PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan 2 Limit Fungsi Trigonometri

C. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri

Rumus dasar limit fungsi trigonometri adalah:

$\begin{array}{|ccc|}\hline \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin x}{x}=1&\textrm{dan}&\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\tan x}{x}=1\\ &&\\ \color{blue}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{x}{\sin x}=1&\textrm{dan}&\color{blue}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{x}{\tan x}=1\\ &&\\ \textrm{demikian pula}&&\\ &&\\ \underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{ax}{\sin ax}=1&\textrm{dan}&\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{ax}{\tan ax}=1\\ &&\\ \color{magenta}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\sin ax}{ax}=1&\textrm{dan}&\color{magenta}\underset{x\rightarrow 0 }{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\tan ax}{ax}=1\\\hline \end{arry}$

Contoh Soal Lanjutan 4 Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika jarak titik A ke C adalah 8 cm,

maka jarak titik A ke D adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&4\\ \textrm{b}.&4\sqrt{2}\\ \textrm{c}.&4\sqrt{3}\\ \textrm{d}.&4\sqrt{5}\\ \textrm{e}.&4\sqrt{6} \end{array}$

Jawab : b

Pembahasan diserahkan kepada pembaca yang budiman

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Perhatikanlah kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Jika jarak K ke Q adalah 9 cm,

maka jarak titik K ke L adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&3\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&3\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&9\sqrt{2}\\ \textrm{d}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{e}.&6\sqrt{2} \end{array}$

Jawab : b

Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca yang budiman

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Perhatikanlah limas T.ABCD sebagai berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm,

serta AB = 8 cm, dan BC = 6 cm,

maka jarak T ke bidang ABCD (Titik tengah bidang ABCD)

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&7\\ \textrm{b}.&8\\ \textrm{c}.&9\\ \textrm{d}.&10\\ \textrm{e}.&12 \end{array}$

Jawab : e

Pembahasan juga diserahkan kepada pembaca yang budiman

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Perhatikanlah balok ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika panjang AB = 4 BC = 2 CG = 8 cm,

maka panjang AG adalah ... . cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&2\sqrt{21}\\ \textrm{b}.&2\sqrt{19}\\ \textrm{c}.&2\sqrt{17}\\ \textrm{d}.&2\sqrt{15}\\ \textrm{e}.&2\sqrt{13} \end{array}$

Jawab : a

$\begin{aligned}\textrm{AG}&=\sqrt{AC^{2}+CG^{2}}\\ &=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CG^{2}}\\ &=\sqrt{8^{2}+2^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{64+4+16}\\ &=\sqrt{84}\\ &=\sqrt{4.21}\\ &=\sqrt{4}.\sqrt{21}\\ &=2\sqrt{21}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Sebuah kubus panjang diagonal sisinya adalah 4 cm}\\ &{\textrm{Maka panjang rusuk kubus tersebut adalah ... cm}}\\ &\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&2\\ \textrm{c}.&2\sqrt{2}\\ \textrm{d}.&4\sqrt{2}\\ \textrm{e}.&4\sqrt{3} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\: \: c \end{array}$

Contoh Soal Lanjutan 3 Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus KLMN.OPQR berikut } \end{array}$

pernyataan berikut yang benar adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{titik R pada rusuk KL}\\ \textrm{b}.&\textrm{titik M pada rusuk LN}\\ \textrm{c}.&\textrm{titik K pada rusuk MN}\\ \textrm{d}.&\textrm{titik N pada rusuk LM}\\ \textrm{e}.&\textrm{titik Q pada rusuk QP} \end{array}$

Jawab : e

Jawaban cukup jelas

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuk kubus adalah $6\sqrt{2}$ cm,

maka panjang HB adalah .... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&6\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&9\\ \textrm{d}.&2\sqrt{6}\\ \textrm{e}.&3\sqrt{6} \end{array}$

Jawab : a

Karena HB adalah diagonal ruang, maka panjang HB adalah

$\begin{aligned}\textrm{HB}&=a\sqrt{3}=sisi.\sqrt{3}=\left ( 6\sqrt{2} \right ).\sqrt{3}=6\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika jarak titik A ke titik G adalah 9 cm,

maka jarak titik A ke titik B adalah .... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&9\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&3\sqrt{6}\\ \textrm{c}.&3\sqrt{3}\\ \textrm{d}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{e}.&6\sqrt{2} \end{array}$

Jawab : c

$\begin{aligned}\textrm{AG}=a\sqrt{3}&=9\\ a\sqrt{3}&=9\\ a&=\displaystyle \frac{9}{\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{9}{\sqrt{3}}\times \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &=\displaystyle \frac{9}{3}\sqrt{3}\\ &=3\sqrt{3}\: \: \textrm{cm}\\ \textrm{Jadi}&\: \: \textrm{panjang rusuk AB adalah}\: \: 3\sqrt{3}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuknya adalah 12 cm,

maka panjang KT adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&5\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&6\sqrt{6}\\ \textrm{c}.&6\sqrt{10}\\ \textrm{d}.&12\sqrt{2}\\ \textrm{e}.&12\sqrt{3} \end{array}$

Jawab : b

Sebelumnya silahkan perhatikan panjang beberapa unsur kubus berikut

Sehingga panjang KT adalah :

$\begin{aligned}\textrm{KT}&=\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}\\ \textrm{KT}&=\displaystyle \frac{1}{2}.(12).\sqrt{6}\\ &=6\sqrt{6}\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

Jika masih mengalami kesulitan,

pembaca dapat menuliskan pertanyaan di kolom komentar

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Perhatikanlah ilustrasi kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuknya adalah 12 cm,

maka panjang OU adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&12\sqrt{6}\\ \textrm{b}.&12\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&8\sqrt{3}\\ \textrm{d}.&4\sqrt{3}\\ \textrm{e}.&2\sqrt{3} \end{array}$

Jawab : d

Perhatikanlah segitiga siku-siku TOK dengan titik siku-sikunya di titik O.

untuk menentukan panjang OU, maka

$\begin{aligned}\textrm{Luas}\Delta \textbf{TOK}&=\textrm{Luas}\Delta \textbf{TOK}\\ \displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \color{blue}\textrm{tinggi}&=\displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{alas}\times \textrm{tinggi}\\ \textrm{KT}\times \color{blue}\textrm{t}&=\textrm{OT}\times \textrm{OK}\\ \color{blue}\textrm{t}&=\displaystyle \frac{\textrm{OT}\times \textrm{OK}}{\textrm{KT}}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{2} \right )\times a}{\displaystyle \frac{1}{2}a\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{a\sqrt{12}}{6},\qquad \textrm{ingat bahwa}\: \: \sqrt{12}=2\sqrt{3}\\ &=\displaystyle \frac{(12).2\sqrt{3}}{6}\\ &=4\sqrt{3} \end{aligned}$

Dan jika Anda mengalami kesulitan dalam memahami solusi di atas,

Anda dapat menyampaikan pertanyaan di kolom komentar

terima kasih

Contoh Soal Lanjutan 2 Bangun Ruang Dimensi Tiga (Matematika Wajib Kelas XII)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Garis yang sejajar dengan bidang ABGH adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{EC}\\ \textrm{b}.&\textrm{BF}\\ \textrm{c}.&\textrm{AD}\\ \textrm{d}.&\textrm{EF}\\ \textrm{e}.&\textrm{DF} \end{array}$

Jawab: d

Sebagai pembahasannya garis yang sejajar dengan bidang ABGH adalah AB, EF, HG, dan DC

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Perhatikanlah kubus KLMN.OPQR berikut} \end{array}$

Pasangan bidang yang sejajar adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{KLMN dan KLPO}\\ \textrm{b}.&\textrm{KLMN dan LMQP}\\ \textrm{c}.&\textrm{KNRO dan LMQP}\\ \textrm{d}.&\textrm{OPQR dan KLPO}\\ \textrm{e}.&\textrm{NMQR dan OPQR} \end{array}$

Jawab : c

Cukup jelas ya

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Perhatikanlah balok ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

bidang yang tidak memotong bidang ADHE adalah ....

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&\textrm{BCGF}\\ \textrm{b}.&\textrm{ABFE}\\ \textrm{c}.&\textrm{ABCD}\\ \textrm{d}.&\textrm{DCGH}\\ \textrm{e}.&\textrm{EFGH} \end{array}$

Jawab : a

Sebagai pembahasannya adalah

bidang ADHE dengan opsi (b) yaitu bidang ABFE berpotongan di AE (potongan berupa garis). Demikian juga

bidang ADHE dengan opsi (c) yaitu bidang ABCD berpotongan di AD (potongan berupa garis juga).

Demikian juga untuk bidang DCGH dan EFGH masing-masing berpotongan dengan bidang ADHE di HD dan EH

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$

Jika panjang panjang sisi kubus adalah 6 cm,

maka panjang CE adalah .... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&6\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&6\sqrt{3}\\ \textrm{c}.&6\sqrt{5}\\ \textrm{d}.&6\sqrt{6}\\ \textrm{e}.&12 \end{array}$

Jawab : b

Sebagai pembahasannya adalah sebagai berikut

Karena CE adalah diagonal ruang maka

$\textbf{CE}=a\sqrt{3}=\textrm{sisi}.\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

perhatikanlah ilustrasi berikut

Sehingga cukup jelas, ya

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Perhatikanlah limas T.KLMN berikut} \end{array}$

Jika panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm

dan panjang rusuk KL = 8 cm dan LM = 6 cm

Jarak titik T ke bidang KLMN adalah ... cm

$\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.&7\\ \textrm{b}.&8\\ \textrm{c}.&9\\ \textrm{d}.&10\\ \textrm{e}.&12 \end{array}$

Jawab: e

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada limas T.KLMN titik tengah alas berupa persegi pajang adalah titik O (bisa juga dikatakan titik O adalah proyeksi titik T pada bidang KLMN)

Sekarang kita partisi dengan memperhatikan segitiga TOM yang siku-siku di titik O.

Karena OM adalah setengan dari panjang KM dan panjang KM secara Pythagoras adalah 10 cm, maka panjang OM adalah 5 cm.

Sehingga untuk jarak titik T ke bidang KLMN di atas cukup di wakili jarak titik T ke titik O dan panjang TO sendiri adalah sisi pengapit sisi siku-siku segitiga TOM, maka

$\begin{aligned}\textrm{TO}^{2}&+\textrm{OM}^{2}=\textrm{TM}^{2}\\ \textrm{TO}^{2}&=\textrm{TM}^{2}-\textrm{OM}^{2}\\ &=13^{2}-5^{2}=169-25=144\\ \textrm{TO}&=\sqrt{144}\\ &=12\: \: \textrm{cm} \end{aligned}$

Sebagai TAMBAHANnya

Anda perlu mengingat triple Pythagoras agar dalam pengerjaan soal berikutnya lebih menghemat waktu, yaitu

Tripel Pythagoras

(sumber)

3, 4, 5
5, 12, 13
7, 24, 25
8, 15, 17
9, 40, 41
11, 60, 61
12, 35, 37
13, 84, 85
15, 112, 113
16, 63, 65
17, 144 , 145
20, 21, 29
20, 99, 101
28, 45, 53
33, 56, 65
36, 77, 85
39, 80, 89
48, 55, 73
65, 72, 97
60, 91, 109