Contoh Soal 8 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 36.&\textrm{Persamaan lingkaran yang menyinggung}\\ &\textrm{sumbu X serta melalui titik potong}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y+4=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+4x+2y-4=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\\ &\qquad \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=-x+y=0\Leftrightarrow y=x\\ &\color{blue}\textrm{Dengan cara coba-coba, maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+p(-x+y)=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+x+5y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=-1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Dan untuk}\: \: p=-2\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-2(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnyanya}  \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
4. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
5. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 7 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 31.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ &(0,0)\: \: \textrm{dan titik potong kedua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-8y-11=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4x-6y-22=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-12x+10y=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+8x-10y=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+12y=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-10y=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+12x-8y=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-4x-6y-22=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=-2x-2y+11=0\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (0,0), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11 +p(-2x-2y+11)=0\\ &\Leftrightarrow 0^{2}+0^{2}-0-0-11+p(0+11)=0\\ &\Leftrightarrow p=\color{blue}1 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11+(-2x-2y+11)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-8x-10y=0  \end{aligned}  \end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 32.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (8,4)\: \: \textrm{dan titik potong lingkaran}\: x^{2}+y^{2}=16\\ &\textrm{dan}\: \: x^{2}+y^{2}-4x-4y=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-8y-16=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+8y+16=0\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-8y+16=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+8y-16=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+8y+16=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-16=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-4x-4y=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=4x+4y-16=0\\ &\Leftrightarrow x+y=4\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (8,4), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-16+p(x+y-4)=0\\ &\Leftrightarrow 8^{2}+4^{2}-16+p(8+4-4)=0\\ &\Leftrightarrow -8p=\color{blue}64\color{black}\Leftrightarrow p=\color{blue}-8 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-16-8(x+y-4)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-8x-8y+16=0  \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnyanya}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 33.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (7,-4)\: \: \textrm{dan titik potong kedua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x+8y-27=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-26x+4y+121=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-36x-2y+121=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+24x-4y-222=0\\ &\textrm{c}.\quad 3x^{2}+3y^{2}-18x+2y-121=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-36x+2y+195=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+24x+2y+195=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-26x+4y+121=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=20x+4y-148=0\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (7,-4), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27\\ &\qquad+p(20x+4y-148)=0\\ &\Leftrightarrow 7^{2}+(-4)^{2}-42-32-27\\ &\qquad+p(140-16-148)=0\\ &\Leftrightarrow -24p=\color{blue}36\color{black}\Leftrightarrow p=\color{blue}-\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27\\ &\qquad-\displaystyle \frac{3}{2}(20x+4y-148)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-36x+2y+195=0  \end{aligned}  \end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

Jika dimensi gambar diperkecil menjadi

$\begin{array}{ll}\\ 34.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan}\\&\textrm{lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-16x-14y+64=0\: \: \textrm{serta pusatnya}\\ &\textrm{terletak pada garis}\: \: 8x-3y-19=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-20x-34y+108=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-16x+12y+96=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-12x+20y+88=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+16x-24y+108=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+22x-34y+96=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa persamaan lingkaran}:\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-16x-14y+64=0\\ &\textrm{Persamaan tali busurnya (garis kuasa)}\\ &\textrm{adalah}:\\ &L_{1}(x,y)-L_{2}(x,y)\\ &=4x+20y-44=0\Leftrightarrow \color{blue}x=11-5y\\ &\textrm{Selanjutnya dengan substitusi }\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\\ &\Leftrightarrow (x-6)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow (\color{blue}11-5y\color{black}-6)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow (y-5y)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow 26y^2-44y+9=0 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga dengan}\: \: \color{red}\textrm{memodifikasi}\\ &\begin{aligned}&26y^2-44y+9=0\\ &\Leftrightarrow 25y^2-44y+y^2+9=0\\ &\quad\textrm{arahkan ke bentuk kuadrat sempurna}\\ &\Leftrightarrow 25y^2-10y+1+y^2-34y+8=0\\ &\Leftrightarrow 25y^2-10y+1+y^2-34y+17^{2}-17^{2}+8=0\\ &\Leftrightarrow (5y-1)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\quad \textrm{ingat bahwa ada tali busur}\: \: \color{blue}5y=11-x\\ &\Leftrightarrow (\color{blue}11-x\color{black}-1)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\Leftrightarrow (10-x)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-20x+100+y^{2}-34y+289-281=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-20x-34y+108=0 \end{aligned}  \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 35.&\textrm{Persamaan lingkaran dengan titik pusat}\\ &\textrm{pada garis}\: \: x+2y-3=0\: \: \textrm{dan melalui}\\ &\textrm{titik potong dua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+7=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-3y+4=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-3x-2y+7=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Gunakan cara pembahasan sebagaimana pada}\\ &\textrm{nomor-nomor sebelumnya}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0,\: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{tali busur}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1\\ &-(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4)=0\\ &\Leftrightarrow 2x-2y-3=0\\ &\textrm{Selanjutnya perlu ditentukan juga}\\&\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{berkas lingkaran}\: \color{black}\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik-titik potong kedua lingkaran}\\ &\textrm{di atas adalah}:\\ &L_{1}+\lambda L_{2}=0\\ &x^{2}+y^{2}-2x-4y+1\\ &\qquad+\lambda \left ( x^{2}+y^{2}-4x-2y+4 \right )=0\\ &\Leftrightarrow (1+\lambda )x^{2}+(1+\lambda )y^{2}-(2+4\lambda )x\\ &\qquad -(4+2\lambda )y+1+4\lambda =0\\ &\textrm{Saat}\: \: \lambda =-1,\: \textrm{maka persamaan berkas}\\ &\textrm{lingkarannya adalah}:\: 2x-2y-3=0\\ &\textrm{Hal ini hasilnya sama persis saat kita}\\ &\textrm{menentukan persamaan}\: \color{red}\textrm{tali busur}\: \color{black}\textrm{di atas}\\ &\textrm{Selanjutnya kita ambil}\\ &L_{2}-(L_{1}+\lambda L_{2})=0\\ &\Leftrightarrow  x^{2}+y^{2}-4x-2y+4-(2x-2y-3)=0\\ &\Leftrightarrow  \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+7=0 \end{aligned}  \end{array}$.

Gambar mula-mula

Lingkaran baru yang berpusat di (3,0) 

Contoh Soal 6 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 26.&\textrm{Diketahui lingkaran-lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}-2x+3y+k=0\: \: \textrm{dan}\: \\  &x^{2}+y^{2}+8x-6y-7=0\: \: \textrm{saling}\\ &\textrm{berpotongan ortogonal saat}\: \: k=\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}-10\\ &\textrm{b}.\quad -3\\ &\textrm{c}.\quad 1\\ &\textrm{d}.\quad 5\\ &\textrm{e}.\quad 8\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x+3y+k=0&\begin{cases} P_{1} &=\left ( 1,-\displaystyle \frac{3}{2} \right ) \\  r_{1} & = \sqrt{\displaystyle \frac{13-4k}{4}} \end{cases}\\\hline \begin{aligned}L_{2}&\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y-7=0  \end{aligned}&\begin{cases} P_{2} &=\left ( -4,3 \right ) \\  r_{2} & = \sqrt{32} \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat dua lingkaran berpotongan ortogonal}\\ &\begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( 1+4 \right )^{2}+\left ( -\displaystyle \frac{3}{2}-3 \right )^{2}=\left ( \sqrt{\displaystyle \frac{13-4k}{4}} \right )^{2}+\sqrt{32}^{2}\\ &\Leftrightarrow \: 25+\displaystyle \frac{81}{4}=\displaystyle \frac{13-4k}{4}+32\\ &\Leftrightarrow \: 100+81=13-4k+128\\ &\Leftrightarrow \: k=-10 \end{aligned} \\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 27.&\textrm{Persamaan lingkaran yang berpotongan}\\ &\textrm{lingkaran lain}\: \:  x^{2}+y^{2}+2x+y-11=0\\ &\textrm{secara tegak lurus dan melalui}\: \: (4,3)\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{pusatnya pada}\: \: 9x+4y=37\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-10x+4y+3=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+10y+6=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}+4x-8y+7=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+y+5=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+12x+6y+5=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x+y-11=0&\begin{cases} P_{1} &=\left ( -1,-\displaystyle \frac{1}{2} \right ) \\  r_{1} & = \sqrt{\displaystyle \frac{49}{4}}=\displaystyle \frac{7}{2} \end{cases}\\\hline \begin{aligned}L_{2}&\equiv (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}  \end{aligned}&\begin{cases} P_{2} &=\left ( a,b \right ) \\  r_{2} & = r \end{cases}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena berpotongan tegak lurus, maka}\\ &\begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( -1-a \right )^{2}+\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}-b \right )^{2}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+2a+1+b^{2}+b+\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{blue}a^{2}+b^{2}+2a+b+\displaystyle \frac{5}{4}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+2a+b-11=r^{2}\: .......(1)\\ \end{aligned} \\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Lingkaran}\: \: L_{2}\: \: \textrm{melalui titik}\: \: (4,3), \textrm{artinya}\\ &\textrm{bahwa}\: :\: (4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}-8a+16+b^{2}-6b+9=r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-8a-6b+25=r^{2}\: .......(2)\\ &\textrm{Pusat lingkaran}\: \: L_{2}\: \: \textrm{melalui garis}\: \: 9x+4y=37\\ &\textrm{artinya}:\: 9a+4b=37\: ...............(3)\\  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan eliminasi}\: 1\: \&\: 2\: \: \textrm{dapat diperoleh}:\\ &\begin{array}{rll} a^{2}+b^{2}-8a-6b+25&=r^{2}&\\ a^{2}+b^{2}+2a+b-11&=r^{2}&-\\\hline -10a-7b+36&=0&\textrm{atau}\\ 10a+7b&=36&......(4) \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: 3\: \&\: 4\: \: \textrm{dapat diperoleh}:\\ & \end{aligned}\\ &\begin{array}{rll} 10a+7b&=36&(\times 4)\\ 9a+4b&=37&(\times 7)\\\hline 40a+28b&=144&\\ 63a+28b&=259&\\\hline -23a\: \quad\quad&=-115&\\ a&=\displaystyle \frac{-115}{-23}&=5\\ 10(5)+7b&=36&\\ 7b&=-14\\ b&=-2 \end{array}\\ &\textrm{Adapun langkah berikutnya}\\ &\begin{aligned}&L_{2}\equiv (4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}\\ &L_{2}\equiv (4-5)^{2}+(3+2)^{2}=r^{2}\\ &L_{2}\equiv r^{2}=25+1=26\\ &\textrm{Sehingga},\: L_{2}\equiv (x-5)^{2}+(y+2)^{2}=26\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-10x+4y+25+4-26=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-10x+4y+3=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.

Jika diperjelas dengan tambahan garis 9x+4y=37

$\begin{array}{ll}\\ 28.&\textrm{Diketahui lingkaran pertama berpusat di}\: \:  (1,2)\\ &\textrm{dan menyinggung garis}\: \: 3x-4y+10=0.\\ &\textrm{Jika ada lingkaran kedua dengan pusat}\: \: (4,6)\\ &\textrm{dan menyinggung lingkaran yang pertama},\\ &\textrm{maka persamaan lingkaran yang kedua}\\ &\textrm{tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+48=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+43=0\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-12y+36=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+27=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+16=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa kedua lingkaran saling}\\ &\color{blue}\textrm{bersinggungan di luar},\: \color{black}\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}r_{1}+r_{2}&=P_{1}P_{2}\\ &=\sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}\\ &=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-6)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{5^{2}}=5 \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}r_{\textrm{pertama}}&=\left |\displaystyle \frac{3(1)-4(2)+10}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}   \right |\\ &=\left | \displaystyle \frac{3-8+10}{\sqrt{5^{2}}} \right |=\left | \displaystyle \frac{5}{5} \right |=\left | 1 \right |=1\\ \textrm{sehingga} &\\ r_{\textrm{kedua}}&=5-r_{\textrm{pertama}}=5-1=4 \end{aligned}\\ &\textrm{maka persamaan lingkaran keduanya adalah}:\\ &\begin{aligned}&(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=4^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}-12y+36=16\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-12y+36=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 29.&\textrm{Garis kuasa (tali busur sekutu)}\\ &\textrm{dari lingkaran}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-4y-12=0\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-12y=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 3x+4y+9=0\\ &\textrm{b}.\quad 3x-4y-8=0\\ &\textrm{c}.\quad 3x-4y+7=0\\ &\textrm{d}.\quad 3x+4y-7=0\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}3x+4y-6=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-4y-12=0,\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-12y=0\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{garis kuasa}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+6x-4y-12\\ &-(x^{2}+y^{2}-12y)=0\\ &\Leftrightarrow 6x+8y-12=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}3x+4y-6=0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 30.&\textrm{Jika dua lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=9\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4y+2y+3=0\: \: \textrm{yang}\\ &\textrm{berpotongan di}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{dan}\: \: (x_{2},y_{2}),\\ &\textrm{maka nilai}\: \: 5(x_{1}+x_{2})\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}24\\ &\textrm{b}.\quad 26\\ &\textrm{c}.\quad 28\\ &\textrm{d}.\quad 30\\ &\textrm{e}.\quad 32\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-9=0\: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x+2y+3\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{garis kuasa}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-9\\ &-(x^{2}+y^{2}-4y+2y+3)=0\\ &\Leftrightarrow 4x-2y-12=0\\ &\Leftrightarrow 2x-y-6=0\\ &\Leftrightarrow y=6-2x \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+(6-2x)^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+36-24x+4x^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow 5x^{2}-24x+27=0\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{576-540}}{10}\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}\\ &\Leftrightarrow \quad x_{1}=3\: \: \textrm{atau}\: \: x_{2}=1,8\\ &\textrm{maka}\: \: 5(x_{1}+x_{2})=5\left ( 3+1,8 \right )=\color{red}24 \end{aligned} \end{array}$.

Contoh Soal 5 Materi Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran}\\ &\textrm{berikut}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+x+y-14=0\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}=13\\ &L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}+3x-2y-26=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}(3,-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2,-3)\\ &\textrm{c}.\quad (-3,2)\\ &\textrm{d}.\quad (-2,3)\\ &\textrm{e}.\quad (3,2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{lrlll} (L_{1})&x^{2}+y^{2}+x+y&=&14\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &x+y&=&1&....(1) \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{3})&x^{2}+y^{2}+3x-2y&=&26\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &3x-2y&=&13&....(2) \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya kita eliminasi}\: (1)\& (2)\\ &\textrm{dan hasilnya adalah}:\\ &\begin{array}{rrlrl} \color{blue}(2)&3x-2y&=&13\\ \color{blue}(1)&3x+3y&=&3&-\qquad (\times 3)\\\hline &-5y&=&10&\\ &y&=&\color{red}-2&\Rightarrow x=\color{red}3 \end{array}\\ &\textrm{Jadi, titik kuasa ketiganya}: (3,-2) \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Titik-titik potong dari persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-2)^{2}+y^{2}=10\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-2)^{2}=10\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad (3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}(3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\ &\textrm{c}.\quad (3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{d}.\quad (-3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{e}.\quad (-3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Dengan substitusi opsi pilihan jawaban}\\ &\textrm{maka akan ketemu jawabannya langsung}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-2)^{2}+y^{2}&=&10\\ (L_{2})&x^{2}+(y-2)^{2}&=&10&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-4x&=&6\\ (L_{2})&x^2+y^2-4y&=&6&-\\\hline &-4x+4y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array} \\ &\textrm{Jelas opsi jawaban c, d salah}\\ &\textrm{karena}\: \: y=x,\\ &\textbf{Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban}\\ &\textbf{akan tampak dengan jelas}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Persamaan tali busur persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-3)^{2}+y^{2}=16\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-3)^{2}=16\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad y=-2x\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}y=x\\ &\textrm{d}.\quad y=2x\\ &\textrm{e}.\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-3)^{2}+y^{2}&=&16\\ (L_{2})&x^{2}+(y-3)^{2}&=&16&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-6x&=&9\\ (L_{2})&x^2+y^2-6y&=&9&-\\\hline &-6x+6y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Banyaknya garis singgung persekutuan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}1\\ &\textrm{c}.\quad 2\\ &\textrm{d}.\quad 3\\ &\textrm{e}.\quad 4\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\  r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Perhatikan pula bahwa}\: \: r_{2}-r_{1}=4-1=3\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: \: P_{1}P_{2}=r_{2}-r_{1},\: \textrm{hal ini berarti lingkaran}\\ &L_{1}\: \: \textrm{bersinggungan di dalam dengan lingkaran}\: L_{2}\\ &\textrm{Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan }\\ &\textrm{memiliki}\: \: \color{red}\textrm{satu}\: \: \color{black}\textrm{garis singgung persekutuan} \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Persamaan lingkaran dengan jari-jari}\: \: 5\\ &\textrm{dan menyinggung lingkaran lain}\\ & x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0\: \: \: \textrm{di titik}\\ &(5,5)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahi bahwa}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{rrlll} (L_{1})&(x-a)^2+(y-b)^{2}&=&5^{2}\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}-2x-4y&=&20& \end{array} \\ &\textrm{Titik singgung dua lingkaran}\\ &\textrm{di titik}\: \: (5,5),\: \textrm{artinya}\\ &\begin{pmatrix} 5\\  5 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\  2 \end{pmatrix}}{2}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 10\\  10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\  2 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10-1\\  10-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\  8 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{maka persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\Leftrightarrow (x-9)^{2}+(y-8)^{2}=5^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-18x-16y+120=0 \end{aligned}\\  &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya}  \end{array}$.

Contoh Soal 4 Materi Lingkaran dan Hubungan Dua Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Salah satu garis singgung yang bersudut}\: \: 120^{\circ}\\ &\textrm{terhadap sumbu x positif terhadap lingkaran}\\ &\textrm{dengan ujung diameter titik}\: \: (7,6)\: \textrm{dan}\: \: (1,-2)\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+12\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8\\ &\textrm{c}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4\\ &\textrm{d}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}-8\\ &\textrm{e}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+22\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Pusat Lingkaran}&\textrm{Gradien Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}&(a,b)\\ &=\left ( \displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2} \right )\\ &=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}m&=\tan 120^{\circ}\\ &=-\tan \left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )\\ &=-\tan 60^{\circ}\\ &=-\sqrt{3}\\ &\\  \end{aligned} \\\hline \textrm{Jari-jari}&\textrm{Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}r&=\textrm{jarak titik}\\ &\: \: \: \: \: \, \textrm{singgung ke pusat}\\ &=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-2)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned} &(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ &\Leftrightarrow (y-2)=-\sqrt{3}(x-4)\pm 5\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}\\ &\Leftrightarrow y-2=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\pm 5\sqrt{1+4}\\ &\Leftrightarrow y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2\pm 10\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2+ 10 \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2- 10 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} \color{red}-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12 & \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}-8 & \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.

Dengan ilustrasi tambahan

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Salah satu garis singgung lingkaran}\\\ & x^{2}+y^{2}=10\: \: \textrm{yang ditarik dari}\\ &\textrm{titik}\: \: (4,2)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x+3y=10\\ &\textrm{b}.\quad x-3y=10\\ &\textrm{c}.\quad -x-3y=10\\ &\textrm{d}.\quad 2x+y=10\\ &\textrm{e}.\quad x+2y=10\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Garis Singgung}\\ &\quad\quad \textrm{di titik}\\ &(x_{1},y_{1})=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Tahapan menentukan}\\ &\quad\qquad \textrm{harga}\: \: m\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&y-y_{1}=m(x-x_{1})\\ &y-2=m(x-4)\\ &y=mx-4m+2\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=10\\ &x^{2}+\left ( mx-4m+2 \right )^{2}=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}+4-8m^{2}x+4mx-16m=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}-8m^{2}x+4mx-16m-6=0\\ &(1+m^{2})x^{2}+(4m-8m^{2})x+16m^{2}-16m-6=0\\ &\begin{cases} a & =1+m^{2} \\ b & =4m-8m^{2} \\ c & =16m^{2}-16m-6 \end{cases} \end{aligned}\\\hline  \end{array}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Syarat menyinggung}\: \: D=0\\ &b^{2}-4ac=0\\ &\left ( 4m-8m^{2} \right )^{2}-4\left ( 1+m^{2} \right )\left ( 16m^{2}-16m-6 \right )=0\\ &16m^{2}-64m^{3}+64m^{4}-64m^{2}+64m+24-64m^{4}+64m^{3}+24m^{2}=0\\ &-24m^{2}+64m+24=0\\ &-3m^{2}+8m+3=0\\ &(m-3)(3m+1)=0\\ &m=3\: \: \textrm{atau}\: \: m=-\displaystyle \frac{1}{3}\\ &m=\begin{cases} 3 & \Rightarrow y=3x-10\\ &\Rightarrow 3x-y=10\\ -\displaystyle \frac{1}{3} & \Rightarrow y=-\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+2\\ &\Rightarrow \color{red}x+3y=10 \end{cases}  \end{aligned}  \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\textrm{dan sebuah titik di luar lingkaran}\: \:  M(a,b)\\ &\textrm{Posisi garis}\: \: ax+by=r^{2}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung lingkaran}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{melalui titik pusat lingkaran}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak memotong lingkaran}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{tidak ada yang benar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\bullet \quad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad M(a,b)\: \: \textrm{di luar lingkaran}\: \: L\\ &\color{purple}\textrm{Selanjutnya perhatikan penjelasan berikut}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: M(a,b)\: \textrm{di luar lingkaran}\: L,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{maka salah satu dari}\: \: a\: \: \textrm{atau}\: \: b\: \: \textrm{atau keduanya}\\ &\textrm{akan lebih besar nilanya dari pada}\: \: r.\\ &\textrm{Misalkan kita pilih}\: \: a>r\\ &\color{blue}\textrm{Ambil posisi saat memotong sumbu}-X,\: \color{black}y=0\\ &\begin{aligned}&\textrm{Untuk lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow x^{2}+0^{2}=r^{2}\Rightarrow x=\left | r \right |\\ &\textrm{Untuk garis}\: \: ax+by=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow ax=r^{2}\Rightarrow x=\displaystyle \frac{r^{2}}{a}\\ &\textrm{Dari sini tampak posisi}\: \: x=\color{red}\left | r \right |> \displaystyle \frac{r^{2}}{a}\geq 0 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga kesimpulannya adalah}:\\ &\color{red}\textrm{garis tersebut akan selalu memotong lingkaran}   \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan di luar titik}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{tidak berpotongan atau bersinggungan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan dalam}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0&\begin{cases} P_{1} &=(-3,4) \\  r_{1} & = 2 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0&\begin{cases} P_{2} &=(-5,4) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )\\ &=\sqrt{(-3+5)^{2}+(4-4)^{2}}\\ &=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2}   & =2+4=6 \\  \left |r_{1}-r_{2}  \right |  & =\left | 2-4 \right |=2  \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2}  \right |\color{black}=\color{red}2\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan di dalam}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak berpotongan}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\  r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )\\ &=\sqrt{(-1+4)^{2}+(3-3)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2}   & =1+4=5 \\  \left |r_{1}-r_{2}  \right |  & =\left | 1-4 \right |=3  \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2}  \right |\color{black}=\color{red}3\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
4. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
5. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
6. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal 3 Materi Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &\textrm{menyinggung sumbu Y jika}\: \: c\: =....\\ &\textrm{A}.\quad ab\\ &\textrm{B}.\quad ab^{2}\\ &\textrm{C}.\quad a^{2}b\\ &\textrm{D}.\quad a^{2}\\ &\textrm{E}.\quad \color{red}b^{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &x=0\Rightarrow 0^{2}+y^{2}+2a.0+2by+c=0\\ &y^{2}+2by+c=0\begin{cases} a & =1 \\ b & =2b \\ c & =c \end{cases}\\ &\textrm{Syarat menyinggung}\: \textrm{adalah}:\\ &D=b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow (2b)^{2}-4.1.c=0\\ &\Leftrightarrow 4c=4b^{2}\\ &\Leftrightarrow c=\color{red}b^{2} \end{aligned} \\\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\  &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+2ax+a^{2}+y^{2}+2by+b^{2}+c-a^{2}-b^{2}=0\\ &\Leftrightarrow (x+a)^{2}+(y+b)^{2}=a^{2}+b^{2}-c\\ &\textrm{Karena menyinggung sumbu-Y, maka}\: \: R=a \\ &\textrm{Sehingga}\: \: R^{2}=a^{2}+b^{2}-c=a^{2}\\ &\Leftrightarrow b^{2}-c=0\\ &\Leftrightarrow b^{2}=c\\ &\Leftrightarrow c=\color{red}b^{2} \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadran}\\ &\textrm{I dan berada di sepanjang garis}\: \: y=2x.\: \: \textrm{Jika}\\ &\textrm{lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik}\\ &(0,6),\: \textrm{maka persamaan lingkaran L adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad x^{2}+y^{2}-3x-6y=0\\ &\textrm{B}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+12y-108=0\\ &\textrm{C}.\quad x^{2}+y^{2}+12x+6y-72=0\\ &\textrm{D}.\quad x^{2}+y^{2}-12x-6y=0\\ &\textrm{E}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-6x-12y+36=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},\\ &\textrm{menyinggung titik}\: \: (0,6)\\ &\textrm{berarti pusat lingkaran L juga terletak}\\ &\textrm{pada garis}\: \: y=6.\: \: \textrm{Hal ini menunjukkan bahwa }\\ &\textrm{pusat lingkaran}\: \: \, \: \textrm{L berpusat di}\: \: (x,2x)=(\frac{y}{2},y),\\ &\textrm{dengan}\: \: y=6.\, \: \textrm{Dari informasi di atas, }\\ &\textrm{didapatlah pusat lingkaran berada di titik}\: \: (3,6).\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ &(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=3^{2}\: \: \textrm{ingat}\: \: r=\textrm{absis}\: \: x=3\\ &\Leftrightarrow (x-3)^{2}+(y-6)^{2}=x^{2}-6x+9+y^{2}+12x+36=9\\ &\Leftrightarrow \, \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+12y+36=0\\ &\color{purle}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Persamaan garis singgung lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}+8x-3y-24=0,\: \: \textrm{di titik}\\ & (2,4)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad 12x-5y-44=0\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}12x+5y-44=0\\ &\textrm{C}.\quad 12x-y-50=0\\ &\textrm{D}.\quad 12x+y-50=0\\ &\textrm{E}.\quad 12x+y+50=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+8x-3y-24\\ &\Leftrightarrow x^{2}+8x+16+y^{2}-3y+\displaystyle \frac{9}{4}-24=16+\frac{9}{4}\\ &\Leftrightarrow \: (x+4)^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=16+\frac{9}{4}+24=42\frac{1}{4}\\ &\textrm{Persamaan garis singgung lingkar}\textrm{an lingkaran }\\ &\textrm{di titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{adalah}:\\ &(x_{1}+4)(x+4)+(y_{1}-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=42\frac{1}{4},\\ &\textrm{untuk}\: \: (x_{1},y_{1})=(2,4),\: \textrm{maka}\\ &(2+4)(x+4)+(4-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ &\Leftrightarrow 6(x+4)+\frac{5}{2}(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ &\Leftrightarrow 24(x+4)+5(2y-3)=169\\ &\Leftrightarrow 24x+96+10y-15=169\\ &\Leftrightarrow 24x+10y=169-96+15=88\\ &\Leftrightarrow \color{red}12x+5y-44=0\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Sebuah garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{menyinggung }\\ &\textrm{lingkaran yang berpusat di}\: \: (-2,5)\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{berjari-jari}\: \: 2\sqrt{10}\: \: \textrm{di titk}\: \: (4,3),\: \textrm{maka }\\ &\textrm{persamaan garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{adalah}\: .... \\ &\textrm{A}.\quad y=3x+9\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}y=3x-9\\ &\textrm{C}.\quad y=-3x+9\\ &\textrm{D}.\quad y=-3x-9\\ &\textrm{E}.\quad y=3x+21\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} & =(-2,5) \\ \textrm{r} & =2\sqrt{10} \end{cases} \\ &\textrm{maka persamaan lingkarannya}:\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=(2\sqrt{10})^{2}\\ &\Leftrightarrow (x_{1}+2)(x+2)+(y_{1}-5)(y-5)=40,\\ &\textrm{menyingung garis}\: \: g\: \: \textrm{di}\: (4,3)\\ &(4+2)(x+2)+(3-5)(y-5)=40\\ &\Leftrightarrow 6x+12-2y+10=40\\ &\Leftrightarrow 6x-2y=40-12-10\\ &\Leftrightarrow 3x-y=9\\ &\Leftrightarrow -y=-3x+9\\ &\Leftrightarrow \color{red}y=3x-9\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak }\\ &\textrm{pada kurva}\: \: y=\sqrt{x}\: \: \textrm{dan melalui titik asal}\: \:  O(0,0).\\ & \textrm{Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut }\\ &\textrm{adalah}\: \: a,\: \: \textrm{maka persamaan garis singgung }\\ &\textrm{lingkaran yang melalui titik}\: \: O\: \: \textrm{tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad y=-x\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}y=-x\sqrt{a}\\ &\textrm{C}.\quad y=-ax\\ &\textrm{D}.\quad y=-2x\sqrt{2}\\ &\textrm{E}.\quad y=-2ax\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{array}{|l|c|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Pusat}\\ &\textrm{lingkaran}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Gradien garis singgung}\\ &\textrm{yang tegak lurus dengan }\\ &\textrm{garis yang melalui titik}\\ &\textrm{pusat lingkaran yang }\\ &\textrm{bergradien}\: \: m_{L} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis }\\ &\textrm{singgung yang }\\ &\textrm{melalui titik asal}\\ &O(0,0)\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&(a,b)\\ &=\left ( a,\sqrt{a} \right )\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\color{blue}\begin{aligned}&m.m_{1}=-1\\ &m.\frac{y}{x}=-1\\ &m=-\frac{x}{y}=-\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}\\ &\: \: \: \, =-\sqrt{a} \end{aligned}&\begin{aligned}y&=mx,\\ & \textrm{karena melalui}\\ &\textrm{titik asal}\\ y&=-\sqrt{a}x,\\ y&=\color{red}-x\sqrt{a} \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{array}$.

Contoh Soal 2 Materi Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+4x+ky-12=0\\ &\textrm{melalui titik}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{maka jari-jari lingkaran}\\ &\textrm{tersebut adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad 1\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}5\\ &\textrm{C}.\quad 6\\ &\textrm{D}.\quad 12\\ &\textrm{E}.\quad 25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui ingkaran berpusat di}\: \left ( -2,-\displaystyle \frac{1}{2}k \right ),\\ &\textrm{yaitu}:\\ &x^{2}+y^{2}+4x+ky-12=0\\ & \textrm{melalui}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{berarti }\\ &(-2)^{2}+8^{2}+4(-2)+k.8-12=0\\ &4+64-8-12+8k=0\\ &48+8k=0\\ &k=\color{blue}-6\\ &\textrm{Sehingga}\: \:  r=\sqrt{\displaystyle \frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}\\ &\qquad\qquad \: \: \: =\sqrt{\displaystyle 4+9+12}=\sqrt{25}=\color{red}5\\ \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Persmaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9=0\\ &\textrm{menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut }\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad (6,-4)\\ &\textrm{B}.\quad (6,6)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(3,-4)\\ &\textrm{D}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{E}.\quad (3,4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textbf{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9=0\\ &\textrm{maka,}\\ &x^{2}+px+y^{2}+8y+9=0\\ &\left ( x+\displaystyle \frac{1}{2}p \right )^{2}-\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}+(y+4)^{2}-16+9=0\\ &\Leftrightarrow \left ( x+\displaystyle \frac{1}{2}p \right )^{2}+(y+4)^{2}=7+\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}\\ &\textrm{karena menyinggung sumbu-X,}\: \: \: \: R=b=4,\\ & \textrm{sehingga}\\ &7+\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}=4^{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{4}p^{2}=16-7=9\Leftrightarrow p^{2}=36\Leftrightarrow p=\color{blue}\pm 6\\ &p=-6\: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\\ &\quad\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=\color{red}(3,-4)\\ &p=6\: \: \: \, \: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}+6x+8y+9=0\\ &\quad\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=\color{red}(-3,-4)\\ &\color{purple}\textrm{dan berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Titik-titik berikut yang posisinya berada di luar }\\ &\textrm{lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-2x+8y-32=0\: \: \textrm{adalah}.... \\ &\textrm{A}.\quad (0,0)\\ &\textrm{B}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(-3,2)\\ &\textrm{D}.\quad (3,1)\\ &\textrm{E}.\quad (4,1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|l|c|}\hline \color{blue}\textrm{Opsi}&\color{blue}\textrm{Titik}&\qquad\qquad\quad\color{blue}\textrm{Lingkaran}&\color{blue}\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{A}&(0,0)&0^{2}+0^{2}-2.0+8.0-32=-32&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{B}&(-6,-4)&(-6)^{2}+(-4)^{2}-2(-6)+8(-4)-32=0&\textrm{pada}\\\hline \color{red}\textrm{C}&(-3,2)&(-3)^{2}+(2)^{2}-2(-3)+8(2)-32=3&\textbf{di luar}\\\hline \textrm{D}&(3,1)&3^{2}+1^{2}-2.3+8.1-32=-20&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{E}&(4,1)&4^{2}+1^{2}-2.4+8.1-32=-15&\textrm{dalam}\\\hline \end{array} \\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Diketahui garis}\: \: x-2y=5\: \: \textrm{memotong lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-4y+8y+10=0\: \: \textrm{di titik A dan B}.\\ &\textrm{Panjang ruas garis AB adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad 4\sqrt{2}\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}2\sqrt{5}\\&\textrm{C}.\quad \sqrt{10}\\ &\textrm{D}.\quad 5\\ &\textrm{E}.\quad 4\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah bahwa garis}\: \: \color{blue}x-2y=5\\&\textrm{memotong lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0,\\ &\textrm{maka garis}\: \: \color{blue}x=2y+5\: \: \color{black}\textrm{disubstitusikan ke}\\ &\textrm{lingkaran tersebut, yaitu}:\\ &(\color{blue}2y+5\color{black})^{2}+y^{2}-4(\color{blue}2y+5\color{black})+8y+10=0\\ &4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10=0\\ &5y^{2}+20y+15=0\\ &y^{2}+4y+3=0\\ &(y+1)(y+3)=0\\ &y=-1\: \: \vee \: \: y=-3\\ &\textrm{untuk nilai}\\ & y=-3\Rightarrow x=2(-3)+5=-1,\quad A(-1,-3)\\ &y=-1\Rightarrow x=2(-1)+5=3,\qquad B(3,-1)\\ &\textrm{maka},\qquad \textrm{AB}=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(-1-(-3))^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+2^{2}}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}\\ &=\color{red}2\sqrt{5} \end{aligned}\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Kekhususan persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-6y+6=0\: \:  \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \textrm{menyinggung sumbu X}\\ &\textrm{B}.\quad \textrm{menyinggung sumbu Y}\\ &\textrm{C}.\quad \textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)\\ &\textrm{D}.\quad \color{red}\textrm{titik pusatnya terletak pada}\: \: x-y=0\\ &\textrm{E}.\quad \textrm{berjari-jari 3}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-6y+6=0\\ &x^{2}-6x+9+y^{2}-6y+9+6=9+9\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=18-6\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=12\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}\\ &\textrm{lingkaran ini}\begin{cases} \textrm{Pusat} &=\color{blue}(3,3) \\ \textrm{Jari-jari}  &=\color{blue}2\sqrt{3} \end{cases}\\ &\begin{array}{|c|l|c|}\hline  \textrm{Opsi}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Pernyataan}&\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{A}&\textrm{menyinggung sumbu X}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{B}&\textrm{menyinggung sumbu Y}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{C}&\textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)&\textrm{tidak tepat}\\\hline \color{red}\textrm{D}&\color{red}\textrm{titik pusatnya terletak pada garis}\: \: x-y=0&\textbf{tepat}\\\hline \textrm{E}&\textrm{berjari-jari 3}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}  \end{array}$.

Contoh Soal 1 Materi Lingkaran

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jari-jari lingkaran dengan persamaan}\: \: x^{2}+y^{2}=48\\ &\textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle 3\sqrt{5}\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}4\sqrt{3}\\ &\textrm{C}.\quad 5\sqrt{2}\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle 6\sqrt{3}\\ &\textrm{E}.\quad 7\\\\ &\textbf{Jawab}:\qquad \\ &\begin{aligned}r^{2}&=48\\ r&=\sqrt{48}\\ &=\sqrt{16.3}\\ &=4\sqrt{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Titik pusat lingkaran}\: \: (x-7)^{2}+(y+9)^{2}=48\\ &\textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \displaystyle (-7,-9)\\ &\textrm{B}.\quad (-7,9)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(7,-9)\\ &\textrm{D}.\quad \displaystyle (7,6)\\ &\textrm{E}.\quad (15,48)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Jelas bahwa}\: \: \: (a,b)&=(-6,9) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Persamaan lingkaran yang berpusat di}\: \: P(-2,5)\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: T(3,4)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \color{red}(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=26\\ &\textrm{B}.\quad (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=36\\ &\textrm{C}.\quad (x+2)^{2}+(y-5)^{2}=82\\ &\textrm{D}.\quad (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=82\\ &\textrm{E}.\quad (x+2)^{2}+(y+5)^{2}=82\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Persamaan Lingkaran Berpusat di}\: \: (a,b)\\ & \textrm{adalah}:\: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline  \textrm{Pusat di}\: \: P(-2,5)&\textrm{Melalui Titik}\: \: T(3,4)\\\hline \begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x+2)^{2}+(y-5)^{2}&=r^{2}\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (3+2)^{2}+(4-5)^{2}&=r^{2}\\ 5^{2}+(-1)^{2}&=r^{2}\\ 26&=r^{2} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sehinga persamaan}\\ &\textrm{lingkarannya} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{adalah}:\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}=26\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=26\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad (-3,2)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{B}.\quad (3,-2)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{C}.\quad (-2,-3)\: \:\textrm{ dan}\: \: 3\\ &\textrm{D}.\quad \color{red}(2,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ &\textrm{E}.\quad (2,3)\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\\\ &\textbf{Jawab}: \\ &\textbf{Alterntif 1}\\ &\begin{array}{|l|l|}\hline &{\textrm{Persamaan Lingkaran Berpusat di}\: \: (a,b)\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: \: r\: \: \textrm{adalah}}\\ &{\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}-4x+6y+4&=0\\ x^{2}-4x+y^{2}+6y+4&=0\\ x^{2}-4x+4-4+y^{2}+6y+9-9+4&=0\\ (x-2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9+4&=0\\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=4+9-4\\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}&=9\\ (x-2)^{2}+(y-(-3))^{2}&=3^{2}\begin{cases} \textrm{Pusat} & =(2,-3) \\ \textrm{dan}\\ \: r & = 3 \end{cases} \end{aligned}}\\\hline \end{array}\\ &\textbf{Alterntif 2}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{persamaan lingkaran}:\: \: x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0\begin{cases} A & =-4 \\ B & =6 \\ C & =4 \end{cases}\\ &x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} & =\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,\: -\frac{1}{2}B \right )=\left ( -\frac{1}{2}\cdots ,\: -\frac{1}{2}\cdots \right )=(\cdots ,\cdots ) \\ \textrm{Jari-jari} & =\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\cdots ^{2}+\frac{1}{4}\cdots ^{2}-\cdots }=\sqrt{\cdots } \end{cases} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Suatu lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-4x+2y+p=0\\ &\textrm{berjari-jari 3, maka nilai}\: \: p\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad -1\\ &\textrm{B}.\quad -2\\ &\textrm{C}.\quad -3\\ &\textrm{D}.\quad \color{red}-4\\ &\textrm{E}.\quad -5\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}r=\sqrt{\displaystyle \frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}&=3\\ \displaystyle \sqrt{\frac{(-4)^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4}-p}&=3\\ \displaystyle \frac{16}{4}+\frac{4}{4}-p&=9\\ 4+1-p&=9\\ -p&=9-5\\ p&=-4 \end{aligned} \end{array}$.