Perhatikanlah grafik fungsi logaritma
$\Large{f:x\rightarrow \, ^{a}\log x}$.
Ada 2 macam pilihan untuk nilai basisnya. Sesuai sifat-sifat logaritma, basis atau bilangan pokok akan mempengaruhi nilai suatu logaritma. Karena basis logaritma harus positif dan tidak boleh sama dengan 1, maka basis ini dapat dipecah menjadi 2 macam, yaitu:
Saat basisnya lebih besar dari 1 atau a>1, maka grafiknya adalah sebagai berikut:
dan saat basisnya berada pada saat 0<a<1, maka gambar grafiknya adalah sebagai berikut:
Dari dua ilustrasi di atas dapat ditemukan dua hal, yaitu:
- pada fungsi moton naik (saat a>1), jika $x_{1}<x_{2}$, maka $f(x_{1})<f(x_{2})$.
- pada fungsi moton turun (saat 0<a<1), jika $x_{1}<x_{2}$, maka $f(x_{1})>f(x_{2})$.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{ll} 1.&\color{blue}\textrm{Untuk basis}\: \: \color{red}a>1\\ &\textrm{dengan}\: \: f(x)>0,\: \: g(x)>0:\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\geq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\geq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)> \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)> g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\leq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\leq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)< \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)< g(x)\\\\ 2.&\color{blue}\textrm{Untuk basis}\: \: \color{red}0<a<1\\ &\textrm{dengan}\: \: f(x)>0,\: \: g(x)>0:\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\geq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\leq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)> \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)< g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)\leq \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\geq g(x)\\ &\bullet \quad ^{a}\log f(x)< \, ^{a}\log g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)> g(x) \end{array}\\\hline \end{array}$.
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll} 1.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad ^{3}\log (x+1)>2\\ &\textrm{b}.\quad ^{.^{ \frac{1}{3}}}\log (x+1)>2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui}:\: \: ^{3}\log (x+1)>2\\ &\color{red}\textrm{Syarat numerusnya}\\ &f(x)>0\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1\\ &\color{red}\textrm{Proses lanjutan penyelesaian}\\ &^{3}\log (x+1)>2\Leftrightarrow \, ^{3}\log (x+1)>\, ^{3}\log 3^{2}\\ &\color{blue}\textrm{Karena}\: \: a=3,\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)>p\\ &(x+1)>3^{2}\\ &\Leftrightarrow x+1>9\Leftrightarrow x>8\\ &\textrm{Karena},\: \: x>8\: \: \textrm{berada di daerah}\: \: x>-1 ,\\ &\textrm{maka}\: \: x>8\: \: \textbf{memenuhi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ x|x>8 \right \}\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Diketahui}:\: \: ^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x+1)>2\\ &\color{red}\textrm{Syarat numerusnya}\\ &f(x)>0\Leftrightarrow x+1>0\Leftrightarrow x>-1\\ &\color{red}\textrm{Proses lanjutan penyelesaian}\\ &^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x+1)>2\Leftrightarrow \, ^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x+1)>\, ^{.^{\frac{1}{3}}}\log \left ( \displaystyle \frac{1}{3} \right )^{2}\\ &\color{blue}\textrm{Karena}\: \: a=\displaystyle \frac{1}{3},\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)<p\\ &(x+1)<\left ( \displaystyle \frac{1}{3} \right )^{2}\\ &\Leftrightarrow x+1<\displaystyle \frac{1}{9}\Leftrightarrow x<\displaystyle \frac{1}{9}-1\Leftrightarrow x<-\displaystyle \frac{8}{9}\\ &\textrm{maka yang}\: \textbf{memenuhi}\: \: -1<x<-\displaystyle \frac{8}{9}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ x|-1<x<-\displaystyle \frac{8}{9} \right \}\end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll} 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{a}.\quad -1<\log (x-5)<2\\ &\textrm{b}.\quad ^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-3)>2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui}\\ &-1<\log (x-5)<2\\ &\Leftrightarrow -1<\, ^{10}\log (x-5)<2\qquad \color{blue}\textrm{mohon ingat}\\ &\Leftrightarrow (-1)\, ^{10}\log 10<\, ^{10}\log (x-5)<(2)\, ^{10}\log 10\\ &\Leftrightarrow \, \color{red}^{10}\log \color{black}10^{-1}<\, \color{red}^{10}\log \color{black}(x-5)<\, \color{red}^{10}\log \color{black}10^{2}\\ &\Leftrightarrow 10^{-1}<x-5<10^{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{10}<x-5<100\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{10}\color{red}+5\color{black}<x-5\color{red}+5\color{black}<100\color{red}+5\\ &\Leftrightarrow 5\displaystyle \frac{1}{10}<x<105\\ &\textrm{Jadi},\: \textrm{HP}=\left \{ x|5\displaystyle \frac{1}{10}<x<105 \right \} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Diketahui}\\ &^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-3)>2\\ &\Leftrightarrow \, ^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-3)>\, ^{2}\log 2^{2}\\ &\Leftrightarrow \, ^{2}\log x (x-3)>\, ^{2}\log 2^{2}\\ &\color{red}\textrm{Syarat numerusnya}\\ &f(x)>0\Leftrightarrow x>0\: \: \textrm{dan}\: \: (x-3)>0\\ &\textrm{atau}\: \: x>0\: \: \textrm{atau}\: \: x>3\\ &\color{red}\textrm{Proses lanjutan penyelesaian}\\ & \, ^{2}\log x (x-3)>\, ^{2}\log 2^{2}\\ &\color{blue}\textrm{Karena}\: \: a=2,\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)>p\\ &x(x-3)>2^{4}\Leftrightarrow x^{2}-3x>4\\ &x^{2}-3x-4>0\Leftrightarrow (x+1)(x-4)>0\\ &\Leftrightarrow x<-1\: \: \textrm{atau}\: \: x>4\\ &\textrm{Karena},\: \: x>4\: \: \textrm{berada di daerah}\: \: x>3 ,\\ &\textrm{maka}\: \: x>4\: \: \textbf{memenuhi dan yang}\\ &\textbf{lainnya tidak memenuhi}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \textrm{HP}=\left \{ x|x>4 \right \} \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll} 3.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\left ( ^{b}\log x \right )^{2}+10<7.\, ^{b}\log x,\: \: \textrm{dengan}\: \: b>1\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\left ( ^{b}\log x \right )^{2}+10<7.\, ^{b}\log x\\ &\Leftrightarrow \left ( ^{b}\log x \right )^{2}-7.\, \left (^{b}\log x \right )+10<0\\ &\Leftrightarrow \left ( ^{b}\log x-2 \right )\left (^{b}\log x-5 \right )<0\\ &\textrm{Penyelesaiannya}:\: 2<\, ^{b}\log x<5\\ &\Leftrightarrow (2).^{b}\log b<\, ^{b}\log x<(5).^{b}\log b\\ &\Leftrightarrow \, ^{b}\log b^{2}<\, ^{b}\log x<\, ^{b}\log b^{5}\\ &\Leftrightarrow b^{2}<x<b^{5}\\ &\textrm{Jadi},\:\textrm{ HP}=\left \{ x|b^{2}<x<b^{5} \right \} \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll} 4.&\textrm{Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan}\\ &\, ^{3}\log (5x-2)<\, ^{3}\log (3x+8)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\bullet \: \: \color{red}\textrm{Syarat basis},\: \color{black}a=3.\: \: \textrm{Jelas}\: 3>0,\: \neq 1\\ &\bullet \: \: \color{red}\textrm{Syarat numerusnya},\: \: \color{black}\textrm{dari bentuk}\: \: ^{a}\log f(x)>\, ^{a}\log g(x)\\ &\begin{array}{lll} \begin{array}{|c|c|}\hline f(x)&g(x)\\\hline \begin{aligned}&5x-2>0\\ &\Leftrightarrow \: 5x>2\\ &\Leftrightarrow \: x>\displaystyle \frac{2}{5} \end{aligned}&\begin{aligned}&3x+8>0\\ &\Leftrightarrow 3x>-8\\ &\Leftrightarrow \: x>-\displaystyle \frac{8}{3} \end{aligned}\\\hline \end{array}&\Rightarrow &\begin{aligned}&\textrm{Dari keduanya}\\ &\textrm{kita pilih yang}\\ &x>\displaystyle \frac{2}{5} \end{aligned} \end{array}\\ &\bullet \: \: \color{red}\textrm{Proses penyelesaian}\\ &.\quad\begin{aligned}&f(x)<g(x)\\ &\Leftrightarrow \: 5x-2<3x+8\\ &\Leftrightarrow \: 5x-3x<8+2\\ &\Leftrightarrow \: 2x<10\\ &\Leftrightarrow \: x<\displaystyle \frac{10}{2}\\ &\Leftrightarrow \: x<5.\\ &\textrm{Jadi, solusinya adalah}:\begin{cases} 1 &: x>\displaystyle \frac{2}{5}, \: \textrm{dan} \\ 2 &: x<5 \end{cases}\\ &\textrm{maka solusinya adalah}\: :\: \displaystyle \color{red}\frac{2}{5}<x<5 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$
$\LARGE\colorbox{aqua}{LATIHAN SOAL}$.
$\begin{array}{ll} &\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian dari}\\ &\textrm{pertidaksamaan berikut}!\\\\ &1.\quad -1<\log (2x-3)<2\\ &2.\quad ^{3}\log (2x-3)+\, ^{3}\log x >3\\ &3.\quad ^{6}\log (x^{2}+x-6)-1\geq 0\\ &4.\quad ^{4}\log (4^{x}.4)\leq 2-x\\ &5.\quad ^{.^{\frac{1}{3}}}\log (x-2)<2\\ &6.\quad ^{.^{\frac{1}{2}}}\log x^{2}-\, ^{.^{\frac{1}{2}}}\log (x+3)>-4\\ &7.\quad 4\left ( ^{.^{\frac{1}{2}}}\log m\right )<\, ^{.^{\frac{1}{3}}}\log81\\ &8.\quad ^{2}\log (x+2)<\, ^{(x+2)}\log (8x^{2}+32x+32)\\ &9.\quad ^{2}\log (2x+2)>6.\, ^{(x+1)}\log 2\\ &10.\: \: ^{2}\log \left ( 1-\, ^{2}\log x \right )<2\\ &11.\: \: ^{6}\log (x^{2}-x)<1\\ &12.\: \: ^{x}\log (x+12)-3.\, ^{x}\log 4+1\geq 0\\ &13.\: \: ^{5}\log x^{2}\leq \, ^{5}\log 5x\\ &14.\: \: \displaystyle \frac{2^{x}-4}{^{2}\log x-2}\leq 0\\ &15.\: \: \displaystyle \frac{^{2}\log x+\, ^{2}\log (x-1)}{^{2}\log 4}\leq 1\\ &16.\: \: \log \left | x+1 \right |\geq \log 3+\log \left | 2x-1 \right |\\\\ \end{array}$.
DAFTAR PUSTAKA
- Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
- Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.
