PAS MATEMATIKA BLOG: Maret 2024

Contoh Soal 8 Materi Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 36. & Persamaan lingkaran yang menyinggung \\ sumbu X serta melalui titik potong \\ lingkaran (x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1 dan \\ x^{2} + y^{2} + 3 x + 3 y + 4 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 4 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ dengan \\ ∙ L_{1} = (x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 4 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} + 3 x + 3 y + 4 = 0 \\ Untuk L_{1} - L_{2} = - x + y = 0 \Leftrightarrow y = x \\ Dengan cara coba-coba, maka \\ \begin{aligned} L_{3} & = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ = x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 4 + p (- x + y) = 0 \\ Untuk p = 1 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 4 + (- x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + x + 5 y + 4 = 0 \\ Untuk p = - 1 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 4 - (- x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 3 x + 3 y + 4 = 0 \\ Dan untuk p = - 2 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 4 - 2 (- x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 = 0 \end{aligned} \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnyanya \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 7 Materi Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 31. & Persamaan lingkaran yang melalui titik \\ (0, 0) dan titik potong kedua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 22 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 12 x + 10 y = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} + 8 x - 10 y = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 y = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 12 x - 8 y = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ dengan \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 22 = 0 \\ Untuk L_{1} - L_{2} = - 2 x - 2 y + 11 = 0 \\ Karena L_{3} melalui (0, 0), maka \\ \begin{aligned} L_{3} & = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ = x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 + p (- 2 x - 2 y + 11) = 0 \\ \Leftrightarrow 0^{2} + 0^{2} - 0 - 0 - 11 + p (0 + 11) = 0 \\ \Leftrightarrow p = 1 \end{aligned} \\ Sehingga \\ L_{3} = x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 11 + (- 2 x - 2 y + 11) = 0 \\ \Leftrightarrow L_{3} = x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{ll} 32. & Persamaan lingkaran yang melalui titik \\ (8, 4) dan titik potong lingkaran x^{2} + y^{2} = 16 \\ dan x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y - 16 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 y + 16 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y + 16 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 y - 16 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 y + 16 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ dengan \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 16 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0 \\ Untuk L_{1} - L_{2} = 4 x + 4 y - 16 = 0 \\ \Leftrightarrow x + y = 4 \\ Karena L_{3} melalui (8, 4), maka \\ \begin{aligned} L_{3} & = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ = x^{2} + y^{2} - 16 + p (x + y - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow 8^{2} + 4^{2} - 16 + p (8 + 4 - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow - 8 p = 64 \Leftrightarrow p = - 8 \end{aligned} \\ Sehingga \\ L_{3} = x^{2} + y^{2} - 16 - 8 (x + y - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow L_{3} = x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y + 16 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnyanya \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 33. & Persamaan lingkaran yang melalui titik \\ (7, - 4) dan titik potong kedua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 26 x + 4 y + 121 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 36 x - 2 y + 121 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} + 24 x - 4 y - 222 = 0 \\ c . 3 x^{2} + 3 y^{2} - 18 x + 2 y - 121 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 36 x + 2 y + 195 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 24 x + 2 y + 195 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa : L_{3} = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ dengan \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 26 x + 4 y + 121 = 0 \\ Untuk L_{1} - L_{2} = 20 x + 4 y - 148 = 0 \\ Karena L_{3} melalui (7, - 4), maka \\ \begin{aligned} L_{3} & = L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0 \\ = x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 \\ + p (20 x + 4 y - 148) = 0 \\ \Leftrightarrow 7^{2} + (- 4)^{2} - 42 - 32 - 27 \\ + p (140 - 16 - 148) = 0 \\ \Leftrightarrow - 24 p = 36 \Leftrightarrow p = - \frac{3}{2} \end{aligned} \\ Sehingga \\ L_{3} = x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 27 \\ - \frac{3}{2} (20 x + 4 y - 148) = 0 \\ \Leftrightarrow L_{3} = x^{2} + y^{2} - 36 x + 2 y + 195 = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

Berikut ilustrasi gambarnya

Jika dimensi gambar diperkecil menjadi

$\begin{array}{ll} 34. & Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan \\ lingkaran x^{2} + y^{2} - 12 x + 6 y + 20 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 16 x - 14 y + 64 = 0 serta pusatnya \\ terletak pada garis 8 x - 3 y - 19 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 20 x - 34 y + 108 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 16 x + 12 y + 96 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 12 x + 20 y + 88 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} + 16 x - 24 y + 108 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 22 x - 34 y + 96 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa persamaan lingkaran : \\ ∙ L_{1} = x^{2} + y^{2} - 12 x + 6 y + 20 = 0 \\ ∙ L_{2} = x^{2} + y^{2} - 16 x - 14 y + 64 = 0 \\ Persamaan tali busurnya (garis kuasa) \\ adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) \\ = 4 x + 20 y - 44 = 0 \Leftrightarrow x = 11 - 5 y \\ Selanjutnya dengan substitusi \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 12 x + 6 y + 20 = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 6)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow (11 - 5 y - 6)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow (y - 5 y)^{2} + (y + 3)^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow 26 y^{2} - 44 y + 9 = 0 \end{aligned} \\ Sehingga dengan memodifikasi \\ \begin{aligned} 26 y^{2} - 44 y + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow 25 y^{2} - 44 y + y^{2} + 9 = 0 \\ arahkan ke bentuk kuadrat sempurna \\ \Leftrightarrow 25 y^{2} - 10 y + 1 + y^{2} - 34 y + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 25 y^{2} - 10 y + 1 + y^{2} - 34 y + 17^{2} - 17^{2} + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow (5 y - 1)^{2} + (y - 17)^{2} - 281 = 0 \\ ingat bahwa ada tali busur 5 y = 11 - x \\ \Leftrightarrow (11 - x - 1)^{2} + (y - 17)^{2} - 281 = 0 \\ \Leftrightarrow (10 - x)^{2} + (y - 17)^{2} - 281 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 20 x + 100 + y^{2} - 34 y + 289 - 281 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 20 x - 34 y + 108 = 0 \end{aligned} \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$

$\begin{array}{ll} 35. & Persamaan lingkaran dengan titik pusat \\ pada garis x + 2 y - 3 = 0 dan melalui \\ titik potong dua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 6 x + 7 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 3 y + 4 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} - 3 x - 2 y + 7 = 0 \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ Gunakan cara pembahasan sebagaimana pada \\ nomor-nomor sebelumnya \\ Alternatif 2 \\ \begin{aligned} Diketahui \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0, dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0 \\ Persamaan tali busur dari kedua \\ lingkaran tersebut adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 \\ - (x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x - 2 y - 3 = 0 \\ Selanjutnya perlu ditentukan juga \\ Persamaan berkas lingkaran melalui \\ titik-titik potong kedua lingkaran \\ di atas adalah : \\ L_{1} + λ L_{2} = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 \\ + λ (x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (1 + λ) x^{2} + (1 + λ) y^{2} - (2 + 4 λ) x \\ - (4 + 2 λ) y + 1 + 4 λ = 0 \\ Saat λ = - 1, maka persamaan berkas \\ lingkarannya adalah : 2 x - 2 y - 3 = 0 \\ Hal ini hasilnya sama persis saat kita \\ menentukan persamaan tali busur di atas \\ Selanjutnya kita ambil \\ L_{2} - (L_{1} + λ L_{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 - (2 x - 2 y - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 7 = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

Gambar mula-mula

Lingkaran baru yang berpusat di (3,0)

Contoh Soal 6 Materi Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 26. & Diketahui lingkaran-lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + k = 0 dan \\ x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 7 = 0 saling \\ berpotongan ortogonal saat k = . . . . \\ a . - 10 \\ b . - 3 \\ c . 1 \\ d . 5 \\ e . 8 \\ Jawab : \\ Perhatikan tabel berikut \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + k = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (1, - \frac{3}{2}) \\ r_{1} & = \sqrt{\frac{13 - 4 k}{4}} \end{cases} \\ \begin{aligned} L_{2} & \equiv x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 7 = 0 \end{aligned} & {\begin{cases} P_{2} & = (- 4, 3) \\ r_{2} & = \sqrt{32} \end{cases} \end{array} \\ Syarat dua lingkaran berpotongan ortogonal \\ \begin{aligned} {(P_{1} P_{2})}^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \\ \Leftrightarrow {(1 + 4)}^{2} + {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2} = {(\sqrt{\frac{13 - 4 k}{4}})}^{2} + {\sqrt{32}}^{2} \\ \Leftrightarrow 25 + \frac{81}{4} = \frac{13 - 4 k}{4} + 32 \\ \Leftrightarrow 100 + 81 = 13 - 4 k + 128 \\ \Leftrightarrow k = - 10 \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 27. & Persamaan lingkaran yang berpotongan \\ lingkaran lain x^{2} + y^{2} + 2 x + y - 11 = 0 \\ secara tegak lurus dan melalui (4, 3) serta \\ pusatnya pada 9 x + 4 y = 37 adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 3 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y + 6 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 7 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} + 6 x + y + 5 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} + 12 x + 6 y + 5 = 0 \\ Jawab : \\ Perhatikan tabel berikut \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 x + y - 11 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 1, - \frac{1}{2}) \\ r_{1} & = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} \end{cases} \\ \begin{aligned} L_{2} & \equiv (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \end{aligned} & {\begin{cases} P_{2} & = (a, b) \\ r_{2} & = r \end{cases} \end{array} \\ Karena berpotongan tegak lurus, maka \\ \begin{aligned} {(P_{1} P_{2})}^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} \\ \Leftrightarrow {(- 1 - a)}^{2} + {(- \frac{1}{2} - b)}^{2} = \frac{49}{4} + r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + 2 a + 1 + b^{2} + b + \frac{1}{4} = \frac{49}{4} + r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 2 a + b + \frac{5}{4} = \frac{49}{4} + r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 2 a + b - 11 = r^{2} . . . . . . . (1) \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} Lingkaran L_{2} melalui titik (4, 3), artinya \\ bahwa : (4 - a)^{2} + (3 - b)^{2} = r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} - 8 a + 16 + b^{2} - 6 b + 9 = r^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 8 a - 6 b + 25 = r^{2} . . . . . . . (2) \\ Pusat lingkaran L_{2} melalui garis 9 x + 4 y = 37 \\ artinya : 9 a + 4 b = 37 . . . . . . . . . . . . . . . (3) \end{aligned} \\ \begin{aligned} Dengan eliminasi 1 & 2 dapat diperoleh : \\ \begin{aligned} a^{2} + b^{2} - 8 a - 6 b + 25 & = r^{2} \\ a^{2} + b^{2} + 2 a + b - 11 & = r^{2} & - \\ - 10 a - 7 b + 36 & = 0 & atau \\ 10 a + 7 b & = 36 & . . . . . . (4) \end{aligned} \\ Dari persamaan 3 & 4 dapat diperoleh : \end{aligned} \\ \begin{aligned} 10 a + 7 b & = 36 & (\times 4) \\ 9 a + 4 b & = 37 & (\times 7) \\ 40 a + 28 b & = 144 \\ 63 a + 28 b & = 259 \\ - 23 a & = - 115 \\ a & = \frac{- 115}{- 23} & = 5 \\ 10 (5) + 7 b & = 36 \\ 7 b & = - 14 \\ b & = - 2 \end{aligned} \\ Adapun langkah berikutnya \\ \begin{aligned} L_{2} \equiv (4 - a)^{2} + (3 - b)^{2} = r^{2} \\ L_{2} \equiv (4 - 5)^{2} + (3 + 2)^{2} = r^{2} \\ L_{2} \equiv r^{2} = 25 + 1 = 26 \\ Sehingga, L_{2} \equiv (x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 26 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 + 4 - 26 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 3 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

Jika diperjelas dengan tambahan garis 9x+4y=37

$\begin{array}{ll} 28. & Diketahui lingkaran pertama berpusat di (1, 2) \\ dan menyinggung garis 3 x - 4 y + 10 = 0. \\ Jika ada lingkaran kedua dengan pusat (4, 6) \\ dan menyinggung lingkaran yang pertama, \\ maka persamaan lingkaran yang kedua \\ tersebut adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 48 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 43 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 36 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 27 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 16 = 0 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa kedua lingkaran saling \\ bersinggungan di luar, maka \\ \begin{aligned} r_{1} + r_{2} & = P_{1} P_{2} \\ = \sqrt{(y_{2} - y_{1})^{2} + (x_{2} - x_{1})^{2}} \\ = \sqrt{(1 - 4)^{2} + (2 - 6)^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{5^{2}} = 5 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} r_{pertama} & = | \frac{3 (1) - 4 (2) + 10}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} | \\ = | \frac{3 - 8 + 10}{\sqrt{5^{2}}} | = | \frac{5}{5} | = | 1 | = 1 \\ sehingga \\ r_{kedua} & = 5 - r_{pertama} = 5 - 1 = 4 \end{aligned} \\ maka persamaan lingkaran keduanya adalah : \\ \begin{aligned} (x - 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 4^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 12 y + 36 = 16 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 36 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 29. & Garis kuasa (tali busur sekutu) \\ dari lingkaran \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0 \\ dan L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 12 y = 0 adalah . . . . \\ a . 3 x + 4 y + 9 = 0 \\ b . 3 x - 4 y - 8 = 0 \\ c . 3 x - 4 y + 7 = 0 \\ d . 3 x + 4 y - 7 = 0 \\ e . 3 x + 4 y - 6 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0, \\ dan L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 12 y = 0 \\ Persamaan garis kuasa dari kedua \\ lingkaran tersebut adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 \\ - (x^{2} + y^{2} - 12 y) = 0 \\ \Leftrightarrow 6 x + 8 y - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x + 4 y - 6 = 0 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 30. & Jika dua lingkaran \\ x^{2} + y^{2} = 9 dan \\ x^{2} + y^{2} - 4 y + 2 y + 3 = 0 yang \\ berpotongan di (x_{1}, y_{1}) dan (x_{2}, y_{2}), \\ maka nilai 5 (x_{1} + x_{2}) adalah . . . . \\ a . 24 \\ b . 26 \\ c . 28 \\ d . 30 \\ e . 32 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 9 = 0 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 3 \\ Persamaan garis kuasa dari kedua \\ lingkaran tersebut adalah : \\ L_{1} (x, y) - L_{2} (x, y) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 9 \\ - (x^{2} + y^{2} - 4 y + 2 y + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow 4 x - 2 y - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x - y - 6 = 0 \\ \Leftrightarrow y = 6 - 2 x \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + (6 - 2 x)^{2} - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2} - 9 = 0 \\ \Leftrightarrow 5 x^{2} - 24 x + 27 = 0 \\ \Leftrightarrow x_{1, 2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 540}}{10} \\ \Leftrightarrow x_{1, 2} = \frac{24 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{24 \pm 6}{10} \\ \Leftrightarrow x_{1, 2} = \frac{24 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{24 \pm 6}{10} \\ \Leftrightarrow x_{1} = 3 atau x_{2} = 1, 8 \\ maka 5 (x_{1} + x_{2}) = 5 (3 + 1, 8) = 24 \end{aligned} \end{array}$ .

Contoh Soal 5 Materi Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 21. & Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran \\ berikut \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + x + y - 14 = 0 \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} = 13 \\ L_{3} \equiv x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y - 26 = 0 adalah . . . . \\ a . (3, - 2) \\ b . (2, - 3) \\ c . (- 3, 2) \\ d . (- 2, 3) \\ e . (3, 2) \\ Jawab : \\ Dengan eliminasi, kita mendapatkan \\ \begin{aligned} \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & x^{2} + y^{2} + x + y & = & 14 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} & = & 13 & - \\ x + y & = & 1 & . . . . (1) \end{array} \\ dan \\ \begin{array}{lrlll} (L_{3}) & x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y & = & 26 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} & = & 13 & - \\ 3 x - 2 y & = & 13 & . . . . (2) \end{array} \\ Selanjutnya kita eliminasi (1) & (2) \\ dan hasilnya adalah : \\ \begin{array}{rrlrl} (2) & 3 x - 2 y & = & 13 \\ (1) & 3 x + 3 y & = & 3 & - (\times 3) \\ - 5 y & = & 10 \\ y & = & - 2 & \Rightarrow x = 3 \end{array} \\ Jadi, titik kuasa ketiganya : (3, - 2) \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}$

\begin{array}{ll} 22. & Titik-titik potong dari persekutuan dua \\ lingkaran L_{1} \equiv (x - 2)^{2} + y^{2} = 10 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + (y - 2)^{2} = 10 adalah . . . . \\ a . (3, 3) dan (1, 1) \\ b . (3, 3) dan (- 1, - 1) \\ c . (3, - 3) dan (1, 1) \\ d . (- 3, 3) dan (1, 1) \\ e . (- 3, - 3) dan (- 1, - 1) \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ Dengan substitusi opsi pilihan jawaban \\ maka akan ketemu jawabannya langsung \\ Alternatif 2 \\ Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar \\ \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & (x - 2)^{2} + y^{2} & = & 10 \\ (L_{2}) & x^{2} + (y - 2)^{2} & = & 10 \\ menjadi \\ (L_{1}) & x^{2} + y^{2} - 4 x & = & 6 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 4 y & = & 6 & - \\ - 4 x + 4 y & = & 0 \\ maka hasilnya \\ y & = & x \end{array} \\ Jelas opsi jawaban c, d salah \\ karena y = x, \\ Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban \\ akan tampak dengan jelas \end{array}

\begin{array}{ll} 23. & Persamaan tali busur persekutuan dua \\ lingkaran L_{1} \equiv (x - 3)^{2} + y^{2} = 16 dan \\ L_{2} \equiv x^{2} + (y - 3)^{2} = 16 adalah . . . . \\ a . y = - 2 x \\ b . y = - x \\ c . y = x \\ d . y = 2 x \\ e . y = \frac{1}{2} x \\ Jawab : \\ Dengan eliminasi, kita mendapatkan \\ \begin{array}{lrlll} (L_{1}) & (x - 3)^{2} + y^{2} & = & 16 \\ (L_{2}) & x^{2} + (y - 3)^{2} & = & 16 \\ menjadi \\ (L_{1}) & x^{2} + y^{2} - 6 x & = & 9 \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 6 y & = & 9 & - \\ - 6 x + 6 y & = & 0 \\ maka hasilnya \\ y & = & x \end{array} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 24. & Banyaknya garis singgung persekutuan \\ lingkaran-lingkaran x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 \\ dan x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 adalah . . . . \\ a . 0 \\ b . 1 \\ c . 2 \\ d . 3 \\ e . 4 \\ Jawab : \\ Perhatikan bahwa \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 1, 3) \\ r_{1} & = 1 \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (- 4, 3) \\ r_{2} & = 4 \end{cases} \end{array} \\ Perhatikan pula bahwa r_{2} - r_{1} = 4 - 1 = 3 \\ \begin{aligned} Karena P_{1} P_{2} = r_{2} - r_{1}, hal ini berarti lingkaran \\ L_{1} bersinggungan di dalam dengan lingkaran L_{2} \\ Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan \\ memiliki satu garis singgung persekutuan \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

$\begin{array}{ll} 25. & Persamaan lingkaran dengan jari-jari 5 \\ dan menyinggung lingkaran lain \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0 di titik \\ (5, 5) adalah . . . . \\ a . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ b . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ c . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ d . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ e . x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 120 = 0 \\ Jawab : \\ Diketahi bahwa \\ \begin{aligned} \begin{array}{rrlll} (L_{1}) & (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = & 5^{2} \\ (L_{2}) & x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y & = & 20 \end{array} \\ Titik singgung dua lingkaran \\ di titik (5, 5), artinya \\ (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array}) = \frac{(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})}{2} \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 - 1 \\ 10 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 8 \end{array}) \end{aligned} \\ \begin{aligned} maka persamaan lingkarannya adalah : \\ \Leftrightarrow (x - 9)^{2} + (y - 8)^{2} = 5^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 18 x - 16 y + 120 = 0 \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

Contoh Soal 4 Materi Lingkaran dan Hubungan Dua Lingkaran

$\begin{array}{ll} 16. & Salah satu garis singgung yang bersudut 120^{\circ} \\ terhadap sumbu x positif terhadap lingkaran \\ dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, - 2) \\ adalah . . . . \\ a . y = - x \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 12 \\ b . y = - x \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 8 \\ c . y = - x \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 4 \\ d . y = - x \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} - 8 \\ e . y = - x \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 22 \\ Jawab : \\ \begin{array}{cc} Pusat Lingkaran & Gradien Garis Singgung \\ \begin{aligned} (a, b) \\ = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) \\ = (\frac{7 + 1}{2}, \frac{6 + (- 2)}{2}) \\ = (4, 2) \end{aligned} & \begin{aligned} m & = \tan 120^{\circ} \\ = - \tan (180^{\circ} - 60^{\circ}) \\ = - \tan 60^{\circ} \\ = - \sqrt{3} \end{aligned} \\ Jari-jari & Garis Singgung \\ \begin{aligned} r & = jarak titik \\ singgung ke pusat \\ = \sqrt{(7 - 4)^{2} + (6 - 2)^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \end{aligned} & \begin{aligned} (y - b) = m (x - a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ \Leftrightarrow (y - 2) = - \sqrt{3} (x - 4) \pm 5 \sqrt{1 + (- \sqrt{3})^{2}} \\ \Leftrightarrow y - 2 = - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \pm 5 \sqrt{1 + 4} \\ \Leftrightarrow y = - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 2 \pm 10 \\ \Leftrightarrow y = {\begin{cases} - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 2 + 10 \\ - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 2 - 10 \end{cases} \\ \Leftrightarrow y = {\begin{cases} - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} + 12 \\ - \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} - 8 \end{cases} \end{aligned} \end{array} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{array}$ .

Dengan ilustrasi tambahan

\begin{array}{ll} 17. & Salah satu garis singgung lingkaran \\ x^{2} + y^{2} = 10 yang ditarik dari \\ titik (4, 2) adalah . . . . \\ a . x + 3 y = 10 \\ b . x - 3 y = 10 \\ c . - x - 3 y = 10 \\ d . 2 x + y = 10 \\ e . x + 2 y = 10 \\ Jawab : \\ \begin{array}{cc} \begin{aligned} Garis Singgung \\ di titik \\ (x_{1}, y_{1}) = (4, 2) \end{aligned} & \begin{aligned} Tahapan menentukan \\ harga m \end{aligned} \\ \begin{aligned} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 2 = m (x - 4) \\ y = m x - 4 m + 2 \end{aligned} & \begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 10 \\ x^{2} + {(m x - 4 m + 2)}^{2} = 10 \\ x^{2} + m^{2} x^{2} + 16 m^{2} + 4 - 8 m^{2} x + 4 m x - 16 m = 10 \\ x^{2} + m^{2} x^{2} + 16 m^{2} - 8 m^{2} x + 4 m x - 16 m - 6 = 0 \\ (1 + m^{2}) x^{2} + (4 m - 8 m^{2}) x + 16 m^{2} - 16 m - 6 = 0 \\ {\begin{cases} a & = 1 + m^{2} \\ b & = 4 m - 8 m^{2} \\ c & = 16 m^{2} - 16 m - 6 \end{cases} \end{aligned} \end{array} \\ \begin{aligned} Syarat menyinggung D = 0 \\ b^{2} - 4 a c = 0 \\ {(4 m - 8 m^{2})}^{2} - 4 (1 + m^{2}) (16 m^{2} - 16 m - 6) = 0 \\ 16 m^{2} - 64 m^{3} + 64 m^{4} - 64 m^{2} + 64 m + 24 - 64 m^{4} + 64 m^{3} + 24 m^{2} = 0 \\ - 24 m^{2} + 64 m + 24 = 0 \\ - 3 m^{2} + 8 m + 3 = 0 \\ (m - 3) (3 m + 1) = 0 \\ m = 3 atau m = - \frac{1}{3} \\ m = {\begin{cases} 3 & \Rightarrow y = 3 x - 10 \\ \Rightarrow 3 x - y = 10 \\ - \frac{1}{3} & \Rightarrow y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} + 2 \\ \Rightarrow x + 3 y = 10 \end{cases} \end{aligned} \end{array}

. \begin{aligned} Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned}

\begin{array}{ll} 18. & Diketahui persamaan lingkaran x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ dan sebuah titik di luar lingkaran M (a, b) \\ Posisi garis a x + b y = r^{2} adalah . . . . \\ a . menyinggung lingkaran \\ b . memotong lingkaran di dua titik \\ c . melalui titik pusat lingkaran \\ d . tidak memotong lingkaran \\ e . tidak ada yang benar \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ ∙ L \equiv x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ ∙ M (a, b) di luar lingkaran L \\ Selanjutnya perhatikan penjelasan berikut \\ \begin{aligned} Karena M (a, b) di luar lingkaran L, maka \\ maka salah satu dari a atau b atau keduanya \\ akan lebih besar nilanya dari pada r . \\ Misalkan kita pilih a > r \\ Ambil posisi saat memotong sumbu - X, y = 0 \\ \begin{aligned} Untuk lingkaran x^{2} + y^{2} = r^{2} \\ ∙ y = 0 \Rightarrow x^{2} + 0^{2} = r^{2} \Rightarrow x = | r | \\ Untuk garis a x + b y = r^{2} \\ ∙ y = 0 \Rightarrow a x = r^{2} \Rightarrow x = \frac{r^{2}}{a} \\ Dari sini tampak posisi x = | r | > \frac{r^{2}}{a} \geq 0 \end{aligned} \\ Sehingga kesimpulannya adalah : \\ garis tersebut akan selalu memotong lingkaran \end{aligned} \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 19. & Dua lingkaran dengan persamaan \\ lingkaran-lingkaran x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 21 = 0 \\ dan x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 25 = 0 adalah . . . . \\ a . berpotongan di luar titik \\ b . tidak berpotongan atau bersinggungan \\ c . bersinggungan luar \\ d . bersinggungan dalam \\ e . sepusat \\ Jawab : \\ Perhatikan bahwa \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 21 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 3, 4) \\ r_{1} & = 2 \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 25 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (- 5, 4) \\ r_{2} & = 4 \end{cases} \end{array} \\ dan \\ \begin{array}{cc} Jarak kedua pusat & Jumlah/selisih jari-jari \\ \begin{aligned} (P_{1} P_{2}) \\ = \sqrt{(- 3 + 5)^{2} + (4 - 4)^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{4} = 2 \end{aligned} & \begin{array}{r} {\begin{cases} r_{1} + r_{2} & = 2 + 4 = 6 \\ | r_{1} - r_{2} | & = | 2 - 4 | = 2 \end{cases} \end{array} \end{array} \\ Karena nilai P_{1} P_{2} = | r_{1} - r_{2} | = 2 \\ hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan \\ di dalam \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

\begin{array}{ll} 20. & Dua lingkaran dengan persamaan \\ lingkaran-lingkaran x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 \\ dan x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 adalah . . . . \\ a . berpotongan \\ b . bersinggungan di dalam \\ c . bersinggungan luar \\ d . tidak berpotongan \\ e . sepusat \\ Jawab : \\ Perhatikan bahwa \\ \begin{array}{lll} Lingakaran & Pusat/r \\ L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{1} & = (- 1, 3) \\ r_{1} & = 1 \end{cases} \\ L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 9 = 0 & {\begin{cases} P_{2} & = (- 4, 3) \\ r_{2} & = 4 \end{cases} \end{array} \\ dan \\ \begin{array}{cc} Jarak kedua pusat & Jumlah/selisih jari-jari \\ \begin{aligned} (P_{1} P_{2}) \\ = \sqrt{(- 1 + 4)^{2} + (3 - 3)^{2}} \\ = \sqrt{3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned} & \begin{array}{r} {\begin{cases} r_{1} + r_{2} & = 1 + 4 = 5 \\ | r_{1} - r_{2} | & = | 1 - 4 | = 3 \end{cases} \end{array} \end{array} \\ Karena nilai P_{1} P_{2} = | r_{1} - r_{2} | = 3 \\ hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan \\ di dalam \\ Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 3 Materi Lingkaran

$\begin{array}{ll} 11. & Lingkaran x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0 \\ menyinggung sumbu Y jika c = . . . . \\ A . a b \\ B . a b^{2} \\ C . a^{2} b \\ D . a^{2} \\ E . b^{2} \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0 \\ x = 0 \Rightarrow 0^{2} + y^{2} + 2 a .0 + 2 b y + c = 0 \\ y^{2} + 2 b y + c = 0 {\begin{cases} a & = 1 \\ b & = 2 b \\ c & = c \end{cases} \\ Syarat menyinggung adalah : \\ D = b^{2} - 4 a c = 0 \\ \Leftrightarrow (2 b)^{2} - 4.1 . c = 0 \\ \Leftrightarrow 4 c = 4 b^{2} \\ \Leftrightarrow c = b^{2} \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + c = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 a x + a^{2} + y^{2} + 2 b y + b^{2} + c - a^{2} - b^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (x + a)^{2} + (y + b)^{2} = a^{2} + b^{2} - c \\ Karena menyinggung sumbu-Y, maka R = a \\ Sehingga R^{2} = a^{2} + b^{2} - c = a^{2} \\ \Leftrightarrow b^{2} - c = 0 \\ \Leftrightarrow b^{2} = c \\ \Leftrightarrow c = b^{2} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadran \\ I dan berada di sepanjang garis y = 2 x . Jika \\ lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik \\ (0, 6), maka persamaan lingkaran L adalah . . . . \\ A . x^{2} + y^{2} - 3 x - 6 y = 0 \\ B . x^{2} + y^{2} + 6 x + 12 y - 108 = 0 \\ C . x^{2} + y^{2} + 12 x + 6 y - 72 = 0 \\ D . x^{2} + y^{2} - 12 x - 6 y = 0 \\ E . x^{2} + y^{2} - 6 x - 12 y + 36 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}, \\ menyinggung titik (0, 6) \\ berarti pusat lingkaran L juga terletak \\ pada garis y = 6. Hal ini menunjukkan bahwa \\ pusat lingkaran L berpusat di (x, 2 x) = (\frac{y}{2}, y), \\ dengan y = 6. Dari informasi di atas, \\ didapatlah pusat lingkaran berada di titik (3, 6) . \\ Sehingga persamaan lingkarannya adalah : \\ (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} = 3^{2} ingat r = absis x = 3 \\ \Leftrightarrow (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} = x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 12 x + 36 = 9 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 12 y + 36 = 0 \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}$ .

\begin{array}{ll} 13. & Persamaan garis singgung lingkaran \\ x^{2} + y^{2} + 8 x - 3 y - 24 = 0, di titik \\ (2, 4) adalah . . . . \\ A . 12 x - 5 y - 44 = 0 \\ B . 12 x + 5 y - 44 = 0 \\ C . 12 x - y - 50 = 0 \\ D . 12 x + y - 50 = 0 \\ E . 12 x + y + 50 = 0 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 8 x - 3 y - 24 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} - 3 y + \frac{9}{4} - 24 = 16 + \frac{9}{4} \\ \Leftrightarrow (x + 4)^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} = 16 + \frac{9}{4} + 24 = 42 \frac{1}{4} \\ Persamaan garis singgung lingkar an lingkaran \\ di titik (x_{1}, y_{1}) adalah : \\ (x_{1} + 4) (x + 4) + (y_{1} - \frac{3}{2}) (y - \frac{3}{2}) = 42 \frac{1}{4}, \\ untuk (x_{1}, y_{1}) = (2, 4), maka \\ (2 + 4) (x + 4) + (4 - \frac{3}{2}) (y - \frac{3}{2}) = \frac{169}{4} \\ \Leftrightarrow 6 (x + 4) + \frac{5}{2} (y - \frac{3}{2}) = \frac{169}{4} \\ \Leftrightarrow 24 (x + 4) + 5 (2 y - 3) = 169 \\ \Leftrightarrow 24 x + 96 + 10 y - 15 = 169 \\ \Leftrightarrow 24 x + 10 y = 169 - 96 + 15 = 88 \\ \Leftrightarrow 12 x + 5 y - 44 = 0 \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 14. & Sebuah garis singgung g menyinggung \\ lingkaran yang berpusat di (- 2, 5) dan \\ berjari-jari 2 \sqrt{10} di titk (4, 3), maka \\ persamaan garis singgung g adalah . . . . \\ A . y = 3 x + 9 \\ B . y = 3 x - 9 \\ C . y = - 3 x + 9 \\ D . y = - 3 x - 9 \\ E . y = 3 x + 21 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \\ {\begin{cases} Pusat & = (- 2, 5) \\ r & = 2 \sqrt{10} \end{cases} \\ maka persamaan lingkarannya : \\ (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = (2 \sqrt{10})^{2} \\ \Leftrightarrow (x_{1} + 2) (x + 2) + (y_{1} - 5) (y - 5) = 40, \\ menyingung garis g di (4, 3) \\ (4 + 2) (x + 2) + (3 - 5) (y - 5) = 40 \\ \Leftrightarrow 6 x + 12 - 2 y + 10 = 40 \\ \Leftrightarrow 6 x - 2 y = 40 - 12 - 10 \\ \Leftrightarrow 3 x - y = 9 \\ \Leftrightarrow - y = - 3 x + 9 \\ \Leftrightarrow y = 3 x - 9 \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 15. & Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak \\ pada kurva y = \sqrt{x} dan melalui titik asal O (0, 0) . \\ Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut \\ adalah a, maka persamaan garis singgung \\ lingkaran yang melalui titik O tersebut adalah . . . . \\ A . y = - x \\ B . y = - x \sqrt{a} \\ C . y = - a x \\ D . y = - 2 x \sqrt{2} \\ E . y = - 2 a x \\ Jawab : \\ \begin{array}{lcl} \begin{aligned} Pusat \\ lingkaran \end{aligned} & \begin{aligned} Gradien garis singgung \\ yang tegak lurus dengan \\ garis yang melalui titik \\ pusat lingkaran yang \\ bergradien m_{L} \end{aligned} & \begin{aligned} Persamaan garis \\ singgung yang \\ melalui titik asal \\ O (0, 0) \end{aligned} \\ \begin{aligned} (a, b) \\ = (a, \sqrt{a}) \end{aligned} & \begin{aligned} m . m_{1} = - 1 \\ m . \frac{y}{x} = - 1 \\ m = - \frac{x}{y} = - \frac{a}{\sqrt{a}} \\ = - \sqrt{a} \end{aligned} & \begin{aligned} y & = m x, \\ karena melalui \\ titik asal \\ y & = - \sqrt{a} x, \\ y & = - x \sqrt{a} \end{aligned} \end{array} \end{array}

Contoh Soal 2 Materi Lingkaran

$\begin{array}{ll} 6. & Diketahui lingkaran x^{2} + y^{2} + 4 x + k y - 12 = 0 \\ melalui titik (- 2, 8) maka jari-jari lingkaran \\ tersebut adalah . . . . \\ A . 1 \\ B . 5 \\ C . 6 \\ D . 12 \\ E . 25 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui ingkaran berpusat di (- 2, - \frac{1}{2} k), \\ yaitu : \\ x^{2} + y^{2} + 4 x + k y - 12 = 0 \\ melalui (- 2, 8) berarti \\ (- 2)^{2} + 8^{2} + 4 (- 2) + k .8 - 12 = 0 \\ 4 + 64 - 8 - 12 + 8 k = 0 \\ 48 + 8 k = 0 \\ k = - 6 \\ Sehingga r = \sqrt{\frac{4^{2}}{4} + \frac{(- 6)^{2}}{4} - (- 12)} \\ = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 7. & Persmaan lingkaran x^{2} + y^{2} + p x + 8 y + 9 = 0 \\ menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut \\ adalah . . . . \\ A . (6, - 4) \\ B . (6, 6) \\ C . (3, - 4) \\ D . (- 6, - 4) \\ E . (3, 4) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Lingkaran x^{2} + y^{2} + p x + 8 y + 9 = 0 \\ maka, \\ x^{2} + p x + y^{2} + 8 y + 9 = 0 \\ {(x + \frac{1}{2} p)}^{2} - \frac{1}{4} p^{2} + (y + 4)^{2} - 16 + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2} p)}^{2} + (y + 4)^{2} = 7 + \frac{1}{4} p^{2} \\ karena menyinggung sumbu-X, R = b = 4, \\ sehingga \\ 7 + \frac{1}{4} p^{2} = 4^{2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{4} p^{2} = 16 - 7 = 9 \Leftrightarrow p^{2} = 36 \Leftrightarrow p = \pm 6 \\ p = - 6 \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 9 = 0 \\ \Rightarrow pusatnya adalah (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (3, - 4) \\ p = 6 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 9 = 0 \\ \Rightarrow pusatnya adalah (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (- 3, - 4) \\ dan berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}$ .

\begin{array}{ll} 8. & Titik-titik berikut yang posisinya berada di luar \\ lingkaran x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y - 32 = 0 adalah . . . . \\ A . (0, 0) \\ B . (- 6, - 4) \\ C . (- 3, 2) \\ D . (3, 1) \\ E . (4, 1) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \begin{array}{cclc} Opsi & Titik & Lingkaran & Keterangan \\ A & (0, 0) & 0^{2} + 0^{2} - 2.0 + 8.0 - 32 = - 32 & dalam \\ B & (- 6, - 4) & (- 6)^{2} + (- 4)^{2} - 2 (- 6) + 8 (- 4) - 32 = 0 & pada \\ C & (- 3, 2) & (- 3)^{2} + (2)^{2} - 2 (- 3) + 8 (2) - 32 = 3 & di luar \\ D & (3, 1) & 3^{2} + 1^{2} - 2.3 + 8.1 - 32 = - 20 & dalam \\ E & (4, 1) & 4^{2} + 1^{2} - 2.4 + 8.1 - 32 = - 15 & dalam \end{array} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 9. & Diketahui garis x - 2 y = 5 memotong lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 4 y + 8 y + 10 = 0 di titik A dan B . \\ Panjang ruas garis AB adalah . . . . \\ A . 4 \sqrt{2} \\ B . 2 \sqrt{5} \\ C . \sqrt{10} \\ D . 5 \\ E . 4 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \begin{aligned} Perhatikanlah bahwa garis x - 2 y = 5 \\ memotong lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y + 10 = 0, \\ maka garis x = 2 y + 5 disubstitusikan ke \\ lingkaran tersebut, yaitu : \\ (2 y + 5)^{2} + y^{2} - 4 (2 y + 5) + 8 y + 10 = 0 \\ 4 y^{2} + 20 y + 25 + y^{2} - 8 y - 20 + 8 y + 10 = 0 \\ 5 y^{2} + 20 y + 15 = 0 \\ y^{2} + 4 y + 3 = 0 \\ (y + 1) (y + 3) = 0 \\ y = - 1 \lor y = - 3 \\ untuk nilai \\ y = - 3 \Rightarrow x = 2 (- 3) + 5 = - 1, A (- 1, - 3) \\ y = - 1 \Rightarrow x = 2 (- 1) + 5 = 3, B (3, - 1) \\ maka, AB = \sqrt{(3 - (- 1))^{2} + (- 1 - (- 3))^{2}} \\ = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{16 + 4} \\ = \sqrt{20} \\ = 2 \sqrt{5} \end{aligned} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 10. & Kekhususan persamaan lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 6 = 0 adalah . . . . \\ A . menyinggung sumbu X \\ B . menyinggung sumbu Y \\ C . berpusat di O (0, 0) \\ D . titik pusatnya terletak pada x - y = 0 \\ E . berjari-jari 3 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui persamaan lingkaran \\ x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 6 = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 6 y + 9 + 6 = 9 + 9 \\ (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 18 - 6 \\ (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 12 \\ (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2} \\ lingkaran ini {\begin{cases} Pusat & = (3, 3) \\ Jari-jari & = 2 \sqrt{3} \end{cases} \\ \begin{array}{clc} Opsi & Pernyataan & Keterangan \\ A & menyinggung sumbu X & tidak tepat \\ B & menyinggung sumbu Y & tidak tepat \\ C & berpusat di O (0, 0) & tidak tepat \\ D & titik pusatnya terletak pada garis x - y = 0 & tepat \\ E & berjari-jari 3 & tidak tepat \end{array} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}

Contoh Soal 1 Materi Lingkaran

$\begin{array}{ll} 1. & Jari-jari lingkaran dengan persamaan x^{2} + y^{2} = 48 \\ adalah . . . . \\ A . 3 \sqrt{5} \\ B . 4 \sqrt{3} \\ C . 5 \sqrt{2} \\ D . 6 \sqrt{3} \\ E . 7 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} r^{2} & = 48 \\ r & = \sqrt{48} \\ = \sqrt{16.3} \\ = 4 \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Titik pusat lingkaran (x - 7)^{2} + (y + 9)^{2} = 48 \\ adalah . . . . \\ A . (- 7, - 9) \\ B . (- 7, 9) \\ C . (7, - 9) \\ D . (7, 6) \\ E . (15, 48) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Jelas bahwa (a, b) & = (- 6, 9) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Persamaan lingkaran yang berpusat di P (- 2, 5) \\ dan melalui titik T (3, 4) adalah . . . . \\ A . (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 26 \\ B . (x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 36 \\ C . (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 82 \\ D . (x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 82 \\ E . (x + 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 82 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Persamaan Lingkaran Berpusat di (a, b) \\ adalah : (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} \\ \begin{array}{lll} Pusat di P (- 2, 5) & Melalui Titik T (3, 4) \\ \begin{aligned} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = r^{2} \\ (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} & = r^{2} \end{aligned} & \begin{aligned} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = r^{2} \\ (3 + 2)^{2} + (4 - 5)^{2} & = r^{2} \\ 5^{2} + (- 1)^{2} & = r^{2} \\ 26 & = r^{2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Sehinga persamaan \\ lingkarannya \end{aligned} & \begin{aligned} adalah : \\ (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = r^{2} = 26 \\ (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 26 \end{aligned} \end{array} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 4. & Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0 adalah . . . . \\ A . (- 3, 2) dan 3 \\ B . (3, - 2) dan 3 \\ C . (- 2, - 3) dan 3 \\ D . (2, - 3) dan 3 \\ E . (2, 3) dan 3 \\ Jawab : \\ Alterntif 1 \\ \begin{array}{ll} Persamaan Lingkaran Berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah \\ \begin{aligned} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} & = r^{2} \\ x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 & = 0 \\ x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 4 & = 0 \\ x^{2} - 4 x + 4 - 4 + y^{2} + 6 y + 9 - 9 + 4 & = 0 \\ (x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 + 4 & = 0 \\ (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} & = 4 + 9 - 4 \\ (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} & = 9 \\ (x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} & = 3^{2} {\begin{cases} Pusat & = (2, - 3) \\ dan \\ r & = 3 \end{cases} \end{aligned} \end{array} \\ Alterntif 2 \\ \begin{aligned} Diketahui & persamaan lingkaran : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0 {\begin{cases} A & = - 4 \\ B & = 6 \\ C & = 4 \end{cases} \\ x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 \\ {\begin{cases} Pusat & = (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) = (- \frac{1}{2} \dots, - \frac{1}{2} \dots) = (\dots, \dots) \\ Jari-jari & = \sqrt{\frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C} = \sqrt{\frac{1}{4} \dots^{2} + \frac{1}{4} \dots^{2} - \dots} = \sqrt{\dots} \end{cases} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 5. & Suatu lingkaran x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + p = 0 \\ berjari-jari 3, maka nilai p adalah . . . . \\ A . - 1 \\ B . - 2 \\ C . - 3 \\ D . - 4 \\ E . - 5 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} r = \sqrt{\frac{A^{2}}{4} + \frac{B^{2}}{4} - C} & = 3 \\ \sqrt{\frac{(- 4)^{2}}{4} + \frac{2^{2}}{4} - p} & = 3 \\ \frac{16}{4} + \frac{4}{4} - p & = 9 \\ 4 + 1 - p & = 9 \\ - p & = 9 - 5 \\ p & = - 4 \end{aligned} \end{array}$ .