cos 2\pi -\sin 2\pi \\ &\quad=1+0=1>0\quad (\color{black}\textrm{positif})\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|l|}\hline x&0&\displaystyle \frac{\pi }{4}&\pi &\displaystyle \frac{5\pi }{4}&2\pi \\\hline \color{black}f'(x)&+&0&-&0&+\\\hline &&--&&&\\ \color{red}\textrm{Garfik}&/&&\backslash&&/\\ &&&&\_\_\_\_&\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Dari tabel di atas didapatkan}\\ &\begin{cases} \color{black}\left ( \displaystyle \frac{\pi }{4},\sqrt{2} \right ) & \color{red}\textrm{titik balik maksimum} \\ \color{black}\left ( \displaystyle \frac{5\pi }{4},-\sqrt{2} \right ) & \color{red}\textrm{titik balik minimum} \end{cases} \end{aligned} \end{array}$
$.\: \quad\begin{array}{|c|}\hline \quad\color{black}\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan Turunan Kedua}\\ &f(x)=\sin x+\cos x\\ &f'(x)=\cos x-\sin x\\ &f''(x)=-\sin x-\cos x=-(\sin x+\cos x)\\ &f''\left ( \displaystyle \frac{\pi }{4} \right )=-\left ( \sin \displaystyle \frac{\pi }{4}+\cos \displaystyle \frac{\pi }{4} \right )=\color{blue}-\sqrt{2}<0\\ &\Rightarrow (\color{red}\textrm{maksimum atau cekung ke bawah})\\ &f''\left ( \displaystyle \frac{5\pi }{4} \right )=-\left ( \sin \displaystyle \frac{5\pi }{4}+\cos \displaystyle \frac{5\pi }{4} \right )=\color{blue}\sqrt{2}>0\\ &\Rightarrow (\color{red}\textrm{minimum atau cekung ke atas})\\ &\textrm{Dengan}\: \: f(x)=\sin x+\cos x, \: \: \textrm{maka}\\ &\: \: \bullet \textrm{nilai maksimumnya}:\sin \displaystyle \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\\ &\: \: \bullet \textrm{nilai minimumnya}:\sin \displaystyle \frac{5\pi }{4}+\cos \frac{5\pi }{4}=-\sqrt{2}\\ &\textrm{Jadi, titik maksimumnya}\: \: \color{red}\left ( \displaystyle \frac{\pi }{4},\sqrt{2} \right )\\ &\textrm{dan nilai minimumnya}\: \: \color{red}\left ( \displaystyle \frac{5\pi }{4},-\sqrt{2} \right ) \end{aligned}\\\hline \end{array}$
$.\: \qquad\color{black}\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Untuk TITIK BELOK}\\ &\textrm{Syarat titik belok adalah}\: \: f''(x)=0\\ &\color{blue}\textrm{Diketahui}\: \: f(x)=\sin x+\cos x\\ &f''(x)=-(\sin x+\cos x)=0\\ &\Leftrightarrow \: \sin x+\cos x=0\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\\ &\Leftrightarrow \: \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=-1\Leftrightarrow \tan x=-1\\ &\Leftrightarrow \: \tan x=\tan 135^{\circ}\\ &\Leftrightarrow \: x=135^{\circ}+k.180^{\circ}\\ &\Leftrightarrow k=0\Rightarrow x=\color{red}135^{\circ}=\displaystyle \frac{3\pi }{4}\\ &\Leftrightarrow k=1\Rightarrow x=135^{\circ}+180^{\circ}=\color{red}315^{\circ}=\displaystyle \frac{7\pi }{4}\\ &\textrm{Adapun titik beloknya pada fungsi}\: \: f(x)\\ &\textrm{adalah}:\\ &\bullet \: \: x=\displaystyle \frac{3\pi }{4}\\ &\quad f\left ( \displaystyle \frac{3\pi }{4} \right )=\sin \left ( \displaystyle \frac{3\pi }{4} \right )+\cos \left ( \displaystyle \frac{3\pi }{4} \right )=0\\ &\quad \color{red}\textrm{maka titiknya}\: \: \left ( \displaystyle \frac{3\pi }{4},0 \right )\\ &\bullet \: \: x=\displaystyle \frac{7\pi }{4}\\ &\quad f\left ( \displaystyle \frac{7\pi }{4} \right )=\sin \left ( \displaystyle \frac{7\pi }{4} \right )+\cos \left ( \displaystyle \frac{7\pi }{4} \right )=0\\ &\quad \color{red}\textrm{maka titiknya}\: \: \left ( \displaystyle \frac{7\pi }{4},0 \right ) \end{aligned}$
$.\: \qquad \color{purple}\textrm{Berikut Sketsa grafiknya}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah semua titik stasioner}\\ &\textrm{berikut jenisnya dari fungsi}\\ &f(x)=2\sin x\: \: \textrm{dengan}\\ &0\leq x\leq 2\pi\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Diketahui}\\ &f(x)=2\sin x\\ &f'(x)=2\cos x\\ &\textrm{Syarat titik stasioner}\: \: f'(x)=0\\ &2\cos x=0\Leftrightarrow \cos x=0\\ &\Leftrightarrow \cos x=\cos 90^{\circ}\Leftrightarrow x=90^{\circ}\pm k.360^{\circ}\\ &\Leftrightarrow k=0\Rightarrow x=90^{\circ}\: \: \color{red}\textrm{yang memenuhi}\\ &\Leftrightarrow k=1\Rightarrow x=270^{\circ}\: \: \color{red}\textrm{yang memenuhi}\\ &\textrm{Turunan kedua fungsi di atas adalah}:\\ &f''(x)=-2\sin x\\ &\color{blue}\textrm{maka},\\ &\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline \textrm{Nilai}&\qquad\qquad\quad\quad\textrm{Hasil}&\textrm{Keterangan}&\quad\textrm{Titik}\\\hline x=90^{\circ}&f''(90^{\circ})=-2\sin 90^{\circ}=-2<0&\color{blue}\textrm{Maksimum}&\\ &f(90^{\circ})=2\sin 90^{\circ}=2&&\left ( 90^{\circ},2 \right )\\\hline x=270^{\circ}&f''(270^{\circ})=-2\sin 270^{\circ}=2>0&\color{red}\textrm{Minimum}&\\ &f(270^{\circ})=2\sin 270^{\circ}=-2&&\left ( 270^{\circ},-2 \right )\\\hline \textrm{Syarat}&f''(x)=0&\textrm{Belok}&\\ &\begin{aligned}&-2\sin x=0\Leftrightarrow \sin x=0\\ &\Leftrightarrow \sin x=\sin 0^{\circ}\\ &\Leftrightarrow x=\begin{cases} 0^{\circ} & +k.360^{\circ} \\ 180^{\circ} & +k.360^{\circ} \end{cases}\\ &\textrm{Yang memenuhi}\\ &x=0^{\circ},\: 180^{\circ},\: \: \textrm{dan}\: \: 360^{\circ}\\ &\textrm{Lalu hasilnya disubstitusikan}\\ &\textrm{ke persamaan}\: \: f(x)=2\sin x \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &\textrm{Hasilnya}: \end{aligned}&\begin{aligned}&\left ( 0^{\circ},0 \right ),\\ &\left ( 180^{\circ},0 \right ),\\ &\left ( 360^{\circ},0 \right ) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned} \end{array}$
$\color{blue}\textrm{J. Selang Kecekungan}$
Lihat keterkaitan materi dan contoh di atas berkaitan dengan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri
$\color{purple}\begin{aligned}&\textrm{Misalkan pada suatu selang} \: \: (a,b)\\ &\textrm{terdapat sembarang bilangan real}\: \: c\\ &\textrm{serta turunan kedua fungsi}\: \: f\: \: \textrm{ada}\\ &\textrm{pada selang tersebut}\\ &\bullet \quad \color{blue}\textrm{saat}\: \: f''(c)<0\: , \textrm{maka kurva}\\ &\qquad f\: \: \textrm{cekung ke bawah}\\ &\bullet \quad \color{red}\textrm{saat}\: \: f''(c)>0\: , \textrm{maka kurva}\\ &\qquad f\: \: \textrm{cekung ke atas}\\ \end{aligned}$
$\LARGE\color{purple}\fbox{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ &(\color{red}\textrm{Perhatikan lagi contoh soal no.1 di atas})\\ &\textrm{Tentukanlah interval di mana kurva}\\ &\textrm{cekung ke bawah dan atas dari fungsi}\\ &f(x)=\sin x+\cos x\: \: \textrm{dengan}\\ &0< x< 2\pi\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{purple}\begin{aligned}&f(x)=\sin x+\cos x\\ &f'(x)=\cos x-\sin x\\ &f''(x)=-(\sin x+\cos x)\\ &\textrm{Sebelum menentukan batas kecekungan}\\ &\textrm{dengan menentukan titik beloknya dulu}\\ &\textrm{yaitu} :\: \: f''(x)=0\\ &\color{red}\textrm{Sebelumnya telah dibahas titik beloknya}\\ &\textrm{fungsi} \: \: f\: \: \textrm{di atas mempunyai 2 buah}\\ &\textrm{titik belok pada selang}\: \: 0<x<2\pi \\ &\color{blue}x=\displaystyle \frac{3\pi }{4}\: \: \color{black}\textrm{dan}\: \: \color{blue}x=\displaystyle \frac{7\pi }{4}\\ &\textrm{Melihat banyaknya titik belok, maka}\\ &\textrm{akan terdapat 3 selang kecekungan, yaitu}:\\ &\begin{cases} 1\: \bullet & 0<x<\displaystyle \frac{3\pi }{4} \\ 2\: \bullet & \displaystyle \frac{3\pi }{4}<x<\frac{7\pi }{4} \\ 3\: \bullet & \displaystyle \frac{7\pi }{4}<x<2\pi \end{cases}\\ &\textrm{Kita ambil titik uji tiap selang di atas}\\ &\textrm{dan substitusikan ke turunan kedua fungsi}\: \: f\\ &f''\left ( \displaystyle \frac{\pi }{2} \right )=-\left ( \sin \displaystyle \frac{\pi }{2} +\cos \displaystyle \frac{\pi }{2} \right )=-1<0\\ &\color{blue}\textrm{Sehingga pada selang ini, kurva cekung ke bawah}\\ &f''\left ( \pi \right )=-\left ( \sin \pi +\cos \pi \right )=1>0\\ &\color{red}\textrm{Sehingga pada selang ini, kurva cekung ke atas}\\ &f''\left ( \displaystyle \frac{11\pi }{6} \right )=-\left ( \sin \displaystyle \frac{11\pi }{6} +\cos \displaystyle \frac{11\pi }{6} \right )=\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}<0\\ &\color{blue}\textrm{Sehingga pada selang ini, kurva cekung ke bawah} \end{aligned} \end{array}$
DAFTAR PUSTAKA
- Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA
- Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
