Penarikan Kesimpulan

F. Uji Hipotesis

F. 1 Pengertian

Dalam suatu penyelidikan berkaitan suatu permasalahan untuk penarikan suatu kesimpulan diperlukan adanya dugaan atau dalam bahasa matematika dinamakan istilah hipotesis. Hipotesis berasal dari bahasa Yunani Hupo yang berarti sementara dan Thesis yang berarti pernyataan atau dugaan. Sehingga secara bahasa memiliki arti dugaan sementara. Selanjutnya, karena hipotesis ini masih berupa jawaban sementara, maka hipotesis ini harus diuji kebenaranya dan prosesnya dinamakan uji hipotesis. Uji hipotesis yang dibahasa di sini adalah pengujian berkaitan dengan rata-rata  $\mu$ pada sebuah sampel. Jika hasil yang didapatkan dalam penelitian nantinya, jauh berbeda dengan yang diharapkan berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak, demikian sebaliknya jika sesuai, maka hipotesis diterima.

F. 2 Jenis-Jenis Hipotesis

Ada dua jenis hipotetsis yaitu:

• Hipotesis nol ($H_{0}$) yang terkandung makna tidak memiliki perbedaan
• Hipotesis alternatif  ($H_{1}$) dengan pengertian terdapat tidak sama atau ada perbedaan.

F. 3 Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis.

Berikut prosedur pengujian hipotesis

$.\qquad\quad\color{red}\begin{aligned}&\textrm{Merumuskan}\: H_{0}\: \: \textrm{dan}\: \: H_{1}\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Menentukan daerah kritis}\\ &(\textrm{taraf signifikansi/kepercayaan})\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Menentukan nilai statistik uji}\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Menentukan keputusan uji}\\ &\qquad\qquad\color{blue}\Downarrow\\ &\textrm{Penarikan kesimpulan}  \end{aligned}$.

Sebagai tambahannya, dalam melakukan pengujian hipotesis, ada 2 jenis kekeliruan yang bisa terjadi

• Kekeliruan tipe I, yaitu kita menolak hipotesis yang seharusnya diterima
• Kekeliruan tipe II, yaitu kita menerima hipotesis yang seharusnya kita tolak

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textrm{Keputusan uji}&H_{0}\: \: \textrm{benar}&H_{0}\: \: \textrm{salah}\\\hline \textrm{Menerima}\: \: H_{0}&\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Benar}\\ &(1-\alpha )\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Kesalahan}\\ &\textrm{tipe II}\: \: (\beta ) \end{aligned}\\\hline \textrm{Menolak}\: \: H_{0}&\begin{aligned}&\textrm{Kesalahan}\\ &\textrm{tipe I}\: \: (\alpha ) \end{aligned}&\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Benar}\\ &(1-\beta  )\end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Untuk meminimalkan kesalahan:

• dalam pengujian hipotesis diinginkan  $\alpha $ (dibaca alfa) dan  $\beta $  (dibaca beta) kecil atau $(1-\beta )$ besar.
• tetapi hal di atas adalah sulit karena jika $\alpha $ makin kecil, maka nilai  $\beta $ semakin besar.
• dari 2 hal tersebut di atas, maka dipilihlah salah satu, dalam hal ini biasanya $\alpha $. dan $\alpha $ yang digunakan bisanya pula adalah 10%, 5%, dan atau 1% tergantung kebutuhgannya dalam bidang apa mau diterapkan. Misal dalam bidang pengobatan diambillah $\alpha $ yang 1%.
• $\alpha $ dalam hal ini selanjutnya disebut taraf signifikansi atau taraf arti atau taraf nyata.

F.4 Bentuk Pengujian Hipotesis

Ada 3 macam, yaitu, uji dua pihak, uji pihak kanan, dan uji pihak kiri.

F. 4. 1 Uji dua Pihak

.

$\begin{array}{|l|l|}\hline \color{red}\textbf{Jika}\: \: \sigma \: \: \textrm{diketahui}&\color{red}\textbf{Jika}\: \: \sigma \: \: \textrm{tidak diketahui}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Untuk menguji pasangan hipotesis}\\ &\qquad \begin{cases} H_{0} & : \mu =\mu _{0} \\ H_{1} & : \mu \neq \mu _{0}  \end{cases}\\ &\textrm{di mana nilai}\: \: z=\left (\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }  \right )\sqrt{n}\\ &\textrm{Dan untuk}\: \: z\: \: \textrm{berdistribusi normal}\\ &\textrm{baku. Pengambilan kesimpulan}\\ &H_{0}\: \: \textrm{diterima jika}:\\ &-z_{\frac{1}{2}(1-\alpha )}<z<z_{\frac{1}{2}(1-\alpha )}\\ &\textrm{dan daerah ini disebut}\\ &\textbf{daerah tidak nyata}\: \: \textrm{atau}\\ &\textbf{daerah penerimaan}\: \: H_{0} \\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Untuk menguji pasangan hipotesis}\\ &\qquad \begin{cases} H_{0} & : \mu =\mu _{0} \\ H_{1} & : \mu \neq \mu _{0}  \end{cases}\\ &\textrm{Gunakan}\: \: \textbf{distribusi student}\\ &\textrm{dengan rumus}\: \: t=\left (\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s }  \right )\sqrt{n}\\ &\textrm{di mana}\: \: s\: \: \textrm{adalah simpangan baku}\\ &\textrm{dan dihitung  dengan rumus}\\ &\qquad\qquad s=\sqrt{\displaystyle \frac{\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}}\\ &\textrm{Dan untuk}\: \: t\: \: \textrm{berdsitribusi student}\\ &\textrm{pada pengambilan kesimpulan},\: \: H_{0}\\ &\textrm{diterima jika}:-t_{(1-\frac{1}{2}\alpha )}<t<t_{(1-\frac{1}{2}\alpha )}\\ &\textrm{dan daerah ini disebut}\\ &\textbf{daerah tidak nyata}\: \: \textrm{atau}\\ &\textbf{daerah penerimaan}\: \: H_{0}\\ &\textrm{dengan}\: \: dK=n-1  \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Seorang pengusaha lampu merk X mengatakan}\\ &\textrm{bahwa lampunya memiliki masa pakai rata-rata}\\ &\textrm{900. Untuk menguji pernyataan tersebut, maka}\\ &\textrm{diuji sebanyak 100 lampu dan ternyata rata-rata}\\ &\textrm{masa pakainya 890 jam dengan simpangan baku-}\\ &\textrm{nya 60 jam. Selidikilah dengan tingkat signifikansi}\\ &5\%,\: \textrm{apakah kualitas lampu itu sudah berubah}\\ &\textrm{atau belum}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan masa hidup lampu berdistribusi normal}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu =900\: \: \textrm{jam (masa pakai masih 900 jam)}\\ &H_{1}:\mu \neq 900\: \: \textrm{jam (masa berubah dan)}\neq 900\: \textrm{jam}\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji dua pihak/hipotesis dua arah dengan}\: \alpha =5\%\\ &z_{\frac{1}{2}(1-0,05)}=z_{0,475}=1,96\: \: (\textrm{lihat tabel})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}-1,96< z< 1,96\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}z<-1,96\: \: \textrm{atau}\: \:  z> 1,96\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=890,\: n=100,\: \: \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{(890-900)}{60}\sqrt{100}=\displaystyle \frac{-10\times 10}{60}=\color{red}-1,67\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: -1,96< \color{red}-1,67\color{black}< 1,96\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{masa pakai lampu}\\ &\textrm{belum berubah dan masih sekitar 900 jam} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika pada soal nomor 1 di atas, simpangan baku}\\ &(\sigma )\: \textrm{tidak diketahui, tetapi dari sampel diperoleh}\\ &s=\textrm{55 jam. Selidikilah apakah kualitas lampu itu }\\ &\textrm{sudah berubah atau belum}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan masa hidup lampu berdistribusi student}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu =900\: \: \textrm{jam (masa pakai masih 900 jam)}\\ &H_{1}:\mu \neq 900\: \: \textrm{jam (masa berubah dan)}\neq 900\: \textrm{jam}\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji dua pihak/hipotesis dua arah dengan}\: \alpha =5\%\\ &t_{1-\frac{1}{2}(0,05)}=t_{0,975}.\: \textrm{Dengan dk}=100-1=99\\ &\textrm{diperoleh nilai}\: \: t=\color{red}1,99\: \: \color{black}(\textrm{tabel distribusi student})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}-1,99< t< 1,99\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}t<-1,99\: \: \textrm{atau}\: \:  t> 1,99\\ &\textrm{Berikut disajikan tabel}\: \textbf{distribusi student}\\ &\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline dk&t_{0,995}&t_{0,99}&\color{blue}t_{0,975}&t_{0,95}\\\hline 1&63,66&31,82&12,71&6,31\\\hline 2&9,92&6,96&4,3&2,92\\\hline 3&5,84&4,54&3,18&2,35\\\hline 4&4,6&3,75&2,78&2,13\\\hline 5&4,03&3,36&2,57&2,02\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 60&2,66&2,39&2,00&1,67\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline \color{blue}99&\cdots &\cdots &\color{red}1,99&\cdots \\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 120&2,62&2,36&1,98&1,66\\\hline \infty &2,56&2,33&1,96&1,645\\\hline \end{array}\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=890,\: s=55\: \textrm{jam},\: n=100,\: \: \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s}\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}t\color{black}=\displaystyle \frac{(890-900)}{55}\sqrt{100}=\displaystyle \frac{-10\times 10}{55}=\color{red}-1,82\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\: -1,99< \color{red}-1,82\color{black}< 1,99\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{diterima}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{masa pakai lampu}\\ &\textrm{belum berubah dan masih sekitar 900 jam}  \end{aligned} \end{array}$.

F. 4. 2 Uji Satu Pihak

a) Uji Pihak Kanan

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: H_{1}:\mu > \mu _{0}\\ &\textrm{Daerah kritis berada di ujung kanan kurva }\end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Seorang petugas menyatakan bahwa pendapatan}\\ &\textrm{penjual mainan X tidak lebih dari}\: \: Rp20.000\\ &\textrm{perhari. Untuk menyangkal pernyataan tersebut}\\ &\textrm{pihak kantor melakukan penelitian terhadap}\\ &\textrm{tingkat pendapatan penjual mainan itu. Pihak}\\ &\textrm{kantor memilih 150 penjual secara acak, ternyata}\\ &\textrm{diperoleh data rata-rata pendapatan mereka}\\ &Rp21.000\: \: \textrm{dengan simpangan baku}\: \: Rp5.000\\ &\textrm{Dengan}\: \: \alpha =5\%\: \: \textrm{cukup beralasankah pernyataan}\\ &\textrm{petugas tersebut}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan pendapatan penjual berdistribusi normal}\\ &\textrm{dengan hasil tidak lebih}\: Rp20.000\: \: \textrm{perhari}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu \leq 20.000\\ &H_{1}:\mu > 20.000\\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji satu pihak, daerah kritis kanan dengan}\: \alpha =5\%\\ &z_{0,05}=\color{red}1,64\: \: \color{black}(\textrm{lihat tabel normal baku})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue} z< 1,64\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}z\geq 1,64\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=21.000,\: \mu _{0}=20.000\: \textrm{jam},\: n=150,\\ &\sigma =5.000,\: \textrm{dengan rumus}\: \: \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{(21.000-20.000)}{5000}\sqrt{150}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{1.000\times 12,247}{5.000}=\color{red}2,45\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\:  \color{red}2,45\color{black}\geq  1,64\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{rata-rata pendapatan}\\ &\textrm{penjual lebih dari}\: \: Rp20.000\: \: \textrm{perhari}  \end{aligned} \end{array}$.

b) Uji Pihak Kiri

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: H_{1}:\mu < \mu _{0}\\ &\textrm{Daerah kritis berada di ujung kiri kurva }\end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Seorang petugas menyatakan bahwa pendapatan}\\ &\textrm{penjual mainan X tidak kurang dari}\: \: Rp21.000\\ &\textrm{perhari. Pihak kantor ingin menguji terhadap}\\ &\textrm{tingkat pendapatan penjual mainan itu. Pihak}\\ &\textrm{kantor memilih 150 penjual secara acak, ternyata}\\ &\textrm{diperoleh data rata-rata pendapatan mereka}\\ &Rp20.000\: \: \textrm{dengan simpangan baku}\: \: Rp5.000\\ &\textrm{Dengan}\: \: \alpha =5\%\: \: \textrm{cukup beralasankah pernyataan}\\ &\textrm{petugas tersebut}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan pendapatan penjual berdistribusi normal}\\ &\textrm{dengan hasil tidak kurang dari}\: Rp21.000\: \: \textrm{perhari}\\ &\textbf{Rumusan hipotesis}\: \: H_{0}\: \textrm{dan}\: H_{1}\\ &H_{0}:\mu \geq  21.000\\ &H_{1}:\mu < 21.000\\\ &\textbf{Daerah kritis}\\ &\textrm{Uji satu pihak, daerah kritis kiri dengan}\: \alpha =5\%\\ &z_{0,05}=-\color{red}1,64\: \: \color{black}(\textrm{lihat tabel normal baku})\\ &\bullet \: \: \textrm{Terima}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue} z> -1,64\\ &\bullet \: \: \textrm{Tolak}\: \: H_{0},\: \textrm{jika}:\color{blue}z\leq - 1,64\\ &\textbf{Nilai statistik uji}\\ &\bar{x}=20.000,\: \mu _{0}=21.000\: \textrm{jam},\: n=150,\\ &\sigma =5.000,\: \textrm{dengan rumus}\: \: \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\sqrt{n}\\ &\Leftrightarrow \color{red}z\color{black}=\displaystyle \frac{(20.000-21.000)}{5000}\sqrt{150}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{1.000\times 12,247}{5.000}=\color{red}-2,45\\ &\textbf{Penentuan keputusan uji}\\ &\textrm{Karena}\: :\:  \color{red}-2,45\color{black}\leq -  1,64\: ,\: H_{0}\: \: \textrm{ditolak}\\ &\textbf{Kesimpulan}\\ &\textrm{Dengan taraf nyata 5}\%\: \: \textrm{rata-rata pendapatan}\\ &\textrm{penjual kurang dari}\: \: Rp21.000\: \: \textrm{perhari}  \end{aligned}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sembiring, S., Zulkifli. M., Marsito, Rusdi. I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.