Tampilkan postingan dengan label binomial distribution. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label binomial distribution. Tampilkan semua postingan

Contoh Soal 3 Distribusi Binomial

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Suatu tes dengan pilihan jawaban }\\ &\textrm{benar-salah berjumlah 8 soal}\\ &\textrm{Supaya lulus tes, peserta diharuskan }\\ &\textrm{menjawab benar minimal 50}\%\\ &\textrm{Peluang seseorang dianggap lulus tes }\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,2188\qquad\qquad\quad\qquad \quad\textrm{d}.\quad 0,6367\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \color{red}0,2734\quad \: \color{black}\textrm{c}.\quad 0,3633\quad\quad \textrm{e}.\quad 0,7266\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&p=\textbf{Peluang benar}=\displaystyle \frac{1}{2},\qquad \textrm{dan}\: \: \\ &q=\textbf{Peluang Salah}=1-\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ &f(x)=P(X=x)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}.q^{n-x}\\ &\textrm{maka}\\ &P\left ( X=50\%(8)=4 \right )=\begin{pmatrix} 8\\ 4 \end{pmatrix}\times \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{4}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{8-4}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{8!}{4!\times 4!}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{4+4}\\ &\qquad =70\times \displaystyle \frac{1}{256}\\ &\qquad =\color{red}0,2734 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Sebuah kotak berisi 20 bola dengan }\\ &\textrm{rincian 12 boal berwarna kuning dan }\\ &\textrm{sisanya berwarna hijau. Dari kotak} \\ &\textrm{diambil 6 bola secara acak. Peluang}\\ &\textrm{terambil 4 bola hijau adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,1238\quad\quad\qquad\qquad \qquad\textrm{d}.\quad 0,8132\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\displaystyle 0,1382\: \quad \color{black}\textrm{c}.\quad 0,3110\quad\quad \textrm{e}.\quad 0,9590\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&p=\textbf{Peluang bola kuning}\\ &\: \: =\displaystyle \frac{C_{1}^{12}}{C_{1}^{20}}=\displaystyle \frac{12}{20}=\frac{3}{5},\\ &q=\textbf{Peluang bola hijau}=1-\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{2}{5}\\ &f(x)=P\left ( X=x \right )=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}.q^{n-x}\\ &\textrm{maka}\\ &f(4)=\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}\times \left ( \displaystyle \frac{2}{5} \right )^{4}\times \left ( \frac{3}{5} \right )^{6-4}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{6!}{2!\times 4!}\left ( \displaystyle \frac{16}{625} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{9}{25} \right )\\ &\qquad =15\times \displaystyle \frac{144}{15625}=\frac{2160}{15625}\\ &\qquad =\color{red}0,1382 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Dua dadu dilambungkan 5 kali}\\ &\textrm{Peluang muncul pasangan mata dadu}\\ &\textrm{berjumlah 4 sampai dengan 7 }\\ &\textrm{sebanyak 4 kali adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,1503\: \: \: \: \qquad\qquad\quad\quad \quad\textrm{d}.\quad 0,1583\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle 0,1553\quad \textrm{c}.\quad \color{red}0,1563\quad\quad \color{black}\textrm{e}.\quad 0,1593\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&p=\textbf{Peluang mata dadu berjumlah 4 sampai 7}\\ &\: \: =\displaystyle \frac{18}{36}=\frac{1}{2},\qquad \textrm{dan}\: \: \\ &q=\textbf{Peluang bola hijau}=1-\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ &f(x)=P\left ( X=x \right )=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}.q^{n-x}\\ &f(4)=P\left ( X=4 \right )=\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}\times \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{4}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{5-4}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{5!}{1!\times 4!}\left ( \displaystyle \frac{1}{16} \right )\times \left (\frac{1}{2} \right )\\ &\qquad =5\times \displaystyle \frac{1}{32}=\frac{5}{32}\\ &\qquad =\color{red}0,1563 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Peluang seseorang sembih dari }\\ &\textrm{penyakit jantung adalah 0,6}\\ &\textrm{Jika 7 orang penderita ini menjalani }\\ &\textrm{operasi, maka peluang 3 sampai}\\ &\textrm{6 orang sembuh adalah}... .\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,0629\qquad\qquad\quad\qquad \quad\textrm{d}.\quad \color{red}0,6822\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle 0,2613\quad \textrm{c}.\quad 0,2898\quad\quad \: \textrm{e}.\quad 0,9720\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&p=\textbf{Peluang sembuh}=0,6,\qquad \textrm{maka}\: \: \\ &q=\textbf{Peluang tidak sembuh}=1-0,6=0,4\\ &f(x)=P\left ( X=x \right )=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}.q^{n-x}\\ &\textrm{maka}\\ &P\left ( 3\leq X\leq 6 \right )=P\left ( X\leq 6 \right )-P\left ( X\leq 3 \right )\\ &=C_{4}^{7}(0,6)^{4}(0,4)^{3}+C_{5}^{7}(0,6)^{5}(0,4)^{2}+C_{6}^{7}(0,6)^{6}(0,4)^{1}\\ &=35\times 0,0082944+21\times 0,0124416+7\times 0,0186624\\ &=0,290304+0,2612736+0,1306368\\ &=\color{red}0,6822144 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Peluang seseorang mendapatkan reaksi }\\ &\textrm{buruk setelah disuntik adalah 0,0005}\\ &\textrm{Dari 4000 orang yang disuntik, maka }\\ &\textrm{peluang seseorang mendapatkan reaksi}\\ & \textrm{ada 2 orang adalah}.....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}e^{-2}\\ &\textrm{b}.\quad e^{-2}\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}2e^{-2}\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{2}e^{2}\\ &\textrm{e}.\quad 2e^{2}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Di atas adalah contoh kasus }\\ &\textrm{permasalahan}\: \: \textbf{Distribusi Poisson}\\ &P\left ( X=x \right )=f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{e^{-\lambda }.\lambda ^{x}}{x!}\: \: ,\: \: x=0,1,2,3,\cdots \\\ 0,\quad \textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{matrix}\right.\\ &P\left ( X=2 \right )=\displaystyle \frac{e^{-np}.(np)^{2}}{2!}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{e^{-(4000.0,0005)}.(4000.0,0005)^{2}}{2!}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{e^{-2}.2^{2}}{2}\\ &\qquad =\color{red}2e^{-2} \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal 2 Distribusi Binomial

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Pengundian terhadap mata uang }\\ &\textrm{yang homogen sebanyak 10 kali}\\ &\textrm{Peluang untuk mendapatkan 6 }\\ &\textrm{muka angka adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0,1172\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}0,2051\\ &\textrm{c}.\quad 0,2461\\ &\textrm{d}.\quad 0,2651\\ &\textrm{e}.\quad 0,2852\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&p=\textbf{Peluang Angka}=\displaystyle \frac{1}{2},\quad \textrm{dan}\: \: \\ &q=\textbf{Bukan Angka}\\ &\: \: =\textbf{Peluang Gambar}=1-\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ &f(x)=P(x;n;p)=P(X=x)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &\textrm{maka}\\ &f(x)=P\left ( X=x \right )=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}.q^{n-x}\\ &f(6)=P\left ( X=6 \right )=\begin{pmatrix} 10\\ 6 \end{pmatrix}\times \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{6}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{10-6}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{10!}{6!\times 4!}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{6+4}\\ &\qquad =210\times \displaystyle \frac{1}{1024}\\ &\qquad =\color{red}0,2051 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Pada pengundian terhadap mata uang identik},\\ &\textrm{sebanyak 10 kali, peluang distribusi binomial} \\ &\textrm{untuk mendapatkan 7 muka gambar adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle 0,2653&&\textrm{d}.\quad \displaystyle 0,7522\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \color{red}0,1172&\textrm{c}.\quad \displaystyle 0,2653&\textrm{e}.\quad 0,2422 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Uraian berikut sekaligus tambahan}\\ &\textrm{penjelasan pada uraian jawaban}\\ &\color{blue}\textrm{soal no. 6 di atas}\\ &\begin{aligned}f(x)&=P(x;n;p)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &\textrm{Ingat sebuah koin ada 2 muka}\\ &\textrm{yaitu muka gambar (G) dan angka (A)}\\ &\color{red}\textrm{misalkan}\\ &A=\textrm{kejadian muncul muka gambar}\\ &\textrm{maka peluangnya adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{Selanjutnya di sini disimbolkan dengan}\: \: \: \color{blue}p=\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\color{red}\textrm{Demikian juga misalkan}\\ &B=\textrm{kejadian muncul muka angka}\\ &\textrm{maka peluang juga}\: \displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{Di sini dituliskan dengan}\: \: \: \color{blue}q=\displaystyle \frac{1}{2}\\ f(7)&=\begin{pmatrix} 10\\ 7 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{7}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{10-7}\\ &=\begin{pmatrix} 10\\ 7 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{7}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}\\ &=\displaystyle \frac{10!}{7!\times (10-7)!}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{7+3}\\ &=\displaystyle \frac{10.9.8.\not{7!}}{\not{7!}.3.2.1}\left ( \displaystyle \frac{1}{1024} \right ) \\ &=\color{red}0,1172 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Sebuah uang logam dilempar sebanyak 8}\\ &\textrm{kali. Peluang muncul gambar sebanyak}\\ &\textrm{5 kali adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{3}{32}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \color{red}\frac{7}{32}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{4}{32}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{5}{32}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{9}{32} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=P(x;n;p)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ f(5)&=\begin{pmatrix} 8\\ 5 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{5}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{8-5}\\ &=\begin{pmatrix} 8\\ 5 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{5}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}\\ &=\displaystyle \frac{8!}{5!\times (8-5)!}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{5+3}\\ &=\displaystyle \frac{8.7.6.5!}{5!.3.2.1}\left ( \displaystyle \frac{1}{256} \right ) \\ &=\displaystyle \frac{8.7}{256}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{7}{32} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Pada pelemparan sebuah koin sebanyak 4 kali}\\ &\textrm{Peluang didapatkannya dua angka pada} \\ &\textrm{pelemparan tersebut adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle 0,123&&\textrm{d}.\quad \displaystyle 0,232\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 0,135&\textrm{c}.\quad \displaystyle 0,154&\textrm{e}.\quad \color{red}0,375 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=P(x;n;p)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ f(2)&=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{4-2}\\ &=\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\\ &=\displaystyle \frac{4!}{2!\times (4-2)!}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2+2}\\ &=\displaystyle \frac{4.3.2!}{2!.2.1}\left ( \displaystyle \frac{1}{16} \right ) \\ &=\color{red}0,375 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Dari data survei didapatkan bahwa}\\ &\textrm{satu dari lima orang telah berkunjung}\\ &\textrm{ke dokter dalam sembarang bulan yang}\\ &\textrm{ditanyakan. Jika 10 orang dipilih secara}\\ &\textrm{acak, peluang 3 orang telah berkunjung}\\ &\textrm{ke dokter bulan lalu adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0,125&&&\textrm{d}.&\displaystyle \color{red}0,201\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 0,174&\textrm{c}.&\displaystyle 0,182&\textrm{e}.&\displaystyle 0,423 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=P(x;n;p)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ f(3)&=\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{5} \right )^{3}\left ( \displaystyle \frac{4}{5} \right )^{10-3}\\ &=\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{5} \right )^{3}\left ( \displaystyle \frac{4}{5} \right )^{7}\\ &=\displaystyle \frac{10!}{3!\times 7!}\left ( \displaystyle \frac{1}{125} \right )\left ( \displaystyle \frac{4^{7}}{5^{7}} \right )\\ &=\cdots \\ &=\color{red}\displaystyle 0,201 \end{aligned} \end{array}$


Contoh Soal 1 Distribusi Binomial

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Manakah yang merupakan data diskrit dari pernyataan berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Suhu Badan Anton ketika sakit mencapai}\: \: 40^{\circ}C\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Kecepatan mobil yang sedang melaju adalah}\: \: 100\: \: km/jam\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Tinggi tiang bendaera di madrasah Budi adalah 4 m}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\textrm{Jumlah guru yang mengajar di MA Futuhiyah }\\ &\qquad \color{red}\textrm{sebanyak 30 orang}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{Berat bayi yang baru lahir adalah 3.500 gram}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Alasannya dikarena hasil mencacah} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika Anda mengumpulkan nilai raport}\\ &\textrm{teman-teman sekelas Anda untuk pelajaran}\\ &\textrm{ matematika, maka data yang Anda peroleh }\\ &\textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}\textrm{data diskrit}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{data kontinu}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{data kualitatif}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Populasi}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{Sampel}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan catatan nilainya cacah} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Ukuran yang dihitung dari seluruh data }\\ &\textrm{dalam populasi adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{data kuantitatif}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{data kualitatif}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Statistik}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Statistika}\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}\textrm{Parameter}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Parameter adalah ukuran dari }\\ &\textrm{seluruh data atau populasi} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui distribusi peluang suatu }\\ &\textrm{variabel acak diskrit sebagai berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3\\\hline f(x)&m&0,26&3m&0,42\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Peluang nilai X minimal berharga 2 adalah}\\ &\textrm{a}.\quad 0,24\\ &\textrm{b}.\quad 0,34\\ &\textrm{c}.\quad 0,42\\ &\textrm{d}.\quad 0,58\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}0,66\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: X\: \: \textrm{adalah variabel }\\ &\textrm{acak diskrit, maka}\: \: \sum f(x)=1\\ &F(c)=P(X\leq c)=\displaystyle \sum_{x=0}^{x=c}f(x)\\ &=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(c)=1\\ &\textrm{dalam hal soal}\: \textrm{di atas, maka kita tentukan}\\ &\textrm{nilai}\: \: \color{blue}m\: \: \color{black}\textrm{dulu}\\ &F(3)=P(X\leq 3)=\displaystyle \sum_{x=0}^{x=3}f(x)\\ &=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=1\\ &1=m+0,26+3m+0,42=4m+0,68\\ &4m=1-0.68=0,32\\ &m=0.08, \qquad \textrm{sehingga}\\ &P(2\leq X\leq 3)=f(2)+f(3)=3m+0,42\\ &=3(0,08)+0,42=0,24+0,42=\color{red}0,66 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Diketahui fungsi peluang suatu }\\ &\textrm{variabel acak kontinu adalah}\\ &f(y)=\left\{\begin{matrix} 0,\quad \textrm{untuk \textit{y} yang lain}\\\\ \displaystyle \frac{2y+k}{50},\: \: \textrm{untuk}\: \: 0\leq y\leq 5 \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Nilai}\: \: P\left ( \left | Y-1 \right |\leq 2 \right )\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{7}{25}\qquad\qquad\qquad\qquad \textrm{d}.\quad \frac{14}{25}\\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{9}{25}\qquad \textrm{c}.\quad \color{red}\frac{12}{25}\qquad\quad \color{black}\textrm{e}.\quad \frac{18}{25}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\int_{0}^{5}\displaystyle \frac{2y+k}{50}\: dy=1\\ &1=\int_{0}^{5}\displaystyle \frac{2y+k}{50}\: dy\\ &50=\int_{0}^{5}(2y+k)dy\\ &50=y^{2}+ky|_{0}^{5}=5^{2}+5k=25+5k\\ &k=5\\ &\color{blue}P(\left | Y-1 \right |\leq 2)=P\left ( -2\leq Y-1\leq 2 \right )\\ &=P\left ( -1\leq Y\leq 3 \right )\\ &=f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\\ &=\int_{0}^{3}\left ( \displaystyle \frac{2y+5}{50} \right )dy\\ &=\displaystyle \frac{1}{50}\left ( y^{2}+5y \right )|_{0}^{3}\\ &=\displaystyle \frac{1}{50}\left ( 9+15 \right )=\displaystyle \frac{24}{50}=\color{red}\frac{12}{25} \end{aligned} \end{array}$


Lanjutan Materi Distribusi Binomial (Matematika Peminatan Kelas XII)

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D}.\quad&\textrm{Binomial Newton} \end{aligned}$

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D. 1}.\quad&\textrm{Binomial Newton} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah susunan bilangan berikut}\\\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline &\\ 1=C_{0}^{\color{red}1}\quad 1=C_{1}^{\color{red}1}&(a+b)^{\color{red}1}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}2}\quad 2=C_{1}^{\color{red}2}\quad 1=C_{2}^{\color{red}2}&(a+b)^{\color{red}2}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}3}\quad 3=C_{1}^{\color{red}3}\quad 3=C_{2}^{\color{red}3}\quad 1=C_{3}^{\color{red}3}&(a+b)^{\color{red}3}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}4}\quad 4=C_{1}^{\color{red}4}\quad 6=C_{2}^{\color{red}4}\quad 4=C_{3}^{\color{red}4}\quad 1=C_{4}^{\color{red}4}&(a+b)^{\color{red}4}\\ \vdots &\: \: \quad\vdots \\ dst&(a+b)^{\color{red}\cdots }\\ &\\ \vdots&\: \: \quad\vdots \\ &(a+b)^{\color{red}n}\\\hline \end{array}\\\\ &\textrm{Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya}\\ &\textrm{dinamakan}\: \: \: \textbf{Segitiga Pascal}\\ & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\textrm{Bilangan}\: \: C_{r}^{n}=\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\: \: \textrm{merupakan koefisien}\\ &\textrm{dari binomial}\: \: (a+b)^{n}\\ &\textrm{Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk}\\ &n=1,2,3,4,\cdots \: \: \: \textrm{berlaku}\\ &\color{red}\begin{aligned}(a+b)^{n}\color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}a^{n}b^{0}+C_{1}^{n}a^{n-1}b^{1}+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}\\ &+C_{3}^{n}a^{n-3}b^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}a^{3}b^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}a^{2}b^{n-2}+C_{n-1}^{n}a^{1}b^{n-1}+C_{n}^{n}a^{0}b^{n}\\ &\color{black}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{\color{red}n}a^{\color{red}n\color{black}-r}b^{r} \end{aligned}\\ & \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{D. 2 Perluasan Binomial Newton}$

$\begin{aligned}&\textrm{Untuk bilangan real}\: \: n\: \: \textrm{dan bilangan}\\ &\textrm{non negatif}\: \: r,\: \: \textrm{serta}\: \: \left | A \right |<1,\: \textrm{berlaku}:\\ &(1+A)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}A^{r} \end{aligned}$

$\color{blue}\textrm{D. 3 Teorema Multinomial}$

Pada bentuk multinomial dengan ekspresi  $(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{r})^{n}$  dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari  $\color{red}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}x_{3}^{n_{3}}\cdots x_{r}^{n_{r}}$   adalah  $\displaystyle \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{r}!}$  dinotasikan dengan  $\begin{pmatrix} n\\\\ n_{1},n_{2},n_{3},\cdots ,n_{r} \end{pmatrix}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad (1+x)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}x^{r}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}x^{r}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=2^{n}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{a}.\quad(1+x)&^{n}\\ \color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}1^{n}x^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}x^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}x^{2}\\ &+C_{3}^{n}1^{n-3}x^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}1^{3}x^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}1^{2}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}1^{1}x^{n-1}+C_{n}^{n}1^{0}x^{n}\\ =\, &\color{red}C_{0}^{n}+C_{1}^{n}x+C_{2}^{n}x^{2} +C_{3}^{n}x^{3}+\cdots \\ &+C_{n-3}^{n}x^{n-3} +C_{n-2}^{n}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}x^{n-1}\\ &+C_{n}^{n}x^{n}\\ \color{black}\textrm{atau}&\: \color{black}\textrm{dengan bentuk lain}\\ =\, &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}x^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}x^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}x^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}x^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}x^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}x^{n}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} \color{red}n\\ r \end{pmatrix}x^{r} \end{aligned}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{b}.\quad(1+x)&^{n}\: \: \color{black}\textrm{lihat jawaban poin}\: \: a,\: \: \textrm{saat}\: \: \color{blue}x=1\\ \color{black}(1+1)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}1+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}1^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}1^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}1^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}1^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}1^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}1^{n}\\ \color{black}(2)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\\ \color{black}\textrm{Sehing}&\color{black}\textrm{ga}\\ 2^{n}&=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Sebelumnya diketahui bahwa}\\ &\begin{aligned}&(a+b)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}\\ &\qquad\qquad\qquad \color{blue}\textrm{atau}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}=(a+b)^{n}\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=b=1,\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}1^{r}=(1+1)^{n}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=2^{n}\: ...\: (\color{red}\textrm{bukti no. 1.b})\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=1\: \&\: b=-1\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}(-1)^{r}=(1-1)^{n}=0\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\quad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Distribusi Binomial} \end{aligned}$

Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja  $\color{red}a$  dan  $\color{red}b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $\color{red}G$ atau muncul sisi angka $\color{red}A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.

Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $\color{red}Bernoulli$. Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $\color{blue}n$ kali dinamakan dengan  $\color{red}\textrm{percobaan}\: \textrm{Binomial}$.

Variabel acak $\color{red}X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai  Variabel Acak Binomial

Berikut ciri-ciri percobaan binomial

  • Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak  $\color{red}n$  kali, dengan  $\color{red}n$ bilangan bulat positif
  • Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
  • Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses  sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah  $\color{red}p$, maka peluang gagalnya adalah  $\color{red}q=1-p$
  • Setiap percobaan bebas $\color{red}(independent)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.

Secara umum rumus fungsi  $\color{red}\textrm{distribusi binomial}$ adalah:

$\begin{aligned}&f(x)=P(x;n;p)=\color{red}C(n,x)p^{x}q^{n-x}\color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &\textbf{Keterangan}:\\ &\bullet \: C(n,x)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}=\color{blue}\textrm{koefisien bibonial}\\ &\bullet \: x=\textrm{banyak kejadian yang diharapkan},\\ &\quad\qquad \textrm{dengan nilai}\: \: x=0,1,2,3,\cdots ,n\\ &\bullet \: p=\textrm{peluang kejadian yang diharapkan}\\ &\bullet \: q=\textrm{peluang kejadian yang tidak diharapkan} \end{aligned}$

Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka

$\begin{aligned}F(t)&=P(X\leq t)\\ &=\displaystyle \sum_{x=0}^{x=t}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &=\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}p^{0}q^{n-0}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+p^{1}q^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}p^{2}q^{n-2}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ t \end{pmatrix}p^{t}q^{n-t} \end{aligned}$

Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai  $\color{red}n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.

Hasil perhitungan $\color{red}f(x)=P(x;n;p)$  juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $\color{red}P(2;4;0,05)$ yang berarti  $\color{red}x=2$, $\color{red}n=4$,  dan  $\color{red}p=0,05$ berikut tabelnya:

(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)

Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan  $F(2)=P(X\leq 2)$  dari  $\color{red}P(2;4;0,05)$  perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom  $\color{red}p=0,05$  , lalu perhatikan baris  $\color{red}x=2$  untuk  $\color{red}n=2$. Berikut tabelnya


$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dari sebuah survei didapatkan bahwa}\\ &\textrm{1 dari 5 orang berkata bah dia telah}\\ &\textrm{mengunjungi dokter dalam sembarang}\\ &\textrm{bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak}\\ &\textrm{maka peluang 3 orang telah berkunjung}\\ &\textrm{ke dokter pada bulan kemaren adalah}\: ....\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&n=10, \: x=3,\: p=\displaystyle \frac{1}{5},\: q=\frac{4}{5}\\ &\textrm{maka}\\ &P(3;10;\displaystyle \frac{1}{5})=\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{5} \right )^{3}\left ( \displaystyle \frac{4}{5} \right )^{7} \end{aligned}\\ &\quad\qquad\qquad=\color{red}0,201 \end{array}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{TAMBAHAN}$

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Dsitribusi Poisson} \end{aligned}$

Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut

$\begin{aligned}&f(x)=P(x;n;p)\\ &=\color{red}C(n,x)p^{x}q^{n-x}\color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ \end{aligned}$

Saat harga  $\color{blue}p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan  $\color{blue}p\rightarrow 0$, dan percobaan dilakukan banyak sekali atau  $\color{blue}n\rightarrow \infty$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:

$f(x)=P(X=x)=\color{red}P(x;\lambda )=\displaystyle \frac{\lambda ^{x}}{x!}.e^{-\lambda }$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada tiap 100 lembarkertas produksi}\\ &\textrm{suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1}\\ &\textrm{lembar yang rusak. Tentukanlah}\\ &\textrm{kemungkinan mendapat selembar kertas}\\ &\textrm{dari 20 lembar yang diambil secara acak}\\ &\textrm{dari hasil produksi tersebut}!\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &n=10, \: x=1,\: p=\displaystyle \frac{1}{100},\: q=\frac{99}{100}\\ &\textrm{maka penghitungan dengan}\\ &\textrm{rumus}\: \textbf{Distribusi Binomial}\\ &P(1;20;\displaystyle \frac{1}{100})=\begin{pmatrix} 20\\ 1 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{100} \right )^{1}\left ( \displaystyle \frac{99}{100} \right )^{19}\\ &=\cdots \\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan rumus}\: \textbf{Distribusi poisson}\\ &\bullet \quad n=20\rightarrow \textrm{terlalu besar, dan}\\ &\bullet \quad p=\displaystyle \frac{1}{100}\rightarrow \textrm{terlalu kecil, maka}\\ &\textrm{dengan}\: \: \lambda =np=20\times \displaystyle \frac{1}{100}=\color{blue}0,2\\ &\textrm{dan}\: \: \: e=2,7183\: \: (\textrm{bilangan Euler})\\ &f(x)=P(X=x)=\displaystyle \frac{\lambda ^{x}}{x!}.e^{-\lambda }\\ &f(1)=\displaystyle \frac{(0,2)^{1}.e^{-0,2}}{1!}\\ &\qquad =0,2\times 0,409\\ &\qquad =\color{red}0,0818 \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

  1. Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
  2. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
  3. Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
  4. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
  5. Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
  6. Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA