Uji "t"
Dalam pengujian hipotesis kita mengenal 2 rumus pengujian yaitu rumus z (distribusi normal standar) dan rumus t (distribusi student). Rumus z digunakan manakala simpangan baku pada populasi diketahui, sedangkan rumus t digunakan ketika simpangan baku pada populasi tidak diketahui. Ketika simpangan baku setiap populasi jarang diketahui, maka biasanya alternatifnya adalah digunakan simpangan baku sampel dan selanjutnya digunakanlah uji t.
$\begin{aligned}t&=\color{red}\displaystyle \frac{\bar{\textrm{x}}-\mu _{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: t=\color{red}\displaystyle \frac{\bar{\textrm{x}}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\textrm{Dimana}\\ &t=\textrm{nilai}\: \: t\: \: \textrm{yang dihitung}\\ &\bar{\textrm{x}}=\textrm{rata-rata sampel}\\ &\mu =\textrm{rata-rata populasi}\\ &\qquad \textrm{atau nilai yang dihipotesiskan}\\ &s=\textrm{simpangan baku sampel}\\ &n=\textrm{jumlah anggota sampel} \end{aligned}$.
Selanjutnya untuk perhitungan simpangan baku s digunakan rumus berikut
$\begin{aligned}s&=\color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{\sum (\textrm{x}_{i}-\bar{\textrm{x}})^{2}}{n-1}}\\ &\textrm{Dimana}\\ &\bar{\textrm{x}}=\textrm{rata-rata sampel}\\ &n-1=\textrm{derajat kebebasan} \end{aligned}$.
Sebagai catatan dalam pemilihan statistik uji dan penghitungan statistik uji
- Jika ukuran sampel $n\geq 30$, statistik uji yang digunakan adalah z (rumus z di atas), $Z\sim N(0,1)$.
- Jika ukuran sampel $n< 30$, statistik uji yang digunakan adalah t, dengan derajat kebebasan $dk=n-1$.
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah perusahaan X mengatakan bahwa}\\ &\textrm{performance pegawainya rata-rata nilai}\\ &\textrm{skornya adalah}\: 8,5.\: \textrm{Untuk membuktikan}\\ &\textrm{pernyataan tersebut diambillah secara }\\ &\textrm{random 16 orang pegawai untuk dites dan}\\ &\textrm{hasilnya tersaji berikut}\\ &7,8\: \: \: 8,2\: \: \: 8,4\: \: \: 7,8\: \: \: 8,9\: \: \: 9,1\: \: \: 8,5\: \: \: 7,7\\ &8,5\: \: \: 7,9\: \: \: 9,1\: \: \: 7,8\: \: \: 9,2\: \: \: 8,9\: \: \: 8,8\: \: \: 8,3\\ &\textrm{Pada taraf}\: 1\%,\: \textrm{apakah pernyataan}\\ &\textrm{perusahaan tersebut benar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan rata-rata skor performance}\\ &\textrm{berdistribusi student}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu =8,5\\ &H_{1}:\mu \neq 8,5\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji dua pihak/hipotesis dua arah dengan}\: \alpha =1\%\\ &t_{1-\frac{1}{2}(0,01)}=t_{0,995}.\: \textrm{Dengan dk}=16-1=15\\ &\textrm{diperoleh nilai}\: \: t=\color{red}2,95\: \: \color{black}(\textrm{tabel distribusi student})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}-2,95< t< 2,95\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}t<-2,95\: \: \textrm{atau}\: \: t> 2,95\\ &\textrm{Berikut disajikan tabel}\: \textbf{distribusi student}\\ &\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline dk&\color{blue}t_{0,995}&t_{0,99}&t_{0,975}&t_{0,95}\\\hline 1&63,66&31,82&12,71&6,31\\\hline 2&9,92&6,96&4,3&2,92\\\hline 3&5,84&4,54&3,18&2,35\\\hline 4&4,6&3,75&2,78&2,13\\\hline 5&4,03&3,36&2,57&2,02\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline \color{blue}15&\color{red}2,95&2,60&2,13&1,75\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 99&\cdots &\cdots &1,99&\cdots \\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 120&2,62&2,36&1,98&1,66\\\hline \infty &2,56&2,33&1,96&1,645\\\hline \end{array}\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=\displaystyle \frac{7,5+8,2+8,4+\cdots +8,8+8,3}{16},\\ &\quad =8,4125\\ &s=\sqrt{\displaystyle \frac{(7,5-8,4125)^{2}+\cdots +(8,3-8,4125)^{2}}{\color{red}16-1}}\\ &\quad =\sqrt{0,308}=0,555\\ &n=100,\: \: \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{(8,4125-8,5)}{0,555}\sqrt{16}=\color{red}-0,63\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: -2,95< \color{red}-0,63\color{black}< 2,95\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 1}\%\: \: \textrm{rata-rata skor}\\ &\textrm{performan pegawai adalah}\: \: 8,5 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Sebuah sampel acak 100 catatan kematian}\\ &\textrm{di negara A selama 1 tahun yang kemaren}\\ &\textrm{menunjukkan umur rata-rata 58,8 tahun}\\ &\textrm{dengan simpangan baku 7,8 tahun. Apakah}\\ &\textrm{hal itu menunjukkan bahwa harapan umur}\\ & \textrm{rata-rata sekarang minimal 60 tahun}?\\ &\textrm{Jelaskan pernyataan tersebut dengan tingkat}\\ &\textrm{signifikansi}\: \: 5\%\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan umur rata-rata sekarang}\geq 60\: \: \textrm{tahun}\\ &\textrm{berdistribusi student}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu \geq 60\\ &H_{1}:\mu < 60\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji satu pihak/hipotesis pihak kiri dengan}\: \alpha =5\%\\ &t_{1-(0,05)}=t_{0,995}.\: \textrm{Dengan dk}=100-1=99\\ &\textrm{diperoleh nilai}\: \: t=\color{red}2,63\: \: \color{black}(\textrm{tabel distribusi student})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue} t> -2,63\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}t\leq - 2,63\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\mu =58,8,\: s=7,8\: \: \textrm{tahun}\\ &n=100,\: \: \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{(58,8-60)}{7,8}\sqrt{100}=\color{red}-1,54\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: t\leq \color{red}-1,54,\: \color{black}H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{umur rata-rata}\\ &\textrm{sekarang minimal}\: \: 60\: \: \textrm{tahun} \end{aligned} \end{array}$.
- Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
- Sembiring, S., Zulkifli. M., Marsito, Rusdi. I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
- Sugiyono. 2013. Statistika untuk Penelitan. Bandung: ALFABETA
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi