Distribusi Student (Uji t)

Uji "t"

Dalam pengujian hipotesis kita mengenal 2 rumus pengujian yaitu rumus z (distribusi normal standar) dan rumus t (distribusi student). Rumus z digunakan manakala simpangan baku pada populasi diketahui, sedangkan rumus t digunakan ketika simpangan baku pada populasi tidak diketahui. Ketika simpangan baku setiap populasi jarang diketahui, maka biasanya alternatifnya adalah digunakan simpangan baku sampel dan selanjutnya digunakanlah uji t.

$\begin{array}{rl}t& ={\displaystyle \frac{\overline{\text{x}}-{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\text{atau}t={\displaystyle \frac{\overline{\text{x}}-{\mu }_0}{s}\sqrt{n}}}\\ & \text{Dimana}\\ & t=\text{nilai}t\text{yang dihitung}\\ & \overline{\text{x}}=\text{rata-rata sampel}\\ & \mu =\text{rata-rata populasi}\\ & \text{atau nilai yang dihipotesiskan}\\ & s=\text{simpangan baku sampel}\\ & n=\text{jumlah anggota sampel}\end{array}$.

Selanjutnya untuk perhitungan simpangan baku s digunakan rumus berikut

$\begin{array}{rl}s& =\sqrt{{\displaystyle \frac{\sum ({\text{x}}_i-\overline{\text{x}}{)}^2}{n-1}}}\\ & \text{Dimana}\\ & \overline{\text{x}}=\text{rata-rata sampel}\\ & n-1=\text{derajat kebebasan}\end{array}$.

Sebagai catatan dalam pemilihan statistik uji dan penghitungan statistik uji

• Jika ukuran sampel  $n\ge 30$, statistik uji yang digunakan adalah z (rumus z di atas), $Z\sim N(0,1)$.
• Jika ukuran sampel  $n<30$, statistik uji yang digunakan adalah t, dengan derajat kebebasan $dk=n-1$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah perusahaan X mengatakan bahwa}\\ & \text{performance pegawainya rata-rata nilai}\\ & \text{skornya adalah}8,5.\text{Untuk membuktikan}\\ & \text{pernyataan tersebut diambillah secara }\\ & \text{random 16 orang pegawai untuk dites dan}\\ & \text{hasilnya tersaji berikut}\\ & 7,88,28,47,88,99,18,57,7\\ & 8,57,99,17,89,28,98,88,3\\ & \text{Pada taraf}1\mathrm{\%},\text{apakah pernyataan}\\ & \text{perusahaan tersebut benar}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan rata-rata skor performance}\\ & \text{berdistribusi student}\\ & \mathbf{\text{Rumusan hipotesis}}{H}_0\text{dan}{H}_1\\ & H_0:\mu =8,5\\ & H_1:\mu \ne 8,5\\ & \mathbf{\text{Daerah kritis}}\\ & \text{Uji dua pihak/hipotesis dua arah dengan}\alpha =1\mathrm{\%}\\ & t_{1-\frac{1}{2}(0,01)}=t_{0,995}.\text{Dengan dk}=16-1=15\\ & \text{diperoleh nilai}t=2,95(\text{tabel distribusi student})\\ & \bullet \text{Terima}{H}_0,\text{jika}:-2,95<t<2,95\\ & \bullet \text{Tolak}{H}_0,\text{jika}:t<-2,95\text{atau}t>2,95\\ & \text{Berikut disajikan tabel}\mathbf{\text{distribusi student}}\\ & \begin{array}{|ccccc|}\hline dk& t_{0,995}& t_{0,99}& t_{0,975}& t_{0,95}\\ 1& 63,66& 31,82& 12,71& 6,31\\ 2& 9,92& 6,96& 4,3& 2,92\\ 3& 5,84& 4,54& 3,18& 2,35\\ 4& 4,6& 3,75& 2,78& 2,13\\ 5& 4,03& 3,36& 2,57& 2,02\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 15& 2,95& 2,60& 2,13& 1,75\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 99& \cdots & \cdots & 1,99& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 120& 2,62& 2,36& 1,98& 1,66\\ \mathrm{\infty }& 2,56& 2,33& 1,96& 1,645\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{Nilai statistik uji}}\\ & \overline{x}={\displaystyle \frac{7,5+8,2+8,4+\cdots +8,8+8,3}{16},}\\ & =8,4125\\ & s=\sqrt{{\displaystyle \frac{(7,5-8,4125{)}^2+\cdots +(8,3-8,4125{)}^2}{16-1}}}\\ & =\sqrt{0,308}=0,555\\ & n=100,t={\displaystyle \frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s}\sqrt{n}}\\ & \iff t={\displaystyle \frac{(8,4125-8,5)}{0,555}\sqrt{16}=-0,63}\\ & \mathbf{\text{Penentuan keputusan uji}}\\ & \text{Karena}:-2,95<-0,63<2,95,H_0\text{diterima}\\ & \mathbf{\text{Kesimpulan}}\\ & \text{Dengan taraf nyata 1}\mathrm{\%}\text{rata-rata skor}\\ & \text{performan pegawai adalah}8,5\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Sebuah sampel acak 100 catatan kematian}\\ & \text{di negara A selama 1 tahun yang kemaren}\\ & \text{menunjukkan umur rata-rata 58,8 tahun}\\ & \text{dengan simpangan baku 7,8 tahun. Apakah}\\ & \text{hal itu menunjukkan bahwa harapan umur}\\ & \text{rata-rata sekarang minimal 60 tahun}?\\ & \text{Jelaskan pernyataan tersebut dengan tingkat}\\ & \text{signifikansi}5\mathrm{\%}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan umur rata-rata sekarang}\ge 60\text{tahun}\\ & \text{berdistribusi student}\\ & \mathbf{\text{Rumusan hipotesis}}{H}_0\text{dan}{H}_1\\ & H_0:\mu \ge 60\\ & H_1:\mu <60\\ & \mathbf{\text{Daerah kritis}}\\ & \text{Uji satu pihak/hipotesis pihak kiri dengan}\alpha =5\mathrm{\%}\\ & t_{1-(0,05)}=t_{0,995}.\text{Dengan dk}=100-1=99\\ & \text{diperoleh nilai}t=2,63(\text{tabel distribusi student})\\ & \bullet \text{Terima}{H}_0,\text{jika}:t>-2,63\\ & \bullet \text{Tolak}{H}_0,\text{jika}:t\le -2,63\\ & \mathbf{\text{Nilai statistik uji}}\\ & \mu =58,8,s=7,8\text{tahun}\\ & n=100,t={\displaystyle \frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s}\sqrt{n}}\\ & \iff t={\displaystyle \frac{(58,8-60)}{7,8}\sqrt{100}=-1,54}\\ & \mathbf{\text{Penentuan keputusan uji}}\\ & \text{Karena}:t\le -1,54,H_0\text{diterima}\\ & \mathbf{\text{Kesimpulan}}\\ & \text{Dengan taraf nyata 5}\mathrm{\%}\text{umur rata-rata}\\ & \text{sekarang minimal}60\text{tahun}\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Sembiring, S., Zulkifli. M., Marsito, Rusdi. I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
3. Sugiyono. 2013. Statistika untuk Penelitan. Bandung: ALFABETA