PAS MATEMATIKA BLOG: logarithmic inequality

Perhatikanlah grafik fungsi logaritma

$f : x \to^{a} \log x$ .

Ada 2 macam pilihan untuk nilai basisnya. Sesuai sifat-sifat logaritma, basis atau bilangan pokok akan mempengaruhi nilai suatu logaritma. Karena basis logaritma harus positif dan tidak boleh sama dengan 1, maka basis ini dapat dipecah menjadi 2 macam, yaitu:

Saat basisnya lebih besar dari 1 atau a>1, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

dan saat basisnya berada pada saat 0<a<1, maka gambar grafiknya adalah sebagai berikut:

Dari dua ilustrasi di atas dapat ditemukan dua hal, yaitu:

pada fungsi moton naik (saat a>1), jika $x_{1} < x_{2}$ , maka $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .
pada fungsi moton turun (saat 0<a<1), jika $x_{1} < x_{2}$ , maka $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

\begin{matrix} \begin{array}{ll} 1. & Untuk basis a > 1 \\ dengan f (x) > 0, g (x) > 0 : \\ ∙^{a} \log f (x) \geq^{a} \log g (x), maka f (x) \geq g (x) \\ ∙^{a} \log f (x) >^{a} \log g (x), maka f (x) > g (x) \\ ∙^{a} \log f (x) \leq^{a} \log g (x), maka f (x) \leq g (x) \\ ∙^{a} \log f (x) <^{a} \log g (x), maka f (x) < g (x) \\ 2. & Untuk basis 0 < a < 1 \\ dengan f (x) > 0, g (x) > 0 : \\ ∙^{a} \log f (x) \geq^{a} \log g (x), maka f (x) \leq g (x) \\ ∙^{a} \log f (x) >^{a} \log g (x), maka f (x) < g (x) \\ ∙^{a} \log f (x) \leq^{a} \log g (x), maka f (x) \geq g (x) \\ ∙^{a} \log f (x) <^{a} \log g (x), maka f (x) > g (x) \end{array} \end{matrix}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tentukan himpunan penyelesaian dari \\ a .^{3} \log (x + 1) > 2 \\ b .^{.^{\frac{1}{3}}} \log (x + 1) > 2 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Diketahui :^{3} \log (x + 1) > 2 \\ Syarat numerusnya \\ f (x) > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1 \\ Proses lanjutan penyelesaian \\ ^{3} \log (x + 1) > 2 \Leftrightarrow^{3} \log (x + 1) >^{3} \log 3^{2} \\ Karena a = 3, maka f (x) > p \\ (x + 1) > 3^{2} \\ \Leftrightarrow x + 1 > 9 \Leftrightarrow x > 8 \\ Karena, x > 8 berada di daerah x > - 1, \\ maka x > 8 memenuhi \\ Jadi, HP = {x | x > 8} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & Diketahui :^{.^{\frac{1}{3}}} \log (x + 1) > 2 \\ Syarat numerusnya \\ f (x) > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1 \\ Proses lanjutan penyelesaian \\ ^{.^{\frac{1}{3}}} \log (x + 1) > 2 \Leftrightarrow^{.^{\frac{1}{3}}} \log (x + 1) >^{.^{\frac{1}{3}}} \log {(\frac{1}{3})}^{2} \\ Karena a = \frac{1}{3}, maka f (x) < p \\ (x + 1) < {(\frac{1}{3})}^{2} \\ \Leftrightarrow x + 1 < \frac{1}{9} \Leftrightarrow x < \frac{1}{9} - 1 \Leftrightarrow x < - \frac{8}{9} \\ maka yang memenuhi - 1 < x < - \frac{8}{9} \\ Jadi, HP = {x | - 1 < x < - \frac{8}{9}} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukan himpunan penyelesaian dari \\ a . - 1 < \log (x - 5) < 2 \\ b .^{2} \log x +^{2} \log (x - 3) > 2 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & Diketahui \\ - 1 < \log (x - 5) < 2 \\ \Leftrightarrow - 1 <^{10} \log (x - 5) < 2 mohon ingat \\ \Leftrightarrow (- 1)^{10} \log 10 <^{10} \log (x - 5) < (2)^{10} \log 10 \\ \Leftrightarrow^{10} \log 10^{- 1} <^{10} \log (x - 5) <^{10} \log 10^{2} \\ \Leftrightarrow 10^{- 1} < x - 5 < 10^{2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{10} < x - 5 < 100 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{10} + 5 < x - 5 + 5 < 100 + 5 \\ \Leftrightarrow 5 \frac{1}{10} < x < 105 \\ Jadi, HP = {x | 5 \frac{1}{10} < x < 105} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & Diketahui \\ ^{2} \log x +^{2} \log (x - 3) > 2 \\ \Leftrightarrow^{2} \log x +^{2} \log (x - 3) >^{2} \log 2^{2} \\ \Leftrightarrow^{2} \log x (x - 3) >^{2} \log 2^{2} \\ Syarat numerusnya \\ f (x) > 0 \Leftrightarrow x > 0 dan (x - 3) > 0 \\ atau x > 0 atau x > 3 \\ Proses lanjutan penyelesaian \\ ^{2} \log x (x - 3) >^{2} \log 2^{2} \\ Karena a = 2, maka f (x) > p \\ x (x - 3) > 2^{4} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x > 4 \\ x^{2} - 3 x - 4 > 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 4) > 0 \\ \Leftrightarrow x < - 1 atau x > 4 \\ Karena, x > 4 berada di daerah x > 3, \\ maka x > 4 memenuhi dan yang \\ lainnya tidak memenuhi \\ Jadi, HP = {x | x > 4} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Tentukan himpunan penyelesaian dari \\ {(^{b} \log x)}^{2} + 10 < 7.^{b} \log x, dengan b > 1 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} {(^{b} \log x)}^{2} + 10 < 7.^{b} \log x \\ \Leftrightarrow {(^{b} \log x)}^{2} - 7. (^{b} \log x) + 10 < 0 \\ \Leftrightarrow (^{b} \log x - 2) (^{b} \log x - 5) < 0 \\ Penyelesaiannya : 2 <^{b} \log x < 5 \\ \Leftrightarrow (2) .^{b} \log b <^{b} \log x < (5) .^{b} \log b \\ \Leftrightarrow^{b} \log b^{2} <^{b} \log x <^{b} \log b^{5} \\ \Leftrightarrow b^{2} < x < b^{5} \\ Jadi, HP = {x | b^{2} < x < b^{5}} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan \\ ^{3} \log (5 x - 2) <^{3} \log (3 x + 8) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} ∙ Syarat basis, a = 3. Jelas 3 > 0, \neq 1 \\ ∙ Syarat numerusnya, dari bentuk^{a} \log f (x) >^{a} \log g (x) \\ \begin{array}{lll} \begin{array}{cc} f (x) & g (x) \\ \begin{aligned} 5 x - 2 > 0 \\ \Leftrightarrow 5 x > 2 \\ \Leftrightarrow x > \frac{2}{5} \end{aligned} & \begin{aligned} 3 x + 8 > 0 \\ \Leftrightarrow 3 x > - 8 \\ \Leftrightarrow x > - \frac{8}{3} \end{aligned} \end{array} & \Rightarrow & \begin{aligned} Dari keduanya \\ kita pilih yang \\ x > \frac{2}{5} \end{aligned} \end{array} \\ ∙ Proses penyelesaian \\ . \begin{aligned} f (x) < g (x) \\ \Leftrightarrow 5 x - 2 < 3 x + 8 \\ \Leftrightarrow 5 x - 3 x < 8 + 2 \\ \Leftrightarrow 2 x < 10 \\ \Leftrightarrow x < \frac{10}{2} \\ \Leftrightarrow x < 5. \\ Jadi, solusinya adalah : {\begin{cases} 1 & : x > \frac{2}{5}, dan \\ 2 & : x < 5 \end{cases} \\ maka solusinya adalah : \frac{2}{5} < x < 5 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}

LATIHAN SOAL

\begin{array}{ll} Tentukan himpunan penyelesaian dari \\ pertidaksamaan berikut! \\ 1. - 1 < \log (2 x - 3) < 2 \\ 2.^{3} \log (2 x - 3) +^{3} \log x > 3 \\ 3.^{6} \log (x^{2} + x - 6) - 1 \geq 0 \\ 4.^{4} \log (4^{x} .4) \leq 2 - x \\ 5.^{.^{\frac{1}{3}}} \log (x - 2) < 2 \\ 6.^{.^{\frac{1}{2}}} \log x^{2} -^{.^{\frac{1}{2}}} \log (x + 3) > - 4 \\ 7. 4 (^{.^{\frac{1}{2}}} \log m) <^{.^{\frac{1}{3}}} \log 81 \\ 8.^{2} \log (x + 2) <^{(x + 2)} \log (8 x^{2} + 32 x + 32) \\ 9.^{2} \log (2 x + 2) > 6.^{(x + 1)} \log 2 \\ 10.^{2} \log (1 -^{2} \log x) < 2 \\ 11.^{6} \log (x^{2} - x) < 1 \\ 12.^{x} \log (x + 12) - 3.^{x} \log 4 + 1 \geq 0 \\ 13.^{5} \log x^{2} \leq^{5} \log 5 x \\ 14. \frac{2^{x} - 4}{^{2} \log x - 2} \leq 0 \\ 15. \frac{^{2} \log x +^{2} \log (x - 1)}{^{2} \log 4} \leq 1 \\ 16. \log | x + 1 | \geq \log 3 + \log | 2 x - 1 | \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Sembiring,S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Pertidaksamaan Logaritma