Sistem Persamaan Linear

 A. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah adalah kumpulan dari beberapa persamaan linear di mana koefisien-koefisien persamaannya berupa bilangan real dan anatar variabel saling ada keterkaitan

$\textrm{1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel}$

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang selanjutnya disingkat dengan SPLDV memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\begin{aligned}&\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{matrix}\right. \end{aligned}$

Keterangan:

• $x,y\: \: \textrm{adalah variabel}$.
• $a_{1},a_{2}\: \: \textrm{koefisien}\: \: x$
• $b_{1},b_{2}\: \: \textrm{koefisien}\: \: y$.
• $c_{1},c_{2}\: \: \textrm{adalah konstanta}$.
• $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},\: \: \textrm{dan}\: \: c_{2}\: \: \textrm{adalah bilangan riil}$.

$\textrm{2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel}$

$\begin{array}{l}\\ \underline{\textbf{Bentuk Umum}}&:\\ &\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} \\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} \end{cases}\\\\ \qquad \quad \textbf{Keterangan}&\bullet \quad a_{1},\: a_{2},\: a_{3},\\ &\, \: \: \quad b_{1},\: b_{2},\: b_{3},\\ &\, \: \: \quad c_{1},\: c_{2},\: c_{3},\\ &\, \: \: \quad d_{1},\: d_{2},\: d_{3}\\ &\: \: \quad \textrm{semuanya adalah bilangan real} \end{array}$

$\textrm{B. Penyelesaian Sistem persamaan Linear}$

Menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear baik yang terdiri dari dua variabel ataupun tiga variabel adalah menentukan pasangan koordinat yang memenuhi sistem persamaan tersebut di bilangan riil. Adapun cara menyelesaikan sistem persamaan linear ini

• Metode Substitusi
• Metode Eliminasi
• Metode Eliminasi-Substitusi 
• Metode Determinan Matrik
• Metode Invers Matrik (Matrik Persegi minimal ordo 2x2)

$\textrm{1. Metode Eliminasi-Substitusi}$

Adapun langkah-langkah dalam penyelesaian model tipe ini (Metode Substitusi dan Metode Eliminasi mengikuti karena prosesnya terangkum di langkah gabungan ini) adalah:

• buatlah dua buah kelompok persamaan yang memungkinkan dapat disederhanakan (kalau bisa ambil yang termudah dan sederhana menurut Anda)
• Salah satu variabel dihilangkan dengan cara menyamakan koefisien variabel yang bersangkutan kemudian mengeliminasikan dengan persamaan linear yang dipilih pada langkat pertama tadi.
• Nilai variabel yang didapatkan disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan pada langkah pertama tadi juga.
• Jika diperlukan lagi, prinsipnya kembali pada poin pertama tadi

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ &\begin{cases} 2x-y=7 \\ x-y=-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Mis}&\textrm{alkan}\\ &\begin{cases} 2x-y=7&.....(1) \\ x-y=-1&.....(2) \end{cases}\\ &\begin{aligned}&\textrm{dari persamaan}\: (2)\: \textrm{didapatkan}\\ &x=y-1.\: \textrm{Bentuk ini kemudian}\\ &\textrm{kita substitusikan ke}\\ &\textrm{persamaan}\: \: (1). \end{aligned}\\ &\begin{aligned}2x-y&=7\\ 2\left ( y-1 \right )-y&=7\\ 2y-2-y&=7\\ y&=9\quad .....(3)\\ \textrm{Selanjutnya}&\: \textrm{nilainya kita}\\ \textrm{substitusikan ke}&\: \textrm{persamaan}\: \: (2)\\ x&=y-1\\ x&=9-1\\ x&=8 \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &\begin{cases} x =8 \\ y =9 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, HP}=\left \{ (8,9) \right \} \end{aligned}\\ \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah penyelesaian SPLDV dari}\\ &\begin{cases} 2x-y+z=-4 \\ 2x-y-2z=-3\\ x+3y-z=0 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Per}&\textrm{hatikan misal}\\ &\begin{cases} 2x-y+z=-4..........(1) \\ 2x-y-2z=-3........(2)\\ x+3y-z=0.............(3) \end{cases}\\ &\begin{aligned}&\textrm{dari persamaan}\: (2)\: \textrm{didapatkan}\\ &2x-y=2z-3.\: \textrm{Bentuk ini}\\ &\textrm{kita substitusikan ke}\\ &\textrm{persamaan}\: \: (1). \end{aligned} \\ &\begin{aligned}2x-y+z&=-4\\ (2z-3)+z&=-4\\ 3z&=-1\\ z&=-\frac{1}{3}\quad .....(4)\\ \textrm{Selanjutnya}&\: \textrm{nilai tersebut kita}\\ \textrm{substitusikan ke}&\: \textrm{pers.}\: \: (2)\: \textrm{dan}\: (3)\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{cases} 6x-3y=-11.....(2) \\ x+3y=-\frac{1}{3}.....(3) \end{cases} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{dengan cara seperti}\\ &\textrm{poin 1.a kita akan}\\ &\textrm{mendapatkan nilai}\\ x&=-\frac{34}{21}\: \textrm{dan}\\ y&=\frac{3}{7} \end{aligned} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &\begin{cases} x =-\frac{34}{21} \\ y =\frac{3}{7}\\ z=-\frac{1}{3} \end{cases}\\ &\textrm{HP}=\left \{ \left ( -\frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3} \right ) \right \} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

TAMBAHAN MATERI

$\textrm{2. Metode determinan Matriks}$

Perhatikan kemabil bentuk SPLDV dan SPLTV berikut:

$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{cases}$ 

dan

$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \\ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} \end{cases}$

Metode determinat matriks adalah penyelesaian nilai tidap variabel dengan menggunakan determinan berikut:

Misalkan saja diberikan:

$\begin{aligned}&\begin{aligned}ax+by&=p\\ cx+dy&=q \end{aligned}\\\\ &\textrm{dan}\\\\ &\begin{aligned}ax+by+cz&=r\\ dx+ey+fz&=s\\ gx+hy+iz&=t \end{aligned}\\ \end{aligned}$

maka penyelesaian dengan model matriks adalah:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Metode}&\textbf{SPLDV}&\textbf{SPLTV}\\\hline \textrm{Determinan}&\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} p & b\\ q & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}\\ &\textrm{dan}\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & p\\ c & q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} r & b & c\\ s & e & f\\ t & h & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}}\\ &\textrm{dan}\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & r & c\\ d & s & f\\ g & t & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}}\\ &\textrm{serta}\\ z&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} a & b & r\\ d & e & s\\ g & h & t \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

Sebagai catatan:

$\begin{aligned}&\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}-b\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix} \end{aligned}$

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

Mari kita buka lagi contoh sebelumnya dengan soal yang sama di SINI

dan kearang penyelesaian dari soal tersebut akan diselesaikan dengan cara determinan matriks (cara Cramer sesuai nama penemunya) berikut:

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLDV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y & =7 \\ x-y & =-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{7(-1)-(-1).(-1)}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-7-1}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2(-1)-(7).1}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-2-7}{-2+1}=\frac{-9}{-1}=9\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: (x,y)=(8,9) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y+z & =-4 \\ 2x-y-2z & =-3\\ x+3y-z&=0 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} -4 & -1&1\\ -3 & -1&-2\\ 0&3&-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1&1\\ 2 & -1&-2\\ 1&3&-1 \end{vmatrix}}\\ x&=\displaystyle \frac{-4\begin{vmatrix} -1&-2\\ 3&-1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -3 & -2\\ 0 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -3 & -1\\ 0 & 3 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & -2\\ 3 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{-4(1+6)+1(3-0)+1(-9-0)}{2(1+6)+1(-2+2)+1(6+1)}\\ &=\displaystyle \frac{-28+3-9}{14+0+7}\\ &=\frac{-34}{21}\\ y&=.... \\ z&=....\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: (x,y,y)=\left ( -\displaystyle \frac{34}{21},\frac{3}{7},-\frac{1}{3} \right ) \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastola & Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA

Materi Link

https://ahmadthohir1098.blogspot.com/2024/11/kumpulan-materi-matematika-ma-sma-kelas.html