PAS MATEMATIKA BLOG

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlah pernyataan-pernyataan berikut}\\ &(\textrm{i})\quad\textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{-} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=4\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{+} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=2,\\ &\qquad\textrm{maka nilai}\: \: \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=8\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{-} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=4\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{+} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=4,\\ &\qquad\textrm{maka nilai}\: \: \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=4\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{-} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=4\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{+} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=2,\\ &\qquad\textrm{maka nilai}\: \: \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)\: \: \textrm{tidak ada}\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{-} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=3\: \: \textrm{dan}\: \: \textrm{Jika}\: \: \underset{x\rightarrow 0^{+} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=2,\\ &\qquad\textrm{maka nilai}\: \: \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=1\\ \end{array}$

Pernyataan di atas yang tepat adalah ...

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{ii})\\ \textrm{b}.&(\textrm{i})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})\\ \textrm{c}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iii})\\ \textrm{d}.&(\textrm{ii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv})\\ \textrm{e}.&(\textrm{iii})\: \: \textrm{dan}\: \: (\textrm{iv}) \end{array}$

Jawab : c

Perhatikan definisi limit di sini

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Perhatikan gambar dan pernyataan-pernyataan berikut}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ &(\textrm{i})\quad\textrm{Nilai}\: \: \underset{x\rightarrow \displaystyle \frac{\pi }{2} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=4\\ &(\textrm{ii})\: \: \: \textrm{Nilai}\: \: \underset{x\rightarrow \displaystyle \frac{3\pi }{4} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=\sqrt{2}\\ &(\textrm{iii})\: \: \textrm{Nilai}\: \: \underset{x\rightarrow \displaystyle \pi }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=1\\\\ &(\textrm{iv})\: \: \textrm{Nilai}\: \: \underset{x\rightarrow \displaystyle \frac{5\pi }{4} }{\textrm{Lim}}\: \: f(x)=-1\\ &\textrm{Pernyataan-pernyataan yang tepat ditunjukkan oleh}....\\ \end{array}$

Jawab : a

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Perhatikan tabel nilai-nilai}\: \: f(x)\: \: \textrm{berikut}\\ \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}\hline x&f(x)\\\hline -1&2,37679\\\hline -0,2&2,01339\\\hline -0,1&2,00334\\\hline -0,01&2,00003\\\hline \cdots &\cdots \\\hline 0&?\\\hline \cdots &\cdots \\\hline 0,01&2,00003\\\hline 0,1&2,00334\\\hline 0,2&2,01339\\\hline 1&2,37679\\\hline \end{array}$

dan

(i) $\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{lim}}\: f(x)=0$

(ii) $\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{lim}}\: f(x)=1$

(iii) $\underset{x\rightarrow 0^{-} }{\textrm{lim}}\: f(x)=2$

(iv) $\underset{x\rightarrow 0^{+} }{\textrm{lim}}\: f(x)=2$

Dari pernyataan yang sesuai tabel di atas

yang tepat adalah ...

Jawab : e

Cukup jelas baik dengan limit kiri dan limit kanan diperoleh nilai limitnya = 2 saat x mendekati nol.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Nilai dari}\: \: \underset{x\rightarrow \displaystyle \frac{\pi }{2} }{\textrm{Lim}}\: \: \cos x=....\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&-1\\\\ \textrm{b}.&-\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ \textrm{c}.&0\\\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ \textrm{e}.&1 \end{array}$

Jawab : c

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Kita Selesai}&\textrm{kan dengan substitusi langsung, yaitu:}\\ \underset{x\rightarrow \displaystyle \frac{\pi }{2} }{\textrm{Lim}}\: \: \cos x&=\cos \displaystyle \frac{\pi }{2}=\cos 90^{\circ}=0 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Nilai dari}\: \: \underset{x\rightarrow \displaystyle \frac{\pi }{4} }{\textrm{Lim}}\: \: \sin \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{6} \right )=....\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&-1\\\\ \textrm{b}.&0\\\\ \textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\\\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{array}$

Jawab : e

Berikut pembahasannya

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{Kita Selesaikan deng}&\textrm{an substitusi langsung, yaitu:}\\ \underset{x\rightarrow \displaystyle \frac{\pi }{4} }{\textrm{Lim}}\: \: \sin \left ( 2x-\displaystyle \frac{\pi }{6} \right )&=\sin \left ( 2.\displaystyle \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right )\\ &=\sin \left ( \displaystyle \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6} \right )\\ &=\sin \left ( 90^{\circ}-30^{\circ} \right )\\ &=\sin 60^{\circ}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}$

Lanjutan 2 Limit Fungsi Trigonometri

C. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri

Rumus dasar limit fungsi trigonometri adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin x}{x}=1&\textrm{dan}&\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\tan x}{x}=1\\ &&\\ \color{blue}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{x}{\sin x}=1&\textrm{dan}&\color{blue}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{x}{\tan x}=1\\ &&\\ \textrm{demikian pula}&&\\ &&\\ \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{ax}{\sin ax}=1&\textrm{dan}&\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{ax}{\tan ax}=1\\ &&\\ \color{magenta}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin ax}{ax}=1&\textrm{dan}&\color{magenta}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\tan ax}{ax}=1\\\hline \end{arry}$

Contoh Soal Lanjutan 4 Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika jarak titik A ke C adalah 8 cm,

maka jarak titik A ke D adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&4\\ \textrm{b}.&4\sqrt{2}\\ \textrm{c}.&4\sqrt{3}\\ \textrm{d}.&4\sqrt{5}\\ \textrm{e}.&4\sqrt{6} \end{array}$

Jawab : b

Pembahasan diserahkan kepada pembaca yang budiman

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Perhatikanlah kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Jika jarak K ke Q adalah 9 cm,

maka jarak titik K ke L adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&3\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&3\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&9\sqrt{2}\\ \textrm{d}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{e}.&6\sqrt{2} \end{array}$

Jawab : b

Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca yang budiman

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Perhatikanlah limas T.ABCD sebagai berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm,

serta AB = 8 cm, dan BC = 6 cm,

maka jarak T ke bidang ABCD (Titik tengah bidang ABCD)

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&7\\ \textrm{b}.&8\\ \textrm{c}.&9\\ \textrm{d}.&10\\ \textrm{e}.&12 \end{array}$

Jawab : e

Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca yang budiman

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Perhatikanlah balok ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika panjang AB = 4 BC = 2 CG = 8 cm,

maka panjang AG adalah ... . cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&2\sqrt{21}\\ \textrm{b}.&2\sqrt{19}\\ \textrm{c}.&2\sqrt{17}\\ \textrm{d}.&2\sqrt{15}\\ \textrm{e}.&2\sqrt{13} \end{array}$

Jawab : a

$\begin{aligned}\textrm{AG}&=\sqrt{AC^{2}+CG^{2}}\\ &=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CG^{2}}\\ &=\sqrt{8^{2}+2^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{64+4+16}\\ &=\sqrt{84}\\ &=\sqrt{4.21}\\ &=\sqrt{4}.\sqrt{21}\\ &=2\sqrt{21}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Sebuah kubus panjang diagonal sisinya adalah 4 cm}\\ &{\textrm{Maka panjang rusuk kubus tersebut adalah ... cm}}\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&2\\ \textrm{c}.&2\sqrt{2}\\ \textrm{d}.&4\sqrt{2}\\ \textrm{e}.&4\sqrt{3} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\: \: c \end{array}$

Contoh Soal Lanjutan 3 Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus KLMN.OPQR berikut } \end{array}$

pernyataan berikut yang benar adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{titik R pada rusuk KL}\\ \textrm{b}.&\textrm{titik M pada rusuk LN}\\ \textrm{c}.&\textrm{titik K pada rusuk MN}\\ \textrm{d}.&\textrm{titik N pada rusuk LM}\\ \textrm{e}.&\textrm{titik Q pada rusuk QP} \end{array}$

Jawab : e

Jawaban cukup jelas

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuk kubus adalah $6\sqrt{2}$ cm,

maka panjang HB adalah .... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&6\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&9\\ \textrm{d}.&2\sqrt{6}\\ \textrm{e}.&3\sqrt{6} \end{array}$

Jawab : a

Karena HB adalah diagonal ruang, maka panjang HB adalah

$\begin{aligned}\textrm{HB}&=a\sqrt{3}=sisi.\sqrt{3}=\left ( 6\sqrt{2} \right ).\sqrt{3}=6\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika jarak titik A ke titik G adalah 9 cm,

maka jarak titik A ke titik B adalah .... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&9\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&3\sqrt{6}\\ \textrm{c}.&3\sqrt{3}\\ \textrm{d}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{e}.&6\sqrt{2} \end{array}$

Jawab : c

$\begin{aligned}\textrm{AG}=a\sqrt{3}&=9\\ a\sqrt{3}&=9\\ a&=\displaystyle \frac{9}{\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{9}{\sqrt{3}}\times \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{9}{3}\sqrt{3}\\ &=3\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}\\ \textrm{Jadi}&\: \: \textrm{panjang rusuk AB adalah}\: \: 3\sqrt{3}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuknya adalah 12 cm,

maka panjang KT adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&5\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&6\sqrt{6}\\ \textrm{c}.&6\sqrt{10}\\ \textrm{d}.&12\sqrt{2}\\ \textrm{e}.&12\sqrt{3} \end{array}$

Jawab : b

Sebelumnya silahkan perhatikan panjang beberapa unsur kubus berikut

Sehingga panjang KT adalah :

$\begin{aligned}\textrm{KT}&=\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}\\ \textrm{KT}&=\displaystyle \frac{1}{2}.(12).\sqrt{6}\\ &=6\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

Jika masih mengalami kesulitan,

pembaca dapat menuliskan pertanyaan di kolom komentar

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuknya adalah 12 cm,

maka panjang OU adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&12\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&12\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&8\sqrt{3}\\ \textrm{d}.&4\sqrt{3}\\ \textrm{e}.&2\sqrt{3} \end{array}$

Jawab : d

Perhatikanlah segitiga siku-siku TOK dengan titik siku-sikunya di titik O.

untuk menentukan panjang OU, maka

$\begin{aligned}\textrm{Luas}\Delta \textbf{TOK}&=\textrm{Luas}\Delta \textbf{TOK}\\ \displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \color{blue}\textrm{tinggi}&=\displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \textrm{tinggi}\\ \textrm{KT}\times \color{blue}\textrm{t}&=\textrm{OT}\times \textrm{OK}\\ \color{blue}\textrm{t}&=\displaystyle \frac{\textrm{OT}\times \textrm{OK}}{\textrm{KT}}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right )\times a}{\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{12}}{6},\qquad \textrm{ingat bahwa}\: \: \sqrt{12}=2\sqrt{3}\\ &=\displaystyle \frac{(12).2\sqrt{3}}{6}\\ &=4\sqrt{3} \end{aligned}$

Dan jika Anda mengalami kesulitan dalam memahami solusi di atas,

Anda dapat menyampaikan pertanyaan di kolom komentar

terima kasih